שאלות פתוחות: המעגל וחלקיו: רדיוס, קוטר, מיתר, זווית מרכזית וגזרה - כיתה ח'

אוסף שאלות פתוחות על המעגל וחלקיו לכיתה ח': רדיוס, קוטר, מיתר, זווית מרכזית וגזרה. יש זיהוי חלקי מעגל בסרטוט, זווית בין מחוגי שעון כזווית מרכזית, מחוגים מקרטון שמחולקים לגזרות שוות, נקודות על מעגל שמרכזו בראשית הצירים, שתי ממטרות שמשקות מעגלים בגינה, ועיגולים שנוגעים זה בזה בתוך קופסה. השאלות ברמה א', ברמה ב' וכמה שאלות מצוינות. מכאן אפשר להרכיב בוחן פתיחה או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

28 שאלותרמה א': 12רמה ב': 12מצוינות: 4

שאלה 1 · מחוג עם גזרות שוות ומחוג פגוםשאלת ביניים · רמה א'

בסדנת משחקים מכינים מחוגים: עיגול מקרטון וחץ שמסתובב סביב המרכז. במחוג הראשון העיגול מחולק ל-555 גזרות שוות, המסומנות AAA, BBB, CCC, DDD, EEE. מסובבים את החץ חזק, והוא יכול להיעצר בכל כיוון באותו סיכוי.
ABCDE

א.

מה גודל הזווית המרכזית של כל גזרה במחוג הראשון? הסבירו מדוע הסיכוי שהחץ ייעצר על AAA שווה לסיכוי שהוא ייעצר על CCC.

ב.

מהי ההסתברות שהחץ במחוג הראשון ייעצר על הגזרה DDD? כתבו אותה כשבר, כמספר עשרוני וכאחוז.

ג.

במחוג השני נעשתה טעות: הזווית המרכזית של הגזרה AAA היא 100∘100^\circ100∘, וארבע הגזרות האחרות שוות זו לזו. מה גודל הזווית המרכזית של כל אחת מהגזרות האחרות? האם במחוג השני ההסתברות להיעצר על AAA היא עדיין 15\frac{1}{5}51​? האם היא גדולה או קטנה מההסתברות להיעצר על BBB? נמקו.

שאלה 2 · רדיוס, קוטר ומיתרשאלה קצרה · רמה ב'

במעגל שמרכזו OOO מסורטטים שלושה קטעים: OAOAOA, BCBCBC ו-DEDEDE. הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD, EEE נמצאות על המעגל, והקטע BCBCBC עובר דרך המרכז OOO.
OABCDE

א.

לכל אחד מהקטעים OAOAOA, BCBCBC, DEDEDE כתבו אם הוא רדיוס, קוטר או מיתר. שימו לב: לאחד הקטעים מתאימים שני שמות.

ב.

נתון: BC=18BC=18BC=18 ס"מ. מה אורך הקטע OAOAOA? נמקו.

שאלה 3 · נכון תמיד, לפעמים או אף פעםשאלה קצרה · מצוינות

לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם לא נכונה. נמקו כל קביעה. בטענה שנכונה רק לפעמים, תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה.

א.

טענה 1: מיתר במעגל הוא קוטר של המעגל.
טענה 2: במעגל שרדיוסו 666 ס"מ יש מיתר שאורכו 131313 ס"מ.

ב.

טענה 3: שני מעגלים שהקטרים שלהם שווים חופפים זה לזה.
טענה 4: נקודה שהמרחק שלה ממרכז המעגל קטן מהקוטר של המעגל נמצאת בתוך העיגול.

שאלה 4 · על המעגל, בתוך העיגול או מחוצה לושאלה קצרה · רמה א'

נתון מעגל שמרכזו בראשית הצירים O(0,0)O(0,0)O(0,0) ורדיוסו 101010.

א.

לכל אחת מהנקודות קבעו אם היא נמצאת על המעגל, בתוך העיגול או מחוץ לעיגול. נמקו בחישוב.
A(6,8)A(6,8)A(6,8), B(−8,−6)B(-8,-6)B(−8,−6), C(7,7)C(7,7)C(7,7), D(0,−10)D(0,-10)D(0,−10), E(5,9)E(5,9)E(5,9)

ב.

