שאלות פתוחות: הצבה בביטוי אלגברי - כיתה ז'

תרגול בשאלות פתוחות על הצבה בביטוי אלגברי לכיתה ז': מציבים מספרים, גם שליליים, במקום המשתנה ומחשבים לפי סדר הפעולות. יש הצבה בביטויים עם שני משתנים ועם חזקות, חישוב שטח והיקף של פוסטר מלבני, הזמנת פיצות עם דמי משלוח, וטענות על ביטוי שצריך לבדוק אם הן נכונות לכל מספר. השאלות מגיעות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן לבוחן או לדף תרגול, וקבלו לכל שאלה פתרון מלא שאפשר להוריד כקובץ Word.

58 שאלותרמה א': 25רמה ב': 19מצוינות: 14

שאלה 1 · סדר הפעולות בביטוי והתאמה לסיפורשאלה קצרה · רמה א'

t+20t + 20t+20
20t+1020t + 1020t+10
2(t+3)2(t + 3)2(t+3)

א.

הסבירו במילים את סדר הפעולות שיש לבצע בביטויים הבאים, לאחר הצבת מספר במקום ttt.

ב.

התאימו כל אחד מהביטויים הללו, לאחד התיאורים המילוליים הבאים:
i\mathrm{i}i. הציון של נבו במבחן גבוה מהציון של חן ב- 202020 נקודות.
ii\mathrm{ii}ii. עברנו דרך בהליכה של 101010 ק"מ, ואז המשכנו בדרך על אופנוע במהירות 202020 קמ"ש, במשך זמן מה.
iii\mathrm{iii}iii. המחיר של העגבניות התייקר השבוע ב- 333 ₪ לק"ג, ולכן קניתי רק שני ק"ג עגבניות ושילמתי עליהם.

שאלה 2 · הצבת מספרים טבעיים בביטוישאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה זו מציבים מספרים במקום המשתנה ppp ומחשבים לפי סדר הפעולות.

א.

הציבו בביטוי 30−4⋅p30-4\cdot p30−4⋅p את המספרים 222, 555 ו-777 במקום ppp. מהו ערך הביטוי בכל אחד מהמקרים?

ב.

הציבו p=3p=3p=3 בביטוי 2⋅(p+6)2\cdot(p+6)2⋅(p+6) וגם בביטוי 2⋅p+62\cdot p+62⋅p+6. האם התוצאות שוות? הסבירו מה ההבדל בסדר הפעולות.

שאלה 3 · פוסטר על לוח: מה תלוי ברוחב ומה לאשאלה מלאה · מצוינות

פוסטר מלבני ABCDABCDABCD רוחבו aaa ס"מ, ואורכו גדול ב-555 ס"מ מרוחבו.

א.

כתבו ביטוי אלגברי להיקף הפוסטר וביטוי אלגברי לשטח הפוסטר.

ב.

מדפיסים פוסטר חדש שרוחבו פי 222 מרוחב הפוסטר הקודם, ואורכו שוב גדול ב-555 ס"מ מרוחבו. נועה אומרת: "גם ההיקף של הפוסטר החדש יהיה פי 222." בדקו עבור a=10a=10a=10. האם נועה צודקת תמיד, לפעמים או אף פעם? הסבירו לפי הצלעות.

ג.

מדביקים את הפוסטר ABCDABCDABCD (מסעיף א) על לוח מלבני PQRSPQRSPQRS, כך שמכל צד של הפוסטר נשארים שוליים ברוחב 222 ס"מ.
aPQRSABCD

כתבו ביטויים אלגבריים לרוחב הלוח ולאורכו. בכמה סנטימטרים היקף הלוח גדול מהיקף הפוסטר? האם התשובה תלויה ב-aaa?

ד.

כתבו ביטוי אלגברי לשטח השוליים (החלק של הלוח שהפוסטר אינו מכסה). חשבו אותו עבור a=10a=10a=10.

