שאלות פתוחות: כינוס איברים דומים - כיתה ז'

שאלות פתוחות על כינוס איברים דומים לכיתה ז', עם ביטויים בשני משתנים ומספרים חופשיים. בין השאלות: מציאת טעות בפתרון של תלמידה שכינסה בשלבים, השלמת איבר חסר כך שהשוויון יתקיים לכל ערך, סכום של מספרים עוקבים, והיקף משולש שאורכי צלעותיו נתונים כביטויים. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את השאלות שמתאימות לכיתה שלכם לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרון מלא לכל אחת וייצוא ל-Word.

36 שאלותרמה א': 16רמה ב': 11מצוינות: 9

שאלה 1 · איפה הטעות? קיצור ביטוי עם שני משתניםשאלה קצרה · רמה א'

יעל רצתה לכתוב את הביטוי 6p−2q+3−4p−q−56p - 2q + 3 - 4p - q - 56p−2q+3−4p−q−5 בצורה קצרה. היא עבדה בשלבים:
שלב 1: 2p−2q+3−q−52p - 2q + 3 - q - 52p−2q+3−q−5
שלב 2: 2p−q+3−52p - q + 3 - 52p−q+3−5
שלב 3: 2p−q−22p - q - 22p−q−2

באחד השלבים יש טעות. מצאו אותו והסבירו מה יעל עשתה לא נכון. כתבו את הביטוי המכונס הנכון. הציבו p=2p = 2p=2, q=1q = 1q=1 בביטוי המקורי, בביטוי הנכון ובתוצאה של יעל, והשוו.

שאלה 2 · הצבה בביטוי 4t+2-3t+1שאלה קצרה · רמה ב'

הציבו את המספרים 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots1,2,3,… במקום המשתנה ttt בביטוי: 4t+2−3t+14t+2-3t+14t+2−3t+1.

חשבו את ערך הביטוי עבור t=1t=1t=1, t=2t=2t=2 ו-t=3t=3t=3.

שאלה 3 · בדיקה בהצבה וביטוי שערכו קבועשאלה קצרה · מצוינות

בשאלה שני סעיפים נפרדים.

א.

נועה כינסה את הביטוי x+xx + xx+x וכתבה: x+x=x2x + x = x^2x+x=x2.
היא בדקה בהצבה x=2x = 2x=2 וקיבלה ערכים שווים בשני הצדדים, ולכן אמרה שהכינוס נכון.
האם נועה צודקת? הסבירו למה דווקא ההצבה x=2x = 2x=2 נתנה שוויון, ומצאו הצבה שמראה שהכינוס שגוי.

ב.

אורי טוען: "הערך של הביטוי 5a−2−5a+75a - 2 - 5a + 75a−2−5a+7 הוא אותו מספר לכל ערך של aaa".
האם אורי צודק? אם כן, מהו המספר? הסבירו בלי להציב.

שאלה 4 · השלמת איבר חסר בכינוסשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף השלימו במקום □\square□ איבר, כך שהשוויון יהיה נכון לכל ערך של המשתנה.

א.

□+5y−8=2y−8\square + 5y - 8 = 2y - 8□+5y−8=2y−8

ב.

14m+□=m\frac{1}{4}m + \square = m41​m+□=m

שאלה 5 · כינוס איברים דומים: משתנה אחד וחזקותשאלה קצרה · רמה ב'

כנסו איברים דומים. איבר שאין לו איבר דומה נשאר כמו שהוא.

א.

7m+2m−4m7m + 2m - 4m7m+2m−4m

ב.

2x2+5x+3x2−x+42x^2 + 5x + 3x^2 - x + 42x2+5x+3x2−x+4

שאלה 6 · סכום של מספרים שלמים עוקביםשאלת ביניים · מצוינות

מספרים שלמים עוקבים הם מספרים שלמים שכל אחד מהם גדול ב-111 מהמספר שלפניו, למשל 14,15,1614, 15, 1614,15,16.

א.

נסמן ב-mmm את המספר האמצעי מבין שלושה מספרים שלמים עוקבים. כתבו ביטויים לשלושת המספרים, וביטוי מכונס לסכום שלהם. מה הקשר בין הסכום לבין המספר האמצעי? בדקו עם 14,15,1614, 15, 1614,15,16.

ב.

