שאלות פתוחות: המספר i וההצגה האלגברית a+bi - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את כל הערכים האפשריים של הביטוי $i^{n}+i^{-n}$, וציינו עבור אילו $n$ מתקבל כל ערך.

מצאו את כל ערכי $n$ בתחום $1\le n\le41$ שעבורם $i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}=-1$, וקבעו כמה ערכים כאלה יש.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם אחד המספרים $z$, $w$ הוא ממשי והאחר מדומה טהור.

לכל אחד מהמספרים מצאו את החלק הממשי ואת החלק המדומה, וקבעו אם הוא ממשי, מדומה טהור או אף אחד מהם.

$x^2+12=0$

$(x-3)^2+16=0$

חשבו את $z_1$, $z_2$, $z_3$ ו-$z_4$ בהצגה אלגברית, והראו כי $z_{n+4}=z_n$ לכל מספר טבעי $n$.

עבור אילו ערכים של $n$ המספר $z_n$ ממשי? האם יש ערך של $n$ שעבורו $z_n$ מדומה טהור? נמקו.

נסמן $S_N=z_1+z_2+\dots+z_N$. חשבו את $S_{30}$, ומצאו את כל הערכים של $N$ שעבורם $S_N=0$.

חשבו את $i^2$, $i^3$ ו-$i^4$, והראו כי $i^{n+4}=i^n$ לכל מספר טבעי $n$.

חשבו את הסכום $i+i^2+i^3+i^4$, והסיקו כי לכל מספר טבעי $n$ מתקיים $i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$.

נתון $w=i+i^2+i^3+\dots+i^{23}$. כתבו את $w$ בהצגה אלגברית $a+bi$, וקבעו את החלק הממשי ואת החלק המדומה שלו.