ה.

אורי אומר: "בסעיף ג ההיקף גדל תמיד באותו מספר. לכן גם שטח השוליים הוא תמיד 116116116 סמ"ר, לכל רוחב של פוסטר." בדקו את דבריו עבור a=20a=20a=20 והכריעו. הסבירו במילים למה שטח השוליים משתנה כשהפוסטר גדל.

שאלה 4 · הזמנת פיצות למסיבת כיתהשאלה מלאה · רמה א'

כיתה מזמינה פיצות למסיבת סוף שנה. כל מגש פיצה עולה אותו מחיר, ועל כל הזמנה משלמים גם 202020 ש"ח משלוח (פעם אחת לכל ההזמנה).

א.

מגש פיצה עולה 404040 ש"ח. העתיקו את הטבלה והשלימו אותה. השורה הראשונה כבר מלאה.
מספר המגשיםהתרגילהמחיר הכולל (ש"ח)
1111⋅40+201\cdot 40+201⋅40+20606060
333??
777??

מספר המגשים	התרגיל	המחיר הכולל (ש"ח)
$1$	$1\cdot 40+20$	$60$
$3$	?	?
$7$	?	?

ב.

בפיצרייה אחרת מגש עולה ppp ש"ח, והמשלוח גם שם 202020 ש"ח. כתבו ביטוי אלגברי למחיר הכולל של 555 מגשים, וביטוי אלגברי למחיר הכולל של nnn מגשים.

ג.

דני כתב למחיר הכולל של nnn מגשים את הביטוי n⋅(p+20)n\cdot(p+20)n⋅(p+20). איזה מצב מתאר הביטוי של דני? הסבירו למה הוא אינו מתאים להזמנה של הכיתה.

ד.

בכיתה 303030 תלמידים, וכולם מתחלקים בתשלום שווה בשווה. כתבו ביטוי אלגברי לסכום שמשלם כל תלמיד כשמזמינים nnn מגשים שכל אחד עולה ppp ש"ח. כמה משלם כל תלמיד כשמזמינים 777 מגשים במחיר 404040 ש"ח למגש?

ה.

בפיצרייה של סעיף א (מגש 404040 ש"ח, משלוח 202020 ש"ח) מציעים קופון: כל מגש זול ב-555 ש"ח, אבל המשלוח עולה פי 222. כתבו ביטוי אלגברי למחיר של nnn מגשים עם הקופון. האם הקופון כדאי בהזמנה של 333 מגשים? ובהזמנה של 777 מגשים?

שאלה 5 · הצבה בביטוי עם חזקות ושני משתניםשאלה קצרה · רמה ב'

נתון הביטוי a2+2⋅b3a^2+2\cdot b^3a2+2⋅b3.

א.

מהו ערך הביטוי עבור a=3a=3a=3 ו-b=1b=1b=1?

ב.

מהו ערך הביטוי עבור a=1a=1a=1 ו-b=2b=2b=2?

שאלה 6 · תמיד, לפעמים או אף פעםשאלה קצרה · מצוינות

בכל סעיף מופיעה טענה על ביטוי, כאשר aaa יכול להיות כל מספר: חיובי, שלילי או אפס.
קבעו אם הטענה נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם לא נכונה. נמקו: לטענה שנכונה לפעמים הראו הצבה שבה היא נכונה והצבה שבה היא לא נכונה.

א.

הערך של a⋅a+1a\cdot a+1a⋅a+1 הוא מספר חיובי.

ב.

הערך של −a-a−a הוא מספר שלילי.

שאלה 7 · הצבת מספרים שליליים ועשרוניים בביטוי עם שני משתניםשאלה קצרה · רמה א'

נתון הביטוי x⋅y−2⋅xx\cdot y-2\cdot xx⋅y−2⋅x.

א.

מהו ערך הביטוי עבור x=−3x=-3x=−3 ו-y=4y=4y=4?

