שאלות פתוחות: הצגה פרמטרית של ישר במרחב - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הצגה פרמטרית של ישר במרחב לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות ישר שעובר דרך שתי נקודות, ישר עם פרמטר ובדיקה מתי הוא חותך מישור צירים, שני גופים שנעים במרחב ושאלה אם הם נפגשים, וישר החיתוך של שני מישורים שתלויים בפרמטר. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. המורה בוחר שאלות למבחן או לדף עבודה ומקבל פתרונות מלאים, עם ייצוא לוורד.

28 שאלותקלה: 7בינונית: 17קשה: 4

שאלה 1 · הצגה פרמטרית של ישר במרחבשאלה קצרה · קלה

נתון הישר x‾=(1,k,2)+t(k,2,−1)\underline{x}=(1,k,2)+t(k,2,-1)x​=(1,k,2)+t(k,2,−1), כאשר kkk פרמטר.

מצאו את הערך של kkk שעבורו הישר חותך את ציר ה-xxx, ומצאו את נקודת החיתוך.

שאלה 2 · הצגה פרמטרית של ישר במרחבשאלה קצרה · בינונית

גוף ראשון נע במרחב כך שמיקומו בזמן ttt הוא x‾=(1,2,0)+t(1,0,2)\underline{x}=(1,2,0)+t(1,0,2)x​=(1,2,0)+t(1,0,2). גוף שני נע כך שמיקומו באותו זמן ttt הוא x‾=(4,a,b)+t(0,1,1)\underline{x}=(4,a,b)+t(0,1,1)x​=(4,a,b)+t(0,1,1), כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

א.

מצאו את הערכים של aaa ו-bbb שעבורם שני הגופים נפגשים, ומצאו את נקודת המפגש.

ב.

מצאו את כל הערכים של aaa ו-bbb שעבורם מסלולי שני הגופים נחתכים (לאו דווקא נפגשים).

שאלה 3 · הצגה פרמטרית של ישר במרחבשאלה קצרה · קשה

נתונות הנקודות A(3,1,−1)A(3,1,-1)A(3,1,−1) ו-B(−2,−2,−1)B(-2,-2,-1)B(−2,−2,−1) והישר ℓ: x‾=(1,0,1)+t(1,1,0)\ell:\ \underline{x}=(1,0,1)+t(1,1,0)ℓ: x​=(1,0,1)+t(1,1,0).

מצאו את כל הנקודות CCC על הישר ℓ\ellℓ שעבורן ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘.

שאלה 4 · הצגה פרמטרית של ישר במרחבשאלה קצרה · קלה

ישר עובר דרך הנקודה P(0,3,2)P(0,3,2)P(0,3,2), ווקטור הכיוון שלו הוא (a,0,−1)(a,0,-1)(a,0,−1), כאשר aaa פרמטר. הישר חותך את המישור xyxyxy בנקודה QQQ שמרחקה מראשית הצירים הוא 555.

מצאו את הערכים האפשריים של aaa, ולכל אחד מהם את שיעורי הנקודה QQQ.

שאלה 5 · פירמידה שמקצועותיה מאונכים ושונים באורכם: עקב הגובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​ , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​ , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=2∣w‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|=2|\underline{w}|∣u​∣=∣v​∣=2∣w​∣, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}OH=tu​+sv​+kw​. ttt, sss ו-kkk הם פרמטרים. נתון כי OH→\overrightarrow{OH}OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א.

הוכיחו כי: s=ts=ts=t ו-k=4tk=4tk=4t.

ב.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, על התיכון CD, כך ש-CM:MD=1:2CM:MD=1:2CM:MD=1:2.

הוכיחו כי: OM→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{OM}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}OM=61​u​+61​v​+32​w​, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ\ellℓ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​ , v‾\underline{v}v​ , w‾\underline{w}w​, את הווקטור OP→\overrightarrow{OP}OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC גדול פי 3 מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ד.

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה-yyy, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה-zzz. נתון: ∣w‾∣=a|\underline{w}|=a∣w​∣=a.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ellℓ שעליו נמצא הקטע OP.

ה.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המישור ABC.

ו.

נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 181818. חשבו את aaa.

שאלה 6 · שני מישורים עם פרמטר: מתי ישר החיתוך פוגש מישור, ושטח כפונקציה של kשאלה מלאה · קשה

נתונים שני מישורים: π1:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0π1​:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0, π2:kx+y+z−2=0\pi_2: kx+y+z-2=0π2​:kx+y+z−2=0. kkk הוא פרמטר. נסמן ב-ℓ\ellℓ את ישר החיתוך של המישורים.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים נחתכים.

ב.

(1)

מצאו את הערך של kkk שעבורו הישר ℓ\ellℓ אינו נחתך עם המישור [yz][yz][yz]. נמקו.

(2)

עבור k≠2k\ne2k=2, הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ\ellℓ עם המישור [yz][yz][yz]. הביעו את שיעורי P באמצעות kkk.

ג.

הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את הערכים של kkk שעבורם שטח המשולש APB הוא 16.

ד.

מצאו את הזווית בין המישורים עבור כל אחד מהערכים של kkk שמצאתם בסעיף ג.

