שאלות פתוחות: שוויון בין ביטויים אלגבריים (זהות) - כיתה ז'

בעמוד זה שאלות פתוחות על שוויון בין ביטויים אלגבריים וזהות לכיתה ז': מתי שני ביטויים שווים לכל ערך של המשתנה ומתי רק לחלק מהערכים. התלמידים בודקים בהצבה ביטויים כמו k³ ו-3k, מנתחים טענה של תלמיד שהציב שלושה מספרים וקיבל שוויון, ובוחרים מבין כמה ביטויים לגיל או למחיר בפיצרייה את אלה ששקולים. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן אפשר לבנות בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וקובץ Word.

24 שאלותרמה א': 13רמה ב': 5מצוינות: 6

שאלה 1 · השוואת שני ביטויים בעזרת טבלת הצבותשאלת ביניים · רמה א'

נתונים שני ביטויים: 4⋅x−14\cdot x-14⋅x−1 ו-x2+2x^2+2x2+2.

א.

העתיקו את הטבלה והשלימו בה את ערכי שני הביטויים.
xxx000111222333444
4⋅x−14\cdot x-14⋅x−1
x2+2x^2+2x2+2

ב.

לאילו ערכים של xxx בטבלה שני הביטויים שווים? ולאילו ערכים בטבלה הביטוי 4⋅x−14\cdot x-14⋅x−1 גדול יותר?

ג.

דני ראה שהביטויים שווים בשתי הצבות, וטען: "שני הביטויים שווים זה לזה, כלומר הם נותנים אותו ערך לכל xxx". האם דני צודק? נמקו בעזרת הצבה.

שאלה 2 · חזקה או כפל? $k \cdot k \cdot k$ , $k^{3}$ ו- $3 \cdot k$ שאלה קצרה · רמה ב'

נתונים שלושה ביטויים: k⋅k⋅kk\cdot k\cdot kk⋅k⋅k, k3k^3k3 ו-3⋅k3\cdot k3⋅k.

א.

השלימו את הטבלה.
kkkk⋅k⋅kk\cdot k\cdot kk⋅k⋅kk3k^3k33⋅k3\cdot k3⋅k
111
222
−1-1−1

ב.

אילו שניים מהביטויים שווים זה לזה לכל ערך של kkk? הסבירו. האם הביטוי השלישי שווה להם?

שאלה 3 · שלוש הצבות שוות - ובכל זאת?שאלה קצרה · מצוינות

גיל בדק את שני הביטויים x3x^3x3 ו-6⋅x2−11⋅x+66\cdot x^2-11\cdot x+66⋅x2−11⋅x+6. הוא הציב בשניהם x=1x=1x=1, x=2x=2x=2 ו-x=3x=3x=3, ובכל הצבה קיבל אותו ערך בשני הביטויים.
לכן גיל טוען: "שני הביטויים שווים".

א.

בדקו את שלוש ההצבות של גיל.

ב.

האם גיל צודק? נמקו. מה אפשר ללמוד מכך על בדיקה בהצבות?

שאלה 4 · טיפ בפיצרייה: מי כתב ביטוי נכון?שאלה קצרה · רמה א'

שישה חברים אכלו יחד בפיצרייה. כל אחד מהם הזמין מגש אישי שמחירו mmm שקלים, וכל אחד השאיר גם טיפ של 4 שקלים.
שלושה מהחברים כתבו ביטוי לסכום שהחבורה שילמה בסך הכול:
עומר: 6⋅(m+4)6\cdot(m+4)6⋅(m+4)
שירה: 6⋅m+246\cdot m+246⋅m+24
יובל: 6⋅m+46\cdot m+46⋅m+4

א.

הסבירו מה מתאר כל חלק בביטוי של עומר ובביטוי של שירה. האם שני הביטויים שווים לכל ערך של mmm? נמקו.

ב.

הראו בעזרת הצבה שהביטוי של יובל אינו שווה לביטוי של שירה. מה יובל שכח?

שאלה 5 · הגיל של אורי בעוד 5 שניםשאלה קצרה · רמה ב'

היום נועה בת ggg שנים. אחיה, אורי, גדול ממנה ב-3 שנים.
ארבעה תלמידים כתבו ביטוי לגיל של אורי בעוד 5 שנים:
אלון: g+3+5g+3+5g+3+5
בר: g+8g+8g+8
גלי: g+5+3g+5+3g+5+3
דור: 8⋅g8\cdot g8⋅g

א.

נועה בת 12 היום. הציבו g=12g=12g=12 בכל אחד מארבעת הביטויים. בן כמה יהיה אורי בעוד 5 שנים?

ב.

אילו מהביטויים מתארים את הגיל של אורי בעוד 5 שנים, לכל גיל של נועה? הסבירו. לביטוי שאינו מתאים, הראו הצבה שבה הוא נותן תוצאה אחרת.