ב.

מהו ערך הביטוי עבור x=0.5x=0.5x=0.5 ו-y=−2y=-2y=−2?

שאלה 8 · נוסחה לספירת לחיצות ידייםשאלת ביניים · רמה ב'

בתחילת שנה בחוג רובוטיקה כל משתתף לוחץ יד לכל אחד מהמשתתפים האחרים, פעם אחת בלבד.
אם בחוג יש nnn משתתפים, מספר לחיצות הידיים הוא:
n⋅(n−1)2\frac{n\cdot(n-1)}{2}2n⋅(n−1)​

א.

בחוג יש 444 משתתפים: אורי, בר, גל ודנה. הציבו n=4n=4n=4 בנוסחה. אחר כך כתבו את כל זוגות המשתתפים שלוחצים ידיים, ובדקו שמספר הזוגות שווה למה שקיבלתם מהנוסחה.

ב.

כמה לחיצות ידיים יהיו בחוג של 101010 משתתפים? וכמה בחוג של 111111 משתתפים? בכמה גדול המספר השני מהראשון?

ג.

הסבירו במילים, בלי הנוסחה, למה כשמצטרף לחוג של 101010 משתתפים משתתף אחד נוסף, מספר לחיצות הידיים גדל בדיוק ב-101010.

שאלה 9 · מתי טעות בסדר הפעולות נותנת תשובה נכונהשאלת ביניים · מצוינות

יואב היה צריך לחשב את ערך הביטוי 3+2⋅x3+2\cdot x3+2⋅x. הוא חיבר קודם 3+2=53+2=53+2=5, ורק אחר כך כפל ב-xxx. כלומר במקום הביטוי 3+2⋅x3+2\cdot x3+2⋅x הוא חישב את 5⋅x5\cdot x5⋅x.

א.

מה הערך הנכון של הביטוי עבור x=4x=4x=4, ומה התוצאה שיואב קיבל?

ב.

חשבו את שני הביטויים, 3+2⋅x3+2\cdot x3+2⋅x ו-5⋅x5\cdot x5⋅x, עבור x=0x=0x=0, x=1x=1x=1 ו-x=2x=2x=2. עבור איזה ערך יואב היה מקבל, במקרה, את התשובה הנכונה?

ג.

הסבירו למה לכל מספר xxx שגדול מ-111 התוצאה של יואב גדולה מהערך הנכון. רמז: בכמה גדל כל אחד מהביטויים כש-xxx גדל ב-111?

שאלה 10 · הצבה של מכפלה ידועהשאלה קצרה · רמה א'

לא יודעים מה הם המספרים mmm ו-nnn, אבל ידוע כי m⋅n=−4m\cdot n=-4m⋅n=−4.

א.

חשבו את הערך של 3⋅m⋅n3\cdot m\cdot n3⋅m⋅n ואת הערך של m⋅n+10m\cdot n+10m⋅n+10.

ב.

חשבו את הערך של (m⋅n)2(m\cdot n)^2(m⋅n)2 ואת הערך של 5−2⋅m⋅n5-2\cdot m\cdot n5−2⋅m⋅n.

