שאלות פתוחות: הצגה פרמטרית של ישר במישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הצגה פרמטרית של ישר במישור לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בנקודת חיתוך של שני ישרים, ישר עם פרמטר בנקודה ובווקטור הכיוון, ריבוע שאחת מצלעותיו על ישר נתון, מציאת הנקודה על ישר הקרובה ביותר לנקודה נתונה, ושני גופים שנעים במישור לאורך זמן. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. שאלה אחת או שתיים מכאן משתלבות היטב בבוחן על ישרים במישור, והפתרונות המלאים יוצאים יחד עם השאלות לקובץ וורד.

8 שאלותקלה: 2בינונית: 4קשה: 2

שאלה 1 · הצגה פרמטרית של ישר במישורשאלה קצרה · קלה

נתונים שני ישרים במישור: ℓ1: x‾=(1,3)+t(2,−1)\ell_1:\ \underline{x}=(1,3)+t(2,-1)ℓ1​: x​=(1,3)+t(2,−1) ו-ℓ2: x‾=(2,7)+s(1,−2)\ell_2:\ \underline{x}=(2,7)+s(1,-2)ℓ2​: x​=(2,7)+s(1,−2).

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

שאלה 2 · הצגה פרמטרית של ישר במישורשאלה קצרה · בינונית

נתון הישר במישור x‾=(k,1)+t(2,k)\underline{x}=(k,1)+t(2,k)x​=(k,1)+t(2,k), כאשר k≠0k\ne0k=0 פרמטר.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם הישר עובר דרך ראשית הצירים. לכל ערך כזה מצאו את ערך הפרמטר ttt שעבורו מתקבלת ראשית הצירים.

שאלה 3 · הצגה פרמטרית של ישר במישורשאלה קצרה · קשה

הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על הישר x‾=(0,1)+t(3,4)\underline{x}=(0,1)+t(3,4)x​=(0,1)+t(3,4): הנקודה AAA מתקבלת עבור t=0t=0t=0 והנקודה BBB עבור t=1t=1t=1. ABCDABCDABCD הוא ריבוע (הקודקודים בסדר זה), והקודקוד DDD נמצא ברביע הרביעי.

מצאו את שיעורי הקודקודים DDD ו-CCC.

שאלה 4 · הצגה פרמטרית של ישר במישור ומעבר לצורה y=mx+bשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(−1,3)A(-1,3)A(−1,3) ו-B(3,1)B(3,1)B(3,1), ונתון הישר ℓ: x‾=(2,−1)+t(1,3)\ell:\ \underline{x}=(2,-1)+t(1,3)ℓ: x​=(2,−1)+t(1,3).

א.

כתבו הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

כתבו את משוואת הישר ℓ\ellℓ בצורה y=mx+by=mx+by=mx+b, ובדקו אם הנקודה (4,5)(4,5)(4,5) נמצאת עליו.

שאלה 5 · הצגה פרמטרית של ישר במישורשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישר ℓ: x‾=t(1,2)\ell:\ \underline{x}=t(1,2)ℓ: x​=t(1,2) והנקודה P(5,0)P(5,0)P(5,0) (ראו סרטוט).
-4-2246-2246P

א.

מצאו את שיעורי הנקודה QQQ על הישר ℓ\ellℓ שעבורה PQ⊥ℓPQ\perp\ellPQ⊥ℓ.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה P′P'P′, תמונת הנקודה PPP בשיקוף ביחס לישר ℓ\ellℓ.

שאלה 6 · נקודה על ישר שמרחקיה משתי נקודות שווים, ומעויןשאלת ביניים · קשה

נתונים הישר ℓ: x‾=(1,2)+t(2,1)\ell:\ \underline{x}=(1,2)+t(2,1)ℓ: x​=(1,2)+t(2,1) והנקודות A(−2,3)A(-2,3)A(−2,3) ו-B(7,0)B(7,0)B(7,0).

א.

מצאו את הנקודה CCC על הישר ℓ\ellℓ שעבורה CA=CBCA=CBCA=CB.

ב.

מצאו את הנקודה DDD שעבורה ACBDACBDACBD הוא מקבילית, והוכיחו כי ACBDACBDACBD הוא מעוין.

ג.

חשבו את שטח המעוין ACBDACBDACBD.

שאלה 7 · הצגה פרמטרית של ישר במישורשאלה קצרה · בינונית

שני גופים נעים במישור. מיקום הגוף הראשון בזמן t≥0t\ge0t≥0 הוא x‾=t(1,1)\underline{x}=t(1,1)x​=t(1,1), ומיקום הגוף השני באותו זמן ttt הוא x‾=(6,2)+t(−1,1)\underline{x}=(6,2)+t(-1,1)x​=(6,2)+t(−1,1).

א.

מצאו את נקודת החיתוך של מסלולי שני הגופים. האם הגופים נפגשים? אם כן, מצאו את זמן המפגש; אם לא, נמקו.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר בין שני הגופים במהלך התנועה, ואת הזמן שבו הוא מתקבל.

שאלה 8 · עקב האנך, שיקוף של נקודה ושיפועים של ישרים מאונכיםשאלת ביניים · בינונית

נתונים הישר ℓ: x‾=(0,2)+t(2,1)\ell:\ \underline{x}=(0,2)+t(2,1)ℓ: x​=(0,2)+t(2,1) והנקודה P(4,−1)P(4,-1)P(4,−1).

א.

מצאו את שיעורי הנקודה QQQ על הישר ℓ\ellℓ שעבורה PQ⊥ℓPQ\perp\ellPQ⊥ℓ.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה P′P'P′, תמונת הנקודה PPP בשיקוף ביחס לישר ℓ\ellℓ.

ג.

כתבו בצורה y=mx+by=mx+by=mx+b את משוואת הישר PP′PP'PP′ ואת משוואת הישר ℓ\ellℓ, והראו בעזרת השיפועים כי PP′⊥ℓPP'\perp\ellPP′⊥ℓ.