שאלות פתוחות: חוקיות: סדרות וביטוי לאיבר הכללי - כיתה ז'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על חוקיות וביטוי לאיבר הכללי בסדרה לכיתה ז': מציאת כלל לסדרה שגדלה או קטנה באותו מספר בכל פעם. התלמידים כותבים ביטוי לאיבר במקום ה-n, מוצאים איבר מתוך כלל נתון, משווים בין שתי סדרות, ופותרים בעיות כמו גובה ערימת כיסאות או מגדל כוסות. השאלות מתחלקות כמעט שווה בין רמה א', רמה ב' ומצוינות. השאלות מתאימות לבוחן או לדף עבודה על סדרות, ולכל אחת יש פתרון מלא שאפשר להוריד ל-Word.

45 שאלותרמה א': 15רמה ב': 14מצוינות: 16

שאלה 1 · מטבלה לביטוי: האם המספר נמצא בסדרה?שאלה קצרה · רמה א'

בטבלה שלפניכם ארבעת האיברים הראשונים של סדרה. בכל פעם האיבר גדל באותו מספר.
המקום111222333444
האיבר777111111151515191919

המקום	$1$	$2$	$3$	$4$
האיבר	$7$	$11$	$15$	$19$

כתבו ביטוי לאיבר במקום ה-nnn, ובדקו אותו על האיבר במקום ה-444.
בעזרת הביטוי קבעו: האם המספר 909090 הוא איבר בסדרה? ומה לגבי המספר 757575? אם המספר הוא איבר, כתבו באיזה מקום הוא. נמקו.

שאלה 2 · המשך סדרות ותיאור החוקיות במיליםשאלה קצרה · רמה ב'

נתונות שתי סדרות. לפניכם האיברים הראשונים שלהן:
הסדרה הראשונה: 8, 11, 14, 17, …8,\ 11,\ 14,\ 17,\ \dots8, 11, 14, 17, …
הסדרה השנייה: 45, 39, 33, 27, …45,\ 39,\ 33,\ 27,\ \dots45, 39, 33, 27, …

א.

כתבו את שלושת האיברים הבאים בכל אחת מהסדרות.

ב.

תארו במילים, לכל סדרה, איך מקבלים כל איבר מהאיבר שלפניו.

שאלה 3 · ספרת האחדות של איברי סדרהשאלה קצרה · מצוינות

נתונה הסדרה: 7, 12, 17, 22, …7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \dots7, 12, 17, 22, …
בכל פעם מוסיפים 555.

א.

איתי טוען: "כל איברי הסדרה מסתיימים בספרה 222 או בספרה 777, ולכן המספר 202620262026 אינו איבר בסדרה".
האם איתי צודק? הסבירו למה כל איברי הסדרה, גם אלה שלא כתובים, מסתיימים כך.

ב.

באיזה מקום בסדרה נמצא המספר 202720272027?

שאלה 4 · ערימת כיסאות: מנתונים לביטוישאלה קצרה · רמה א'

בכיתה עורמים כיסאות פלסטיק זה על זה. כל הכיסאות זהים.
ערימה של 555 כיסאות גבוהה 110110110 ס"מ.
ערימה של 999 כיסאות גבוהה 150150150 ס"מ.

כתבו ביטוי אלגברי לגובה, בס"מ, של ערימה של nnn כיסאות. הסבירו מה מייצג כל אחד מהמספרים בביטוי שלכם.

שאלה 5 · מהביטוי לאיברי הסדרהשאלה קצרה · רמה ב'

בסדרה מסוימת, האיבר במקום ה-nnn הוא 6⋅n−46\cdot n-46⋅n−4.

א.

חשבו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה.

ב.

חשבו את האיבר במקום ה-101010 ואת האיבר במקום ה-505050.

שאלה 6 · מאיבר רחוק חזרה להתחלהשאלת ביניים · מצוינות

בסדרה מסוימת כל איבר גדול ב-777 מהאיבר שלפניו. האיבר במקום ה-101010 הוא 757575.

א.

כמה פעמים מוסיפים 777 כדי להגיע מהאיבר הראשון לאיבר במקום ה-101010? מהו האיבר הראשון בסדרה?

ב.

כתבו ביטוי לאיבר במקום ה-nnn, ובדקו אותו על האיבר במקום ה-101010.