עוד 41 שאלות על הצבה בביטוי אלגברי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מיכל מים מתרוקן (שאלה מלאה · רמה ב')
במיכל מים יש $500$ ליטר. פותחים את הברז, ובכל דקה יוצאים מהמיכל $12$ ליטר. כמות המים שנשארת במיכל אחרי $t$ דקות, בליטרים, היא:…
ביטוי שנותן מספרים ראשוניים? (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון הביטוי $n^2-n+11$ , כאשר $n$ הוא מספר טבעי.
שיטת ניקוד בליגת כדורגל (שאלת ביניים · רמה א')
ארבע כיתות של שכבה ז' השתתפו בליגת כדורגל של בתי הספר בעיר. בטבלה מספר הניצחונות ( $w$ ), מספר התוצאות בתיקו ( $d$ ) ומספר ההפסדים של כל כיתה:…
הצבה בביטוי 21-3a (שאלה קצרה · רמה ב')
הציבו בביטוי האלגברי $21-3a$ את הערכים: $3$ , $4$ , $5$ , במקומו של המשתנה $a$ ,
שני מספרים סודיים: מה אפשר לגלות? (שאלה מלאה · מצוינות)
נועה חשבה על שני מספרים, $a$ ו- $b$ . היא לא גילתה מה הם, וסיפרה רק: $a+b=10 \qquad a\cdot b=21$
השוואת שני ביטויים בעזרת טבלת הצבות (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים שני ביטויים: $4\cdot x-1$ ו- $x^2+2$ .
היקף מצולע שצלעותיו מסומנות באותיות (שאלה קצרה · רמה ב')
אורכי הצלעות של המצולע שבסרטוט מסומנים בעזרת המשתנים $b$ ו- $c$ :
שטח הפנים של מגדל קוביות (שאלת ביניים · מצוינות)
לפניכם סדרת מגדלים הבנויים מקוביות, אורך מקצוע של כל קובייה הוא $a$ ס"מ. בכל אחד מהסעיפים נמקו את תשובתכם.
שטח והיקף של מלבן שנחתכה ממנו פינה (שאלה מלאה · רמה א')
ממלבן שרוחבו $x$ ס"מ ואורכו $x+4$ ס"מ חתכו בפינה ריבוע שצלעו $2$ ס"מ, וקיבלו את הצורה הבאה: שירה כתבה ביטוי לשטח הצורה ( $S$ , בסמ"ר) וביטוי…
גובה צוק לפי זמן הנפילה (שאלת ביניים · רמה ב')
אריאל הפיל כדור מראש של צוק וגילה שהכדור הגיע לקרקע 3 שניות לאחר שהוא הפיל אותו. בעזרת חוקי פיסיקה אנו יודעים שאפשר לחשב בערך את הגובה ( $h$ )…
מחיר עוגת שכבות: שכבות או צלע? (שאלת ביניים · מצוינות)
בקונדיטוריה מוכרים עוגות ריבועיות. המחיר של עוגה בשקלים מחושב לפי הנוסחה $\frac{n\cdot a^2}{20}$ , כאשר $n$ הוא מספר השכבות של העוגה ו- $a$ …
הצבה של סכום ידוע (שאלה קצרה · רמה א')
ידוע כי $a+b=5$ . חשבו:
הצבה בביטוי 4t+2-3t+1 (שאלה קצרה · רמה ב')
הציבו את המספרים $1, 2, 3, \ldots$ במקום המשתנה $t$ בביטוי: $4t+2-3t+1$ .
שלושה מנויים לבריכה: מתי כל אחד הכי זול? (שאלת ביניים · מצוינות)
בבריכה שלושה סוגי מנוי חודשי. $n$ הוא מספר הכניסות בחודש. "כחול": $25$ ש"ח לכל כניסה, בלי דמי הרשמה. "ירוק": $70$ ש"ח דמי הרשמה, ועוד $15$ …
ערכו של 5b-1.5c בארבע הצבות (שאלה קצרה · רמה א')
נתון ביטוי אלגברי $5b-1.5c$
הצבת מספר שלילי או עשרוני: קודם סוגריים (שאלה קצרה · רמה ב')
כשמציבים מספר שלילי במקום משתנה, כותבים אותו בתוך סוגריים. למשל, כאשר $x=-2$ : $5\cdot x+1=5\cdot(-2)+1=-10+1=-9$