שאלה 7 · הצגה פרמטרית של ישר במרחבשאלה קצרה · קלה

הישר ℓ\ellℓ נתון על ידי ההצגה הפרמטרית x‾=(2,−1,4)+t(1,3,−2)\underline{x}=(2,-1,4)+t(1,3,-2)x​=(2,−1,4)+t(1,3,−2) (ראו סרטוט).
ℓOxyz

מצאו את נקודת החיתוך של הישר ℓ\ellℓ עם המישור xyxyxy ואת נקודת החיתוך שלו עם המישור yzyzyz.

שאלה 8 · שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך מקביל, זווית ושטח משולששאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מישורים, π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​: π1:(k−2)x+y+(k−3)z+3=0\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0π1​:(k−2)x+y+(k−3)z+3=0, π2:(k+1)x+y+z−9=0\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0π2​:(k+1)x+y+z−9=0. kkk הוא פרמטר.

א.

הסבירו מדוע בהכרח שני המישורים נחתכים זה עם זה.

ב.

ידוע כי ישר החיתוך בין שני המישורים, ℓ1\ell_1ℓ1​, מקביל לישר ℓ2:x‾=(2,0,5)+m(−1,k,k)\ell_2: \underline{x}=(2,0,5)+m(-1,k,k)ℓ2​:x​=(2,0,5)+m(−1,k,k).

(1)

מצאו את הערך של kkk.

(2)

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1\ell_1ℓ1​.

(3)

מצאו את הזווית בין המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ ועל מישור [yz][yz][yz]. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​ בהתאמה.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות P, A ו-B.

(2)

מצאו את שטח המשולש APB.

שאלה 9 · תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמליםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=02x+2y−z−12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא x‾=(1,0,2)+t(1,−1,0)\underline{x}=(1,0,2)+t(1,-1,0)x​=(1,0,2)+t(1,−1,0), אורך המקצוע AB הוא 323\sqrt232​, ושיעור ה-xxx של הקודקוד A הוא שלילי.
DCBAD'C'B'A'

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד A ואת אורך המקצוע BB′BB'BB′.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ג.

נתונה נקודה M(k,5,4)M(k,5,4)M(k,5,4), kkk הוא פרמטר. גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60∘60^\circ60∘. נתון גם כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC′D′DCC'D'DCC′D′, וכי נפח התיבה הוא 72.

מצאו את הערך של kkk.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד D.

ה.

מצאו את שיעורי הקודקוד C′C'C′.

שאלה 10 · שני מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך, זווית ונקודות חיתוךשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0π1​:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0, π2:(k+1)x+y+z+6=0\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0π2​:(k+1)x+y+z+6=0. kkk הוא פרמטר.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים אינם מקבילים.

ב.

(1)

הראו כי עבור k=1k=1k=1 ישר החיתוך של המישורים, ℓ1\ell_1ℓ1​, מקביל לווקטור (−1,1,1)(-1,1,1)(−1,1,1).

(2)

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ עבור k=1k=1k=1.

(3)

מצאו את הזווית בין המישורים עבור k=1k=1k=1.

ג.

עבור k=1k=1k=1: הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ1\ell_1ℓ1​ עם המישור [yz][yz][yz], והנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את שיעורי P, A ו-B, והיעזרו בכך שהמשולש APB נמצא במישור [yz][yz][yz] כדי לחשב את שטחו.

עוד 10 שאלות על הצגה פרמטרית של ישר במרחב

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ישר ומישור עם פרמטר: ניצבות, נקודת חיתוך ומישור יחיד (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(4,-6,5)+t\cdot(m-2,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
נקודה נוספת על ישר במרחב באותו מרחק מראשית הצירים (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הנקודות $A(2,-1,3)$ ו- $B(4,3,1)$ . $O$ היא ראשית הצירים.
ישר ומישור עם פרמטר: צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-6,5)+t\cdot(m,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . $A(0,0,0)$ , $B(3,4,0)$ , $C(5,0,0)$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ .
פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי משוואת המישור $A'B'C'$ היא…
קודקוד של מנסרה על ישר נתון במרחק נתון (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי $C(1,2,3)$ .
קודקודי פירמידה, ישר המקביל למקצוע וחיתוכו עם מישור צירים (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה שמקצועותיה מאונכים בקודקוד: גובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2
נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{OC}=\underline{w}$ . נתון:…
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך, זווית ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 2
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k+2)x+y+(k+1)z+11=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-5=0$ . $k$ הוא פרמטר.
ישר ומישור עם פרמטר: אי-הקבלה, ניצבות, נקודת חיתוך ומישור דרך ישר ונקודה · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 2
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(-1,5,-11)+t\cdot(m-1,5-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא: $3x+my+(m+6)z+4=0$ .…
פירמידה משולשת: ניצבות, קודקודים, ישר מקביל ויחס נפחים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AE}=\underline{u}$ . נתון:…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+4y-8z-126=0$ , וכי $B(0,7,8)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,-2,4)$ ו- $B(5,4,2)$ .
וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $A(1,2,3)$ ו- $B(3,6,1)$ . הנקודה $P$ נמצאת על ציר ה- $z$ , והנקודות $A$ , $B$ ו- $P$ נמצאות על ישר…
הוכחת ניצבות בין וקטורים ובין וקטור למישור (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה הישרה $SABCD$ נתונים קודקודי הבסיס $A(0,0,0)$ , $B(4,0,0)$ , $C(4,4,0)$ , $D(0,4,0)$ והקודקוד…