ג.

בלי לחשב את האיברים עצמם: בכמה גדול האיבר במקום ה-303030 מהאיבר במקום ה-121212? הסבירו, ובדקו את תשובתכם בעזרת הביטוי.

שאלה 7 · מגדל כוסותשאלה קצרה · רמה א'

הגובה של מגדל שנבנה מ- 444 כוסות הוא 202020 ס"מ.
הגובה של מגדל שנבנה מ- 666 כוסות הוא 262626 ס"מ.

א.

בכמה ס"מ גדל גובה המגדל כאשר מוסיפים לו כוס אחת?

ב.

רשמו ביטוי אלגברי המבטא את הגובה, בס"מ, של מגדל המורכב מ- nnn כוסות.

שאלה 8 · חמשת האיברים הראשונים לפי ביטוישאלה קצרה · רמה ב'

מהם חמשת האיברים הראשונים של הסדרה שבמקום ה- nnn שלה נמצא המספר 3⋅n−13\cdot n - 13⋅n−1?

כתבו את חמשת האיברים.

שאלה 9 · מספרים בטבלה של שבע עמודותשאלה מלאה · מצוינות

כותבים את המספרים 1, 2, 3, …1,\ 2,\ 3,\ \dots1, 2, 3, … בטבלה של 777 עמודות, שורה אחרי שורה, כמו בלוח שנה. כך נראות שלוש השורות הראשונות:
עמודה 111עמודה 222עמודה 333עמודה 444עמודה 555עמודה 666עמודה 777
שורה 111111222333444555666777
שורה 222888999101010111111121212131313141414
שורה 333151515161616171717181818191919202020212121

	עמודה $1$	עמודה $2$	עמודה $3$	עמודה $4$	עמודה $5$	עמודה $6$	עמודה $7$
שורה $1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
שורה $2$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$
שורה $3$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$

א.

כתבו את חמשת המספרים הראשונים בעמודה 555. מה החוקיות שלהם?

ב.

כתבו ביטוי למספר שבשורה ה-nnn בעמודה 777, וביטוי למספר שבשורה ה-nnn בעמודה 555.

ג.

באיזו שורה ובאיזו עמודה נמצא המספר 100100100? הסבירו.

ד.

בלי לכתוב את הטבלה: באיזו עמודה נמצא המספר 203020302030? ובאיזו עמודה נמצא המספר 202320232023? הסבירו.

ה.

גלי טוענת: "המספרים 505050 ו-808080 נמצאים באותה עמודה, כי ההפרש ביניהם הוא 303030, מספר עגול".
האם גלי צודקת? הסבירו מתי שני מספרים בטבלה נמצאים באותה עמודה.

שאלה 10 · אתגר קריאה: עמודים ביוםשאלת ביניים · רמה א'

הדר החליטה לקרוא ספר עבה. ביום הראשון קראה 121212 עמודים, ובכל יום אחר כך קראה 444 עמודים יותר מאשר ביום שלפניו.

א.

כמה עמודים קראה הדר ביום החמישי? וביום העשירי?

ב.

כתבו ביטוי למספר העמודים שקראה הדר ביום ה-nnn. בדקו אותו על התשובות שלכם בסעיף א.

ג.

באיזה יום קראה הדר 606060 עמודים? הראו בפעולות הפוכות ובדקו בהצבה.
האם היה יום שבו קראה בדיוק 505050 עמודים? נמקו.