מספר שלילי לא ידוע: מה הסימן של הביטוי? (שאלה קצרה · מצוינות)
$x$ הוא מספר שלילי כלשהו, וערכו המדויק לא ידוע. לכל ביטוי קבעו: חיובי תמיד, שלילי תמיד, או שהסימן תלוי בערך של $x$ . סימן קבוע נמקו בנימוק…
ערכו של h³+4k²-4 בארבע הצבות (שאלה קצרה · רמה א')
נתון ביטוי אלגברי $h^3+4k^2-4$
כרטיס ללונה פארק והצבה בביטוי עם ריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
בשאלה שני סעיפים נפרדים. בכל סעיף מציבים מספרים ומחשבים לפי סדר הפעולות.
בונים ביטוי עם תכונות, וביטוי שלא משתנה בהחלפה (שאלה קצרה · מצוינות)
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
מכונית השנה: ציון משוקלל (שאלת ביניים · רמה א')
מגזין רכב משתמש בשיטת דירוג כדי להעריך מכוניות חדשות, ומעניק את התואר "מכונית השנה" למכונית בעלת הציון הכולל הגבוה ביותר. המגזין העריך חמש…
ידוע רק הסכום $x + y$ (שאלה קצרה · רמה ב')
לא יודעים מה הם המספרים $x$ ו- $y$ , אבל ידוע ש- $x+y=6$ . בכל מקום שבו כתוב $(x+y)$ אפשר להציב $6$ .
שיחה שמחויבת על כל דקה שהתחילה (שאלה קצרה · מצוינות)
בתוכנית טלפון לחו"ל משלמים $3$ ש"ח על כל דקת שיחה שהתחילה, גם אם לא הסתיימה. גלית כתבה נוסחה לתשלום: $3\cdot t$ ש"ח, כאשר $t$ הוא אורך השיחה…
ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט (שאלת ביניים · רמה א')
בארצות הברית מודדים טמפרטורה במעלות פרנהייט. כדי לעבור ממעלות צלזיוס למעלות פרנהייט, מציבים את הטמפרטורה במעלות צלזיוס, $c$ , בביטוי:…
מכונות מספרים: מה עושים קודם? (שאלת ביניים · רמה ב')
שתי מכונות מקבלות מספר ומוציאות מספר אחר. מכונה א: מוסיפה למספר $3$ , ואחר כך כופלת את התוצאה ב- $2$ . מכונה ב: כופלת את המספר ב- $2$ , ואחר כך…
מחיר כרטיס והכנסה: הצבות בנוסחה (שאלת ביניים · מצוינות)
מועדון בשכונה מארגן הופעה קטנה. אם מחיר הכרטיס הוא $p$ ש"ח, צפויים לקנות כרטיסים $50-p$ אנשים, וההכנסה בשקלים מחושבת לפי הנוסחה…
מה אפשר לחשב כשידוע רק הסכום? (שאלה קצרה · רמה א')
ידוע ש- $m+n=8$ . לא יודעים מה הם $m$ ו- $n$ עצמם.
מהביטוי לאיברי הסדרה (שאלה קצרה · רמה ב')
בסדרה מסוימת, האיבר במקום ה- $n$ הוא $6\cdot n-4$ .
ביטוי עם ריבוע: מתי התוצאה שלילית? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון הביטוי $3\cdot x^2-10\cdot x$ .
מלבן שידוע רק סכום האורך והרוחב (שאלת ביניים · רמה א')
אורך מלבן הוא $a$ ס"מ ורוחבו $b$ ס"מ. לא יודעים מה הם $a$ ו- $b$ , אבל ידוע ש- $a+b=9$ .
חמשת האיברים הראשונים לפי ביטוי (שאלה קצרה · רמה ב')
מהם חמשת האיברים הראשונים של הסדרה שבמקום ה- $n$ שלה נמצא המספר $3\cdot n - 1$ ?
שני ביטויים ב-p וב-q: האם הם יכולים להיות שווים? (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים שני ביטויים עם המשתנים $p$ ו- $q$ : $A = 5(p + q) - 2(p - q) \qquad\qquad B = 2(p - 3q) + p$