כתבו בדרך דומה ביטוי מכונס לסכום של חמישה מספרים שלמים עוקבים, כש-mmm הוא המספר האמצעי. האם הסכום של חמישה מספרים שלמים עוקבים מתחלק תמיד ב-555? נמקו.

ג.

רוני טוען: "גם הסכום של ארבעה מספרים שלמים עוקבים מתחלק תמיד ב-444". סמנו ב-nnn את הקטן מבין ארבעת המספרים, כתבו ביטוי מכונס לסכום, והסבירו למה רוני טועה. האם יש בכלל ארבעה מספרים שלמים עוקבים שסכומם מתחלק ב-444?

שאלה 7 · היקף משולש שצלעותיו ביטוייםשאלת ביניים · רמה א'

במשולש ABCABCABC אורכי הצלעות (בס"מ) הם:
AB=x+4AB = x + 4AB=x+4, BC=2x+1BC = 2x + 1BC=2x+1, CA=2x−3CA = 2x - 3CA=2x−3.
(xxx הוא מספר גדול מ-222.)
ABC

א.

כתבו ביטוי מכונס להיקף המשולש.

ב.

חשבו את אורך כל צלע ואת ההיקף כאשר x=5x = 5x=5. בדקו שההיקף מתאים לביטוי של סעיף א.

ג.

בכמה ס"מ גדל ההיקף כאשר xxx גדל ב-111? נמקו. בעזרת התשובה ובעזרת סעיף ב, מצאו בלי לפתור משוואה לאיזה ערך של xxx ההיקף הוא 424242 ס"מ.

שאלה 8 · התאמה בין ביטוי לצורה המכונסת שלושאלה קצרה · רמה ב'

בטבלה שני טורים של ביטויים. בטור א חמישה ביטויים, ובטור ב שבעה ביטויים.
טור אטור ב
4n+n4n + n4n+n6n+26n + 26n+2
9n−3n+29n - 3n + 29n−3n+23n3n3n
2n+7+n2n + 7 + n2n+7+n10n10n10n
n+n+nn + n + nn+n+n5n5n5n
8−n+3n8 - n + 3n8−n+3nn3n^3n3
3n+73n + 73n+7
2n+82n + 82n+8

טור א	טור ב
$4n + n$	$6n + 2$
$9n - 3n + 2$	$3n$
$2n + 7 + n$	$10n$
$n + n + n$	$5n$
$8 - n + 3n$	$n^3$
	$3n + 7$
	$2n + 8$

א.

לכל ביטוי בטור א מצאו בטור ב את הביטוי השווה לו. שני ביטויים בטור ב יישארו בלי זוג.

ב.

האם אפשר לכתוב את הביטוי 4n+34n + 34n+3 כאיבר אחד? הסבירו.

שאלה 9 · פירמידה של ביטוייםשאלה מלאה · מצוינות

בפירמידה שלוש שורות של לבנים. בשורה התחתונה שלוש לבנים, בשורה האמצעית שתי לבנים, ובראש הפירמידה לבנה אחת.
בכל לבנה כתוב ביטוי. הכלל: הביטוי בכל לבנה שווה לסכום הביטויים בשתי הלבנים שמתחתיה.
כל לבנה בשורה האמצעית יושבת על שתי לבנים סמוכות בשורה התחתונה, והלבנה שבראש יושבת על שתי הלבנים של השורה האמצעית.
בשורה התחתונה כתובים, מימין לשמאל: xxx, 2y2y2y, 3x−y3x - y3x−y.

א.

כתבו ביטויים מכונסים לשתי הלבנים בשורה האמצעית וללבנה שבראש הפירמידה.

ב.

הציבו x=2x = 2x=2 ו-y=−1y = -1y=−1 בשלוש הלבנים של השורה התחתונה, וחשבו את כל הפירמידה במספרים. בדקו שהמספר שבראש מתאים לביטוי של סעיף א.

ג.

מחליפים רק את הלבנה האמצעית בשורה התחתונה: במקום 2y2y2y כותבים 2y+12y + 12y+1. בכמה ישתנה הביטוי שבראש? הסבירו למה, בלי לחשב את כל הפירמידה מחדש.

ד.

חוזרים לפירמידה המקורית. מאיה החליפה בשורה התחתונה בין הלבנה הימנית ללבנה השמאלית, ותמר החליפה בין הלבנה הימנית ללבנה האמצעית. כתבו את הביטוי שבראש בכל אחת מהפירמידות החדשות. באיזו מהן הראש לא השתנה, ולמה?