עוד 35 שאלות על חוקיות: סדרות וביטוי לאיבר הכללי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שורת ריבועים מגפרורים (שאלת ביניים · רמה ב')
מגפרורים בונים שורות של ריבועים צמודים. במבנה הראשון יש ריבוע אחד, ובכל מבנה מוסיפים ריבוע אחד מימין, צמוד לריבוע האחרון. לפניכם שלושת…
שווים במקום אחד בלבד (שאלה קצרה · מצוינות)
אלי בדק את הביטויים $3\cdot n+8$ ו- $5\cdot n-2$ במקום ה- $5$ וקיבל בשניהם $23$ . הוא הסיק ששני הביטויים מתארים את אותה סדרה.
מכל מים שמתרוקן (שאלת ביניים · רמה א')
בגינה הקהילתית יש מכל מים. בבוקר של היום הראשון יש במכל $500$ ליטר. בכל יום משקים מהמכל $35$ ליטר, ולא ממלאים אותו.
שולחנות צמודים בחדר האוכל (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר האוכל של מחנה קיץ מצמידים שולחנות מרובעים בשורה. ליד שולחן מרובע אחד יושבים $4$ ילדים, אחד בכל צד. כשמצמידים שולחנות, בצדדים הצמודים…
שורת בתים מגפרורים (שאלת ביניים · מצוינות)
מגפרורים בונים שורה של בתים צמודים. כל בית הוא ריבוע, ועליו גג בצורת משולש. בית אחד לבד בנוי מ- $6$ גפרורים. כל בית חדש נצמד לבית האחרון…
שני צמחים גדלים: מתי הם באותו גובה? (שאלה מלאה · רמה א')
בניסוי בכיתה מגדלים שני צמחים. בסוף השבוע הראשון גובה צמח א' היה $12$ ס"מ, ומאז הוא גדל $3$ ס"מ בכל שבוע. בסוף השבוע הראשון גובה צמח ב' היה…
סדרה של קבוצות עיגולים (שאלה מלאה · רמה ב')
לפניכם שלושה איברים ראשונים (משמאל לימין) בסדרה של קבוצות עיגולים:
ביטוי שמתאים פעמיים ועדיין שגוי (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה הסדרה $6,\ 10,\ 14,\ 18,\ \dots$ (בכל פעם מוסיפים $4$ ).
מבנה אריחים בצורת זווית (שאלה קצרה · רמה א')
מאריחים מרובעים בונים מבנים בצורת זווית. בכל מבנה יש אריח פינה אחד ושתי זרועות שוות: זרוע אחת עולה מאריח הפינה למעלה, וזרוע אחת יוצאת ממנו…
משני נתונים רחוקים: בכמה גדל בכל פעם? (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף נתונים שני מקרים שאינם סמוכים. בכל פעם הגובה גדל באותו מספר.
שני נרות דולקים (שאלה מלאה · מצוינות)
שני נרות נדלקו באותו רגע. כל נר מתקצר בכל שעה באותו מספר של ס"מ (לכל נר המספר שלו). נר א': אחרי $2$ שעות אורכו $24$ ס"מ, ואחרי $6$ שעות…
שני ביטויים לאותה סדרה (שאלה קצרה · רמה א')
שני תלמידים כתבו ביטוי לאיבר במקום ה- $n$ של הסדרה $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \dots$ רועי כתב $5\cdot(n-1)+7$ , וטל כתב $5\cdot n+2$ .
אותה סדרה? בדיקה ביותר ממקום אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה הסדרה $5,\ 8,\ 11,\ 14,\ \dots$ (בכל פעם מוסיפים $3$ ).
פי 2 בכל פעם: קפיצה של כמה מקומות (שאלה קצרה · מצוינות)
בסדרה $5,\ 10,\ 20,\ 40,\ \dots$ כל איבר גדול פי $2$ מהאיבר שלפניו.
תבנית צלב: שלוש דרכים לספור (שאלת ביניים · רמה א')
בסדרה של תבניות נקודות בצורת צלב, בכל תבנית יש נקודה אחת במרכז ו- $4$ זרועות שוות: למעלה, למטה, ימינה ושמאלה. בתבנית הראשונה יש נקודה אחת בכל…
טבלה עם חורים: משני איברים לסדרה כולה (שאלת ביניים · רמה ב')
בסדרה מסוימת כל איבר גדול מהאיבר שלפניו באותו מספר. בטבלה רשומים רק שני איברים:
סדרה עם סימנים מתחלפים (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה הסדרה: $4,\ -1,\ 7,\ -4,\ 10,\ -7,\ \dots$ במקומות האי-זוגיים מוסיפים $3$ בכל פעם, ובמקומות הזוגיים מחסרים $3$ בכל פעם.
שורת משולשים מגפרורים (שאלה מלאה · רמה א')