שאלה 6 · $a^{2}$ , $(- a)^{2}$ ו- $- a^{2}$ : תמיד, לפעמים או אף פעם?שאלת ביניים · מצוינות

נתונים שלושה ביטויים: a2a^2a2, (−a)2(-a)^2(−a)2 ו-−a2-a^2−a2.

א.

השלימו את הטבלה.
aaaa2a^2a2(−a)2(-a)^2(−a)2−a2-a^2−a2
333
−2-2−2
000
12\frac{1}{2}21​

ב.

אילו שניים מהביטויים שווים זה לזה לכל ערך של aaa? הסבירו למה, בלי להסתמך רק על הטבלה. לזוג a2a^2a2 ו-−a2-a^2−a2: מצאו את כל הערכים של aaa שבהם הם שווים, ונמקו.

ג.

רוני אומרת: "לפי סעיף ב, גם (−a)3(-a)^3(−a)3 ו-a3a^3a3 שווים לכל aaa". האם היא צודקת? איזה מבין הביטויים a3a^3a3 ו-−a3-a^3−a3 שווה ל-(−a)3(-a)^3(−a)3 לכל aaa? נמקו.

שאלה 7 · שווים בהצבה אחת, או בכל הצבה?שאלה קצרה · רמה א'

נתון הביטוי 2⋅x+32\cdot x+32⋅x+3, ולצידו ארבעה ביטויים:
(1) 3−x3-x3−x
(2) x⋅x+3x\cdot x+3x⋅x+3
(3) 3⋅x+23\cdot x+23⋅x+2
(4) 3+2⋅x3+2\cdot x3+2⋅x

א.

אילו מארבעת הביטויים נותנים בהצבה x=0x=0x=0 אותו ערך כמו הביטוי 2⋅x+32\cdot x+32⋅x+3?

ב.

אילו מארבעת הביטויים שווים לביטוי 2⋅x+32\cdot x+32⋅x+3 לכל ערך של xxx? לביטוי שאינו שווה, תנו הצבה שבה הערכים שונים. לביטוי ששווה, הסבירו למה.

שאלה 8 · $a \cdot a$ ו- $a^{2}$ שאלה קצרה · רמה ב'

האם הביטויים a⋅aa\cdot aa⋅a ו-a2a^2a2 הם ביטויים שווים?

הסבירו.

שאלה 9 · קסם מספרים: למה הוא תמיד עובד?שאלה מלאה · מצוינות

רותם מציגה לכיתה "קסם מספרים":
שלב 1: חשבו על מספר.
שלב 2: הוסיפו לו 3.
שלב 3: כפלו את התוצאה ב-2.
שלב 4: החסירו 6.
שלב 5: חלקו את התוצאה ב-2.
רותם טוענת: "בסוף תמיד תקבלו את המספר שחשבתם עליו".

א.

בדקו את הקסם עם המספרים 777, −4-4−4 ו-2.52.52.5.

ב.

נסמן ב-xxx את המספר שחושבים עליו. כתבו ביטוי אחד שמתאר את התוצאה של חמשת השלבים. האם שלוש הבדיקות של סעיף א מראות שהביטוי שווה ל-xxx לכל xxx?

ג.

הסבירו למה התוצאה שווה ל-xxx לכל מספר xxx. היעזרו בתיאור הזה: המספר שחשבתם עליו הוא שקית סגורה, וכל 1 הוא קובייה.

ד.

אורי שינה את שלב 4 ל"החסירו 4". האם התוצאה עדיין שווה למספר שחשבו עליו? מה תהיה התוצאה תמיד? נמקו בעזרת השקיות.

ה.

מאיה הציעה להחליף בין שלב 4 לשלב 5: קודם לחלק ב-2, ורק אחר כך להחסיר 6. האם גם אז מקבלים תמיד את המספר שחשבו עליו? אם לא, מה מקבלים תמיד? נמקו.

שאלה 10 · מבצע על מנגו: הדס או אלה?שאלה קצרה · רמה א'

במסגרת מבצע הוזלות ירד מחיר המנגו באחת מרשתות השיווק ב-2 ₪ לכל ק"ג.
הדס ואלה החליטו לקנות 5 ק"ג מנגו כל אחת.
נסמן באות mmm את המחיר המקורי של ק"ג מנגו.

קבעו מי צודקת: הדס או אלה? נמקו את תשובתכם.
הדס: התשלום שעלי לשלם לאחר ההוזלה הוא: 5(m−2)5(m-2)5(m−2).
אלה: אני מקבלת הוזלה של 10 ₪ ביחס לשבוע הקודם, ולכן עלי לשלם 5m−105m-105m−10.