הנקודה FFF נמצאת על המעגל, ברביע הרביעי, והשיעור xxx שלה הוא 888. מהם שיעורי FFF?

שאלה 5 · הזווית בין מחוגי השעוןשאלה קצרה · רמה ב'

על לוח של שעון עגול יש 121212 מספרים במרחקים שווים זה מזה. שני המחוגים יוצאים ממרכז הלוח, ולכן הזווית ביניהם היא זווית מרכזית. בכל סעיף מדובר על הזווית הקטנה מבין שתי הזוויות שבין המחוגים.
בסרטוט השעון מראה 4:004:004:00: מחוג השעות OHOHOH מצביע על 444, ומחוג הדקות OMOMOM מצביע על 121212.
?OHM

א.

מה גודל הזווית בין המחוגים בשעה 4:004:004:00? איזה חלק מהעיגול של לוח השעון היא הגזרה שבין המחוגים?

ב.

באילו שעות עגולות, בין 1:001:001:00 ל-11:0011:0011:00, הזווית בין המחוגים היא 90∘90^\circ90∘? מצאו את כל התשובות.

שאלה 6 · שתי ממטרות ונקודות משותפותשאלת ביניים · מצוינות

בגינה יש שתי ממטרות. במערכת צירים שהיחידה בה היא 111 מטר, ממטרה אחת נמצאת בנקודה O(0,0)O(0,0)O(0,0) והשנייה בנקודה B(6,0)B(6,0)B(6,0). כל ממטרה משקה את כל הנקודות שהמרחק שלהן ממנה הוא 555 מ' לכל היותר. לכן השפה של השטח שכל ממטרה משקה היא מעגל שרדיוסו 555 מ'.
OBP

א.

הראו שהנקודה P(3,4)P(3,4)P(3,4) נמצאת על שני המעגלים.

ב.

מצאו נקודה נוספת, QQQ, שנמצאת על שני המעגלים. הסבירו בעזרת שיקוף, בלי חישוב, מדוע היא על שני המעגלים.

ג.

הסבירו מדוע כל הצלעות של המרובע OPBQOPBQOPBQ שוות זו לזו, וחשבו את השטח שלו.

שאלה 7 · עיגולים שווים בתוך קופסהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף העיגולים שווים זה לזה. כל עיגול נוגע בעיגולים שלידו ובדפנות הקופסה שלידו, כמו בסרטוט.

א.

שלושה מטבעות עגולים מונחים בשורה בתוך מכסה מלבני ABCDABCDABCD. היקף המלבן הוא 323232 ס"מ. מה הרדיוס של כל מטבע? נמקו.
ABCD

ב.

ארבע פחיות עגולות עומדות בשתי שורות, שתי פחיות בכל שורה, בתוך קופסה שתחתיתה היא הריבוע KLMNKLMNKLMN. שטח הריבוע הוא 576576576 סמ"ר. מה הקוטר של כל פחית? נמקו.
KLMN

שאלה 8 · קוטר על ציר x: רדיוס ומרכזשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם מערכת צירים שבה מסורטט מעגל.
ABABAB הוא קוטר המעגל.
A(-3,0)B(7,0)

א.

מהו האורך של רדיוס המעגל ביחידות אורך?

ב.

מהם השיעורים של מרכז המעגל? נמקו.

שאלה 9 · נקודות רשת על מעגלשאלה מלאה · מצוינות

נקודה ששני השיעורים שלה הם מספרים שלמים נקראת כאן "נקודת רשת". למשל, (3,−2)(3,-2)(3,−2) היא נקודת רשת ו-(1.5,2)(1.5,2)(1.5,2) אינה נקודת רשת.
במערכת הצירים מסורטט מעגל שמרכזו בראשית O(0,0)O(0,0)O(0,0) ורדיוסו 555, והנקודה A(3,4)A(3,4)A(3,4).
OA

א.