מגפרורים בונים שורה של משולשים. כל משולש חדש נצמד למשולש הקודם, כך שיש להם גפרור משותף, והמשולשים פונים לסירוגין למעלה ולמטה. לפניכם שלושת…
פי 2 וחצי בכל פעם: ממשיכים בטבלה (שאלה קצרה · רמה ב')
בשני הסעיפים ממשיכים חוקיות בטבלה.
מתי המונה משיג את המכנה? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה סדרה של שברים: $\frac{4}{13},\ \frac{6}{14},\ \frac{8}{15},\ \frac{10}{16},\ \dots$ בכל פעם המונה גדל ב- $2$ והמכנה גדל ב- $1$ .
שביל אריחים במסגרת: מי ספר נכון? (שאלה מלאה · רמה א')
בגינה בונים שביל ישר של אריחים לבנים בשורה אחת, ומקיפים אותו מכל הצדדים במסגרת של אריחים אפורים. כל האריחים ריבועים זהים. כך נראה שביל של…
ההפרשים גדלים: ממשיכים את הסדרה (שאלה קצרה · רמה ב')
בשתי הסדרות שלפניכם ההפרשים בין איברים סמוכים אינם קבועים, אבל יש להם חוקיות.
תרגילים שגדלים מהר: $n \cdot (n + 3)$ (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם שורה של תרגילים: $1\cdot(1+3),\ \ 2\cdot(2+3),\ \ 3\cdot(3+3),\ \dots$ התוצאות שלהם: $4,\ 10,\ 18,\ \dots$
שתי סדרות שזורות זו בזו (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הסדרה: $3,\ 50,\ 8,\ 46,\ 13,\ 42,\ 18,\ \dots$
שורה של תרגילים: מה משתנה? (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם שורה של תרגילים: $2+7\cdot 1,\ \ 2+7\cdot 2,\ \ 2+7\cdot 3,\ \ 2+7\cdot 4,\ \dots$
כמה איברים שליליים וכמה דו-ספרתיים? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה הסדרה: $-38,\ -33,\ -28,\ -23,\ \dots$ (בכל פעם מוסיפים $5$ ).
סדרה של שברים: מונה ומכנה בנפרד (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה סדרה של שברים: $\frac{1}{5},\ \frac{3}{8},\ \frac{5}{11},\ \frac{7}{14},\ \dots$ (השברים כתובים כפי שהם, בלי צמצום.)
כל איבר הוא סכום שני האיברים שלפניו (שאלה קצרה · רמה ב')
בסדרה הבאה כל איבר, מהאיבר השלישי והלאה, שווה לסכום שני האיברים שלפניו: $1,\ 4,\ 5,\ 9,\ 14,\ \dots$
המספרים המשותפים של שתי סדרות (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות שתי סדרות: בסדרה הראשונה האיבר במקום ה- $n$ הוא $5\cdot n-2$ , ובסדרה השנייה האיבר במקום ה- $n$ הוא $7\cdot n+1$ .
היקף של מבנה ריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
בונים מבנים מריבועים שאורך הצלע של כל אחד $1$ ס"מ. מבנה מספר $n$ הוא שורה של $n$ ריבועים, ועוד ריבוע אחד מעל הריבוע השמאלי. מבנה $1$ : מבנה…
מספרים ששייכים לשתי רשימות (שאלה קצרה · רמה ב')
דנה כותבת רשימה: מתחילה ב- $3$ ומוסיפה $4$ בכל פעם. אלי כותב רשימה: מתחיל ב- $5$ ומוסיף $6$ בכל פעם.
אריחים לבנים במסגרת אפורה: מתי שווים? (שאלת ביניים · מצוינות)
בונים מבנים מאריחים ריבועיים. במבנה $n$ יש מלבן של אריחים לבנים: $3$ שורות, ובכל שורה $n$ אריחים. מסביב למלבן יש מסגרת של אריחים אפורים…
מלבן אריחים שאורכו גדול מרוחבו ב-2 (שאלה קצרה · רמה א')
בונים מלבנים מאריחים ריבועיים. במבנה מספר $n$ יש $n$ שורות של אריחים, ובכל שורה $n+2$ אריחים.
ספרת האחדות של חזקות של 8 (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם החזקות הראשונות של $8$ : $8^1=8$ , $8^2=64$ , $8^3=512$ , $8^4=4{,}096$ , $8^5=32{,}768$ .
האיבר במקום $n$ והאיבר שאחריו (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה הסדרה: $-20,\ -13,\ -6,\ 1,\ 8,\ \dots$ (בכל פעם מוסיפים $7$ ).