שאלות פתוחות: זווית בין שני ישרים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על זווית בין שני ישרים במישור ובמרחב לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חישוב זווית בין ישרים לפי ההצגה הפרמטרית, מציאת פרמטר בווקטור הכיוון כשהזווית נתונה, ישר שיוצר זוויות נתונות עם הצירים, ושאלות שמשלבות נקודת חיתוך של ישרים עם חישוב הזווית ביניהם. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. בחרו שאלות לבוחן על זוויות בין ישרים, והורידו את השאלות ואת הפתרונות המלאים כקובץ וורד.

18 שאלותקלה: 3בינונית: 11קשה: 4

שאלה 1 · זווית בין שני ישריםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני ישרים במישור: ℓ1: x‾=(1,0)+t(1,3)\ell_1:\ \underline{x}=(1,0)+t(1,3)ℓ1​: x​=(1,0)+t(1,3) ו-ℓ2: x‾=(4,4)+s(2,1)\ell_2:\ \underline{x}=(4,4)+s(2,1)ℓ2​: x​=(4,4)+s(2,1).

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים.

ב.

מצאו את הזווית החדה שבין הישרים.

שאלה 2 · זווית בין שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני ישרים במרחב. וקטורי הכיוון שלהם הם u→=(1,k,0)\vec{u}=(1,k,0)u=(1,k,0) ו-v→=(1,1,2)\vec{v}=(1,1,\sqrt{2})v=(1,1,2​), כאשר kkk פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של kkk שעבורו הזווית בין הישרים היא 45∘45^\circ45∘.

ב.

האם קיים ערך של kkk שעבורו הזווית בין הישרים היא 30∘30^\circ30∘? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

שאלה 3 · זווית בין שני ישריםשאלה קצרה · קשה

ישר ℓ\ellℓ במרחב יוצר זווית של 60∘60^\circ60∘ עם ציר ה-xxx וזווית של 60∘60^\circ60∘ עם ציר ה-yyy.

א.

מצאו את הזווית שהישר ℓ\ellℓ יוצר עם ציר ה-zzz.

ב.

ישר אחר, mmm, יוצר זווית של 60∘60^\circ60∘ עם ציר ה-xxx וזווית של 30∘30^\circ30∘ עם ציר ה-yyy. הראו כי הישר mmm מאונך לציר ה-zzz.

שאלה 4 · ישרים נחתכים במרחב: מישור, אנך ונפח פירמידהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(2,1,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,0)ℓ1​: x​=t(2,1,0) ו-ℓ2: x‾=(4,2,0)+m(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x}=(4,2,0)+m(0,1,1)ℓ2​: x​=(4,2,0)+m(0,1,1). הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את הזווית בין הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ג.

הראו כי הווקטור (1,−2,2)(1,-2,2)(1,−2,2) ניצב לשני הישרים, ומצאו את משוואת המישור π\piπ שמכיל את שני הישרים.

ד.

מן הנקודה A מעלים אנך למישור π\piπ ומסמנים עליו את הנקודה S, כך ש-AS=6AS=6AS=6.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).

הנקודה B(4,3,1)B(4,3,1)B(4,3,1) נמצאת על הישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה SAOB.

שאלה 5 · זווית בין שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

וקטורי הכיוון של שני ישרים במרחב הם u→=(1,a,1)\vec{u}=(1,a,1)u=(1,a,1) ו-v→=(a,1,−1)\vec{v}=(a,1,-1)v=(a,1,−1), כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את הערך של aaa שעבורו הישרים מאונכים זה לזה.

ב.

מצאו את כל הערכים של aaa שעבורם הזווית בין הישרים היא 60∘60^\circ60∘.

שאלה 6 · ישרים עם פרמטר במרחב: טווח הזווית ונפח פירמידהשאלה מלאה · קשה

נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(1,−2,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)ℓ1​: x​=t(1,−2,0) ו-ℓ2: x‾=(2,−4,0)+m(k,0,1)\ell_2:\ \underline{x}=(2,-4,0)+m(k,0,1)ℓ2​: x​=(2,−4,0)+m(k,0,1), kkk הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, O היא ראשית הצירים, ו-α\alphaα היא הזווית בין הישרים.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה A, והביעו את cos⁡α\cos\alphacosα באמצעות kkk.

ב.

האם קיים ערך של kkk שבעבורו הזווית בין הישרים היא 60∘60^\circ60∘? נמקו, ומצאו את כל הערכים האפשריים של α\alphaα.

ג.

המישור π\piπ מכיל את שני הישרים. הביעו את משוואת המישור π\piπ באמצעות kkk.

ד.