עוד 14 שאלות על שוויון בין ביטויים אלגבריים (זהות)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שורת ריבועים מגפרורים (שאלת ביניים · רמה ב')
בונים שורה של ריבועים מגפרורים. בסרטוט שורה של 3 ריבועים: נסמן ב- $n$ את מספר הריבועים בשורה. טל כתבה ביטוי למספר הגפרורים: $4+3\cdot(n-1)$ .…
חזקה, כפל וחיבור: מתי שווים ומתי לא (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
מחיר נסיעה במונית בשתי דרכים (שאלת ביניים · רמה א')
במונית משלמים 12 שקלים על פתיחת הנסיעה, ועוד 5 שקלים על כל קילומטר. נסמן ב- $k$ את מספר הקילומטרים בנסיעה. תומר כתב ביטוי למחיר הנסיעה…
היקף ערוגה: ארבעה ביטויים (שאלה מלאה · רמה ב')
ערוגה בצורת מלבן. רוחב הערוגה $x$ מטרים, והאורך שלה ארוך מהרוחב ב-4 מטרים. רוצים להקיף את הערוגה בגדר, ולכן צריך לדעת את ההיקף שלה. ארבעה…
קובייה מקוביות קטנות: כפל, חזקה ומה גדול יותר (שאלה מלאה · מצוינות)
בונים קובייה גדולה מקוביות קטנות. בקובייה הגדולה יש $n$ שכבות, בכל שכבה $n$ שורות, ובכל שורה $n$ קוביות קטנות.
מסגרות ריבועיות של נקודות (שאלת ביניים · רמה א')
מסדרים נקודות בצורת מסגרת ריבועית. בסרטוט שתי מסגרות: במסגרת הקטנה 3 נקודות בכל צלע, ובמסגרת הגדולה 4 נקודות בכל צלע. נסמן ב- $n$ את מספר…
שורת משולשים מגפרורים: ארבע דרכים לספור (שאלת ביניים · מצוינות)
בונים שורה של משולשים מגפרורים: משולש שהקודקוד שלו למעלה, אחריו משולש הפוך, וכך הלאה. כל שני משולשים סמוכים חולקים גפרור אחד. בסרטוט שורה של…
תמונות של נקודות: שלוש דרכים לספור (שאלת ביניים · רמה א')
בסרטוט מופיעות 4 התמונות הראשונות בסדרת תמונות: דוד, שרית ואוסנת הציעו דרכים שונות להתבונן ולהכליל מהו מספר הנקודות בתמונות. $n$ הוא מספר…
שטח הדשא סביב הבית (שאלת ביניים · רמה א')
בסרטוט שלפניכם חלקת אדמה מלבנית, שבתוכה בנוי בית מלבני עם גג אדום. בשטח שמסביב לבית גדל דשא. אורכו של הבית הוא חצי מאורך החלקה, ורוחבו של…
צובעים קיר עם דלת (שאלה מלאה · רמה א')
בחדר של נגה יש קיר מלבני שגובהו 3 מטרים ורוחבו $x$ מטרים. בפינה של הקיר יש דלת מלבנית שרוחבה 1 מטר וגובהה 2 מטרים, כמו בסרטוט. נגה רוצה…
שמונה כרטיסים: אותו ביטוי בכתיבה אחרת (שאלה קצרה · רמה א')
על שמונה כרטיסים כתובים ביטויים: (1) $y\cdot y$ (2) $y^2$ (3) $2\cdot y$ (4) $y+y$ (5) $y\cdot y\cdot y$ (6) $y^3$ (7) $y\cdot 2$ (8) $3+y$
ריבוע: היקף ושטח בכמה כתיבות (שאלת ביניים · רמה א')
אורך הצלע של ריבוע הוא $a$ ס"מ. שלושה תלמידים כתבו ביטוי להיקף הריבוע: שי כתב $a+a+a+a$ , גל כתב $4\cdot a$ , ונועם כתב $4+a$ .
נקודות בצורת פינה: איזה ביטוי לא מתאים? (שאלה קצרה · רמה א')
מסדרים נקודות בצורת פינה: שורה של נקודות למטה ועמודה של נקודות משמאל, ונקודת הפינה משותפת לשתיהן. בתמונה מספר $n$ יש $n$ נקודות בשורה ו- $n$ …
שביל בצורת ח' סביב ערוגה: שלושה ביטויים לאותו שטח (שאלה מלאה · רמה א')
בחצר בית הספר יש ערוגה מלבנית $KLMN$ . אורך הערוגה $KL=x$ מ' ורוחבה $LM=4$ מ'. משלושה צדדים של הערוגה (משמאל, מלמעלה ומימין) עובר שביל מרוצף…

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$4\cdot x-1$
$x^2+2$

$k$	$k\cdot k\cdot k$	$k^3$	$3\cdot k$
$1$
$2$
$-1$

$a$	$a^2$	$(-a)^2$	$-a^2$
$3$
$-2$
$0$
$\frac{1}{2}$