ה.

בפירמידה המקורית משאירים את xxx ואת 3x−y3x - y3x−y בשורה התחתונה, ומחליפים רק את הלבנה האמצעית התחתונה. איזה ביטוי צריך לכתוב בה, כדי שבראש יתקבל 6x6x6x?

שאלה 10 · קניות בשני משתנים: מחברות ועטיםשאלת ביניים · רמה א'

בחנות לציוד משרדי מחברת עולה aaa ש"ח ועט עולה bbb ש"ח.
נועה קנתה בבוקר 333 מחברות ו-222 עטים. אחר הצהריים חזרה לחנות וקנתה עוד מחברת אחת ו-444 עטים.

א.

כתבו ביטוי למחיר של כל אחת משתי הקניות של נועה, וביטוי מכונס לסכום שנועה שילמה בסך הכול.

ב.

איתי קנה באותה חנות 222 מחברות ו-333 עטים. הראו בעזרת כינוס שנועה שילמה בדיוק פי 222 ממה שאיתי שילם, בלי קשר למחירים.

ג.

מחברת עולה 888 ש"ח ועט עולה 555 ש"ח. כמה שילמה נועה וכמה שילם איתי? בדקו שהתשובה מתאימה לסעיף ב.

עוד 26 שאלות על כינוס איברים דומים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הצבה לפני הכינוס ואחריו (שאלת ביניים · רמה ב')
נתון הביטוי $7k + 3 - 4k - 1$ .
מה קובע אם איברים דומים? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
תוכנית ריצה שבועית (שאלה מלאה · רמה א')
נועה מתאמנת לקראת מרוץ. ביום ראשון היא רצה $x$ ק"מ. ביום שני רצה $2$ ק"מ יותר מאשר ביום ראשון. ביום שלישי רצה פי $2$ מאשר ביום ראשון. ביום…
הכנסות המזנון: כינוס בשני משתנים (שאלה מלאה · רמה ב')
במזנון של בית הספר כריך עולה $s$ ש"ח ובקבוק שתייה עולה $d$ ש"ח. בטבלה מספר הכריכים ומספר בקבוקי השתייה שנמכרו בשלושה ימים:
מה חסר? ביטוי שמשלים לתוצאה נתונה (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה שני סעיפים נפרדים. בכל סעיף $\square$ מסמן ביטוי שחסר.
מיון איברים לקבוצות של איברים דומים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם עשרה איברים: $3x \qquad -5 \qquad x^2 \qquad 7x \qquad \frac{1}{2}x^2 \qquad 4y \qquad -x \qquad 2 \qquad y \qquad -2x^2$
כינוס עם מקדמים עשרוניים ושברים (שאלה קצרה · רמה ב')
כנסו איברים דומים: מחברים או מחסרים את המספרים שלפני האות, והאות נשארת. כתבו כל תשובה כאיבר אחד.
מרובע עם צלע רביעית חסרה (שאלת ביניים · מצוינות)
במרובע $ABCD$ אורכי שלוש צלעות (בס"מ) הם: $AB=a+b$ , $BC=2a$ , $CD=3b-a$ . ( $a$ ו- $b$ הם מספרים חיוביים, ו- $3b$ גדול מ- $a$ .) היקף המרובע הוא…
$\frac{2}{5} m$ ו- $\frac{2 m}{5}$ : כינוס עם מכנים שונים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
קונים תפוחים: מקדמים עשרוניים (שאלת ביניים · רמה ב')
בשוק מחיר ק"ג תפוחים הוא $t$ ש"ח. נועה קנתה $1.5$ ק"ג תפוחים, דנה קנתה $2.5$ ק"ג, ורון קנה $0.75$ ק"ג.
מסלול טיול בחלקים: כינוס עם שברים ועשרוניים (שאלה מלאה · מצוינות)
קבוצת מטיילים הולכת במסלול שאורכו $d$ ק"מ. ביום הראשון עברו $\frac{1}{3}$ מהמסלול, כלומר $\frac{1}{3}d$ ק"מ. ביום השני עברו $\frac{1}{4}d$ …
שטח מלבן משני חלקים: מי צודק? (שאלה קצרה · רמה א')