הנקודה B נמצאת על ℓ2\ell_2ℓ2​ כך ש-AB=AOAB=AOAB=AO. מן הנקודה A מעלים אנך למישור π\piπ ומסמנים עליו נקודה S כך ש-AS=AOAS=AOAS=AO.

מצאו את הערכים של kkk שבעבורם נפח הפירמידה SAOB הוא 10210\sqrt2102​.

שאלה 7 · הזווית בין שני ישרים במרחבשאלה קצרה · קלה

נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(2,1,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,0)ℓ1​: x​=t(2,1,0) ו-ℓ2: x‾=(4,2,0)+m(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x}=(4,2,0)+m(0,1,1)ℓ2​: x​=(4,2,0)+m(0,1,1).

מצאו את הזווית בין הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​ (עגלו למאית המעלה).

שאלה 8 · שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידהשאלה מלאה · בינונית

נתונים שני ישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: ℓ1: x‾=t(1,−2,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)ℓ1​: x​=t(1,−2,0), ℓ2: x‾=(2,−4,0)+m(k,0,1)\ell_2:\ \underline{x}=(2,-4,0)+m(k,0,1)ℓ2​: x​=(2,−4,0)+m(k,0,1). kkk הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב.

נסמן ב-α\alphaα את הזווית בין הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו מתקיים: cos⁡α=25\cos\alpha=\frac25cosα=52​.

הציבו: k=2k=2k=2, וענו על הסעיפים ג-ה. המישור π\piπ מכיל את הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ג.

מצאו את משוואת המישור π\piπ.

ד.

הנקודה B נמצאת על הישר ℓ2\ell_2ℓ2​, והנקודה O היא ראשית הצירים. המשולש AOB הוא שווה שוקיים, AO=ABAO=ABAO=AB.

הסבירו מדוע המשולש AOB נמצא במישור π\piπ.

ה.

מן הנקודה A מעלים אנך למישור π\piπ ומסמנים עליו את הנקודה S. נתון: נפח הפירמידה SAOB הוא: 14.

מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).

שאלה 9 · תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמליםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=02x+2y−z−12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא x‾=(1,0,2)+t(1,−1,0)\underline{x}=(1,0,2)+t(1,-1,0)x​=(1,0,2)+t(1,−1,0), אורך המקצוע AB הוא 323\sqrt232​, ושיעור ה-xxx של הקודקוד A הוא שלילי.
DCBAD'C'B'A'

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד A ואת אורך המקצוע BB′BB'BB′.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ג.

נתונה נקודה M(k,5,4)M(k,5,4)M(k,5,4), kkk הוא פרמטר. גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60∘60^\circ60∘. נתון גם כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC′D′DCC'D'DCC′D′, וכי נפח התיבה הוא 72.

מצאו את הערך של kkk.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד D.

ה.

מצאו את שיעורי הקודקוד C′C'C′.

שאלה 10 · זווית בין שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,0,2)+t(1,2,2)\ell_1:\ \underline{x}=(1,0,2)+t(1,2,2)ℓ1​: x​=(1,0,2)+t(1,2,2) ו-ℓ2: x‾=(0,1,0)+s(0,k,1)\ell_2:\ \underline{x}=(0,1,0)+s(0,k,1)ℓ2​: x​=(0,1,0)+s(0,k,1), kkk הוא פרמטר. נסמן ב-α\alphaα את הזווית בין הישרים.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו cos⁡α=223\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}3cosα=322​​.

עוד 5 שאלות על זווית בין שני ישרים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הזווית בין ישרים כפונקציה של פרמטר, טווח הזוויות ונפח פירמידה (שאלת ביניים · קשה)
נתונים הישרים $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ו- $\ell_2:\ \underline{x}=(2,-4,0)+m(k,0,1)$ , $k$ הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
זווית בין שני ישרים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $\ell:\ \underline{x}=(2,1,0)+t(1,0,1)$ , והנקודה $A(2,1,0)$ שעליו. נתונה הנקודה $M(4,k,2)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. גודל הזווית שבין…
מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי משוואת המישור $A'B'C'$ היא…
קודקוד של תיבה על ישר, ופרמטר מזווית של 60 מעלות בין ישרים (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי $B(1,2,3)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(-1,3,0)$ , $\ell_2:\ \underline{x}=(1,-3,0)+m(0,k,1)$ .…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+4y-8z-126=0$ , וכי $B(0,7,8)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית וחישוב זוויות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,0,0)$ , $B(0,2,0)$ ו- $C(0,0,c)$ , כאשר $c>0$ . נתון: $\cos\angle BAC=\frac15$ .