דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: תלות לינארית ואי-תלות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על תלות לינארית ואי-תלות של וקטורים לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת ערכי פרמטר שעבורם שני וקטורים תלויים, בדיקה אם שלושה וקטורים שמקיימים שוויון נתון תלויים לינארית, ועבודה עם אמצעי מקצועות בטטראדר, בתיבה ובפירמידה משולשת. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. המורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה ולצרף פתרונות מלאים, והקובץ נשמר גם בוורד.

17 שאלותקלה: 8בינונית: 7קשה: 2

שאלה 1 · תלות לינארית ואי-תלותשאלה קצרה · קלה

הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} בלתי תלויים לינארית. לכל kk ממשי מגדירים a‾=ku‾+9v‾\underline{a}=k\underline{u}+9\underline{v} ו-b‾=4u‾+kv‾\underline{b}=4\underline{u}+k\underline{v}.

א.

מצאו את כל ערכי kk שעבורם הווקטורים a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} תלויים לינארית.

ב.

עבור איזה מהערכים שמצאתם הווקטורים a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} בעלי אותו כיוון? מצאו עבורו את היחס ∣a‾∣:∣b‾∣|\underline{a}|:|\underline{b}|.

שאלה 2 · תלות לינארית ואי-תלותשאלה קצרה · בינונית

בטטראדר ABCDABCD שבסרטוט הנקודות MM, NN, PP, QQ הן אמצעי המקצועות ABAB, CDCD, ACAC, BDBD בהתאמה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline{w}.

ABCDMNPQ
א.

הביעו את הווקטורים MN→\overrightarrow{MN} ו-PQ→\overrightarrow{PQ} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

ב.

האם קיימים מספרים xx ו-yy כך ש-AD→=xMN→+yPQ→\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{MN}+y\overrightarrow{PQ}? אם כן, מצאו אותם; אם לא, נמקו. מה אפשר להסיק על התלות הלינארית של שלושת הווקטורים MN→\overrightarrow{MN}, PQ→\overrightarrow{PQ}, AD→\overrightarrow{AD}?

שאלה 3 · תלות ואי-תלות של וקטורים המקיימים צירוף מתאפסשאלה קצרה · קשה

נתונים שלושה וקטורים u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w המקיימים u‾+2v‾−3w‾=0‾\underline u+2\underline v-3\underline w=\underline 0. ידוע כי u‾\underline u ו-v‾\underline v בלתי תלויים לינארית.

א.

הסבירו מדוע u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w תלויים לינארית, והביעו את w‾\underline w כצירוף לינארי של u‾\underline u ו-v‾\underline v.

ב.

הוכיחו כי הווקטורים v‾\underline v ו-w‾\underline w בלתי תלויים לינארית.

שאלה 4 · תלות לינארית של וקטורים בתיבהשאלה קצרה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו סרטוט) שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה.

ABCDA'B'C'D'

קבעו לכל אחת מהקבוצות הבאות אם הווקטורים שבה תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית, ונמקו.

(1) AB→\overrightarrow{AB} ו-D′C′→\overrightarrow{D'C'}

(2) AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}

(3) AC→\overrightarrow{AC}, AA′→\overrightarrow{AA'} ו-AC′→\overrightarrow{AC'}

(4) AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD} ו-AA′→\overrightarrow{AA'}

שאלה 5 · תלות לינארית ואי-תלותשאלה קצרה · בינונית

הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} בלתי תלויים לינארית. נתון: a‾=2u‾−v‾\underline{a}=2\underline{u}-\underline{v}, b‾=u‾+3v‾\underline{b}=\underline{u}+3\underline{v}. לכל tt ממשי מגדירים c‾=ta‾+b‾\underline{c}=t\underline{a}+\underline{b} ו-d‾=a‾+tb‾\underline{d}=\underline{a}+t\underline{b}.

מצאו את כל ערכי tt שעבורם הווקטורים c‾\underline{c} ו-d‾\underline{d} תלויים לינארית, ולכל ערך כזה כתבו את הקשר בין c‾\underline{c} ל-d‾\underline{d}.

שאלה 6 · תלות לינארית ואי-תלותשאלה קצרה · בינונית

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסרטוט (הקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה) KK היא אמצע המקצוע B′C′B'C' ו-MM היא אמצע המקצוע CDCD. הנקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC' ומקיימת CP→=t⋅CC′→\overrightarrow{CP}=t\cdot\overrightarrow{CC'}, 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}.

ABCDA'B'C'D'KMP
א.

הביעו את הווקטורים AK→\overrightarrow{AK}, AM→\overrightarrow{AM} ו-AP→\overrightarrow{AP} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} ו-tt.

ב.

מצאו את tt שעבורו הווקטורים AK→\overrightarrow{AK}, AM→\overrightarrow{AM}, AP→\overrightarrow{AP} תלויים לינארית, וכתבו את היחס CP:PC′CP:PC'.

שאלה 7 · תלות לינארית של קטעי אמצעים בפירמידהשאלה קצרה · בינונית

נתונה פירמידה SABCSABC (ראו סרטוט). הנקודות KK, LL ו-MM הן אמצעי המקצועות SASA, SBSB ו-SCSC בהתאמה.

ABCSKLM
א.

הראו כי הווקטורים KL→\overrightarrow{KL}, LM→\overrightarrow{LM} ו-AC→\overrightarrow{AC} תלויים לינארית: הביעו את AC→\overrightarrow{AC} כצירוף לינארי של KL→\overrightarrow{KL} ו-LM→\overrightarrow{LM}.

ב.

האם הווקטורים KL→\overrightarrow{KL}, LM→\overrightarrow{LM} ו-SA→\overrightarrow{SA} תלויים לינארית? נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (10)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.