מלבן מורכב משני מלבנים קטנים. הגובה של שניהם $a$ ס"מ. הרוחב של המלבן השמאלי $4$ ס"מ, והרוחב של המלבן הימני $1$ ס"מ. שטח המלבן השמאלי הוא…
התאמה בין ביטויים שווים (שאלה קצרה · רמה ב')
חברו בין הביטויים האלגבריים בטור א לבין הביטויים השווים להם בטור ב:
ארבעה משפטים על ביטויים שווים: נכון או לא? (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה הזאת כל הביטויים הם במשתנה אחד, $x$ . שני ביטויים נקראים שווים אם בכל מספר שמציבים בהם מתקבל אותו ערך. לפניכם ארבעה משפטים שתלמידים…
כינוס כל סוג בנפרד, עם בדיקה בהצבה (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה שני סעיפים נפרדים. בכל סעיף כנסו איברים דומים ובדקו את התוצאה בהצבה.
שטח מלבן המורכב משני חלקים (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם מלבן $ABCD$ המורכב משני חלקים: המלבן $AEFD$ והמלבן $EBCF$ . הרוחב של שני החלקים הוא $AD=x$ . האורך של החלק $AEFD$ הוא $AE=2$ , והאורך של…
ריבוע קסם של ביטויים (שאלת ביניים · מצוינות)
בטבלה של שלוש שורות ושלוש עמודות יש תכונה מיוחדת: אם מחברים את שלושת התאים של שורה כלשהי, של עמודה כלשהי או של אחד משני האלכסונים, מתקבל…
אריחים: ריבועים גדולים, פסים וריבועים קטנים (שאלת ביניים · רמה א')
בערכה יש שלושה סוגים של אריחים: ריבוע גדול שצלעו $x$ ס"מ, ושטחו $x^2$ סמ"ר. פס מלבני שאורכו $x$ ס"מ ורוחבו $1$ ס"מ, ושטחו $x$ סמ"ר. ריבוע…
שרשרת ביטויים: כל ביטוי הוא סכום שני הקודמים (שאלה קצרה · רמה ב')
בשרשרת ביטויים, כל ביטוי מהשלישי והלאה הוא הסכום של שני הביטויים שלפניו.
הצלע השלישית של משולש מתוך ההיקף (שאלת ביניים · רמה א')
היקף משולש הוא $9x+4$ ס"מ. אורך צלע אחת הוא $2x+3$ ס"מ, ואורך צלע שנייה הוא $4x-1$ ס"מ. ( $x$ הוא מספר גדול מ- $2$ .)
טבלת הצבות: מתי אותו מספר אומר ביטויים שווים? (שאלת ביניים · רמה ב')
נועה הציבה מספרים בשלושה ביטויים ורשמה את התוצאות בטבלה. חלק מהמשבצות נשארו ריקות.
שתי תשובות לאותו כינוס: מי צודק? (שאלת ביניים · רמה א')
התלמידים התבקשו לכנס איברים דומים בביטוי $2+3x+4x-1$ . גל כתב: $2+3x+4x-1=5x+4x-1=9x-1$ עדן כתבה: $2+3x+4x-1=7x+1$
מגנטים על המקרר: מי דומה למי? (שאלה מלאה · רמה א')
על המקרר של משפחת לוי יש שמונה מגנטים, ועל כל מגנט כתוב איבר:…
שטח והיקף של מלבן שהוסר ממנו ריבוע (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם מלבן שמידותיו $12$ ס"מ על $10$ ס"מ. באחת הפינות שלו יש ריבוע לבן שאורך צלעו $x$ ס"מ, ושאר המלבן צבוע באפור (המצולע $PTUVRS$ ).
כרטיס מתנה: כמה כסף נשאר? (שאלה קצרה · רמה א')
בכרטיס המתנה של נועה יש $200$ ש"ח. היא קנתה חולצה במחיר $x$ ש"ח, וגם מכנסיים שמחירם גבוה ממחיר החולצה ב- $25$ ש"ח.
שלושה ביטויים בטבלה: מה בטוח ומה רק נראה? (שאלת ביניים · רמה א')
רוני ומיכל בחרו שלושה ביטויים והציבו בהם כמה מספרים. את התוצאות הם רשמו בטבלה, אבל לא הספיקו למלא את כולה.