סדר הפעולות בביטויים עם ריבוע (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
מרפסת בצורת L: ביטוי לשטח והצבה (שאלת ביניים · רמה ב')
משפחת לוי מתכננת מרפסת בצורת המצולע $ABCDEF$ . כל הזוויות של המצולע ישרות. המידות: $AB=x$ מ' (האורך עוד לא נקבע), $AF=4$ מ', $CD=3$ מ',…
היקף משולש שצלעותיו ביטויים (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ אורכי הצלעות (בס"מ) הם: $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 1$ , $CA = 2x - 3$ . ( $x$ הוא מספר גדול מ- $2$ .)
קו שבר וסדר פעולות; תוצאות נגדיות (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
פרחים בחנות המשתלה ובאתר האינטרנט (שאלת ביניים · רמה א')
במשתלה מסוימת אפשר לקנות פרחים בשתי דרכים: בחנות המשתלה, או באתר האינטרנט של המשתלה. בקנייה בחנות המחיר של כל פרח הוא $7.5$ ₪. בקנייה באתר…
כמה אריחים לרצפה ריבועית? (שאלה קצרה · רמה א')
מספר האריחים שצריך כדי לרצף רצפה בצורת ריבוע שצלעה $a$ מטרים הוא $4\cdot a^2$ .
איפה הטעות בהצבה? (שאלה קצרה · רמה א')
ארבעה תלמידים הציבו מספרים בביטויים, וכל אחד מהם טעה בשלב אחד. בכל מקרה מצאו את הטעות וחשבו את הערך הנכון.
הצבה הפוכה: מהתוצאה אל המספר (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
חולצות מודפסות: מחיר כולל ומחיר ממוצע (שאלת ביניים · רמה א')
בבית דפוס מדפיסים חולצות עם סמל בית הספר. על כל הזמנה משלמים $90$ ש"ח להכנת התבנית, ועוד $15$ ש"ח על כל חולצה. המחיר בשקלים של הזמנה של $n$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שתי חברות שליחים: הצבה ונקודת שוויון (שאלת ביניים · רמה א')
בשתי חברות שליחים המחיר של משלוח חבילה תלוי במשקל החבילה, $x$ (בקילוגרמים). בחברה א' המחיר (בשקלים) הוא…
מרחק הבלימה של מכונית (שאלה קצרה · רמה ב')
כאשר נהג לוחץ על הבלמים, המכונית ממשיכה לעבור מרחק מסוים עד לעצירה מוחלטת. מרחק הבלימה (נסמן ב- $d$ , במטרים)…
גובה הצוק (שאלה קצרה · רמה ב')
אמיר מפיל כדור מראש צוק. את גובה הצוק (נסמן ב- $h$ ) ניתן לחשב במטרים באמצעות הנוסחה: $h = 5t^2$ . כאשר $t$ …
דופק מרבי באימון גופני (שאלה קצרה · רמה א')
דופק מרבי באימון גופני ספורטאים משתמשים בנוסחה כדי לחשב את "הדופק המרבי" המומלץ להם בזמן מאמץ (כדי לשמור על…
המרת מעלות חום: צלזיוס ופרנהייט (שאלת ביניים · רמה ב')
המרת מעלות חום (צלזיוס ופרנהייט) בעולם המדע, ובמדינות כמו ארה"ב, מודדים טמפרטורה במעלות פרנהייט ( $F$ ). הקשר…
מרחק הבלימה של אופניים חשמליים (שאלה מלאה · רמה א')
מרחק הבלימה של אופניים חשמליים (נסמן $d$ , במטרים) תלוי במהירות הנסיעה (נסמן $v$ , בקמ"ש). בכביש יבש מרחק הבלימה…
סדר פעולות עם חזקות ומספרים מכוונים (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו בלי מחשבון. שימו לב לסדר הפעולות: קודם סוגריים, אחר כך חזקות, אחר כך כפל וחילוק, ובסוף חיבור וחיסור.