שאלות פתוחות: חיבור וחיסור - כיתה י"ב 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על חיבור וחיסור, לתלמידי כיתה י"ב 5 יח"ל, מתוך הנושא "מספרים מרוכבים: הצגה אלגברית ופעולות". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · חיבור וחיסור של מספרים מרוכביםשאלה קצרה · קלה

נתונים המספרים המרוכבים z1=3−2iz_1=3-2iz1​=3−2i, z2=−1+5iz_2=-1+5iz2​=−1+5i, z3=4iz_3=4iz3​=4i.

א.

חשבו את z1+z2z_1+z_2z1​+z2​ ואת z1−z2z_1-z_2z1​−z2​.

ב.

חשבו את (z1+z3)−(z2−z3)(z_1+z_3)-(z_2-z_3)(z1​+z3​)−(z2​−z3​).

שאלה 2 · חיבור וחיסורשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=a+4iz_1=a+4iz1​=a+4i ו-z2=−3+biz_2=-3+biz2​=−3+bi, כאשר aaa ו-bbb מספרים ממשיים. ידוע כי ההפרש z1−z2z_1-z_2z1​−z2​ הוא מספר מדומה טהור השונה מאפס, וכי החלק המדומה של הסכום z1+z2z_1+z_2z1​+z2​ שווה לכפליים החלק הממשי שלו.

מצאו את aaa ואת bbb.

שאלה 3 · סכום מדומה טהור והפרש ממשי עם פרמטרשאלה קצרה · קשה

נתונים שני מספרים מרוכבים:
z1=(a2−1)+2a i,z2=(a−11)+(a2−3)iz_1=(a^2-1)+2a\,i,\qquad z_2=(a-11)+(a^2-3)iz1​=(a2−1)+2ai,z2​=(a−11)+(a2−3)i
aaa הוא פרמטר ממשי. (מספר מדומה טהור הוא מספר שחלקו הממשי 000 וחלקו המדומה שונה מ-000).

מצאו את aaa שעבורו הסכום z1+z2z_1+z_2z1​+z2​ הוא מדומה טהור וההפרש z1−z2z_1-z_2z1​−z2​ הוא ממשי. מצאו עבורו את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​.

שאלה 4 · מספר חסר בחיבור, וחישוב ביטוי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את המספר המרוכב zzz המקיים z+(3−2i)=7+iz+(3-2i)=7+iz+(3−2i)=7+i.

ב.

חשבו את (5−2i)−(1−6i)+(−3+i)(5-2i)-(1-6i)+(-3+i)(5−2i)−(1−6i)+(−3+i) וכתבו את התוצאה בהצגה אלגברית.

שאלה 5 · סכום והפרש של מספר ומספר שנבנה מחלקיושאלת ביניים · בינונית

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים). המספר www מוגדר כך: w=(y−1)+(x+2)iw=(y-1)+(x+2)iw=(y−1)+(x+2)i. (מספר מדומה טהור הוא מספר שחלקו הממשי 000 וחלקו המדומה שונה מ-000).

א.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את z+wz+wz+w ואת z−wz-wz−w בהצגה אלגברית.

ב.

הראו כי לכל xxx ו-yyy ממשיים החלק המדומה של z+wz+wz+w גדול ב-333 מהחלק הממשי שלו, וכי סכום החלק הממשי והחלק המדומה של z−wz-wz−w שווה ל-−1-1−1. הסיקו שאין מספר zzz שעבורו z+w=4+5iz+w=4+5iz+w=4+5i.

ג.

נתון כי z+w=4+7iz+w=4+7iz+w=4+7i וכי z−wz-wz−w הוא מדומה טהור. מצאו את zzz ואת www.

שאלה 6 · סכום של סדרת מספרים מרוכביםשאלת ביניים · קשה

לכל מספר טבעי kkk מוגדר המספר המרוכב zk=(2k−1)+(4−k)iz_k=(2k-1)+(4-k)izk​=(2k−1)+(4−k)i. נסמן ב-SnS_nSn​ את סכום nnn המספרים הראשונים:
Sn=z1+z2+⋯+znS_n=z_1+z_2+\dots+z_nSn​=z1​+z2​+⋯+zn​

א.

הראו כי Sn=n2+n(7−n)2 iS_n=n^2+\frac{n(7-n)}{2}\,iSn​=n2+2n(7−n)​i.

ב.

מצאו את nnn שעבורו SnS_nSn​ הוא מספר ממשי, וחשבו את SnS_nSn​ עבורו.

ג.

מצאו את nnn שעבורו החלק המדומה של SnS_nSn​ הוא −15-15−15, וכתבו את SnS_nSn​ עבורו בהצגה אלגברית.

שאלה 7 · חיבור וחיסור עם נעלמים ממשייםשאלה קצרה · בינונית

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את המספר המרוכב z=x+yiz=x+yiz=x+yi (xxx ו-yyy ממשיים) המקיים (z+3−i)−(2x+5i)=1+2yi(z+3-i)-(2x+5i)=1+2yi(z+3−i)−(2x+5i)=1+2yi.

ב.

נתונים המספרים z1=a+2iz_1=a+2iz1​=a+2i ו-z2=3−aiz_2=3-aiz2​=3−ai, כאשר aaa מספר ממשי. מצאו את aaa שעבורו ההפרש z1−z2z_1-z_2z1​−z2​ הוא מספר ממשי, וחשבו את ההפרש עבור aaa זה.