הראו שהנקודה A(3,4)A(3,4)A(3,4) נמצאת על המעגל.

ב.

שקפו את AAA ביחס לציר xxx, שקפו את AAA ביחס לציר yyy, ושקפו ביחס לציר yyy גם את הנקודה שהתקבלה בשיקוף הראשון. כתבו את שיעורי שלוש הנקודות, והסבירו בלי חישוב מדוע כולן על המעגל.

ג.

מצאו את כל נקודות הרשת שנמצאות על המעגל. כמה נקודות כאלה יש? הסבירו איך מוודאים שלא פספסתם אף נקודה.

ד.

רוני טוענת: "על כל מעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו מספר שלם יש בדיוק 121212 נקודות רשת."
בדקו את הטענה במעגל שרדיוסו 333 ובמעגל שרדיוסו 252525. האם רוני צודקת? נמקו.
עזרה למעגל שרדיוסו 252525: יש בדיוק שלוש דרכים לכתוב את 625625625 כסכום של שני ריבועים של מספרים שלמים לא שליליים, כשהמספר הקטן כתוב ראשון: 02+2520^2+25^202+252, 72+2427^2+24^272+242, 152+20215^2+20^2152+202.

שאלה 10 · נקודות על מעגל שמרכזו בראשיתשאלה קצרה · רמה א'

נתון מעגל שמרכזו בראשית הצירים, והרדיוס שלו 5 (כלומר: המרחק של כל הנקודות על המעגל ממרכזו הוא 5).

קבעו מי מהנקודות הבאות נמצאת על המעגל, ומי נמצאת בתוכו:
A(5,0)A(5,0)A(5,0)  B(3,4)B(3,4)B(3,4)  C(3,3)C(3,3)C(3,3)  D(4,3)D(4,3)D(4,3)  E(0,4)E(0,4)E(0,4)  F(−3,4)F(-3,4)F(−3,4)  G(−4,3)G(-4,3)G(−4,3)  H(−5,0)H(-5,0)H(−5,0).
הסבירו את קביעתכם.

עוד 15 שאלות על המעגל וחלקיו: רדיוס, קוטר, מיתר, זווית מרכזית וגזרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שני עיגולים בתוך מלבן (שאלה קצרה · רמה ב')
המרובע $ABCD$ הוא מלבן. המעגלים $P$ , $Q$ חסומים בתוך המלבן ומשיקים זה לזה.
שני מעגלים נחתכים (שאלת ביניים · מצוינות)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . $O$ מרכז המעגל הראשון ו- $Q$ מרכז המעגל השני. הקטעים $OQ$ ו- $AB$ נחתכים בנקודה $K$ .
גינה עגולה מחולקת לגזרות (שאלת ביניים · רמה א')
גינה עגולה שמרכזה $O$ מחולקת לארבע ערוגות בעזרת ארבעה שבילים ישרים: $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ . כל שביל הוא רדיוס של המעגל, וכל ערוגה היא גזרה.…
העין של לונדון: גובה המרכז (שאלה קצרה · רמה ב')
העין של לונדון בלונדון, לצד נהר התמזה, ניצב גלגל ענק הנקרא העין של לונדון. הביטו בתרשים שלפניכם. הקוטר החיצוני של גלגל הענק הוא 140 מטרים,…
משולשים שצלעותיהם רדיוסים (שאלת ביניים · רמה א')
במעגל שמרכזו $O$ מסורטטים הרדיוסים $OA$ , $OB$ , $OC$ והמיתרים $AB$ ו- $BC$ . נתון: $\angle AOB=120^\circ$ , $\angle OBC=45^\circ$ .
קוטר במערכת צירים: רדיוס ומרכז (שאלת ביניים · רמה ב')
במערכת הצירים מסורטט מעגל. הקטע $AB$ הוא קוטר של המעגל, והשיעורים של קצותיו הם $A(1,-1)$ ו- $B(1,9)$ .
עז קשורה ליתד (שאלה מלאה · רמה א')
בחווה קשרו עז לחבל שאורכו $13$ מ'. הקצה השני של החבל קשור ליתד. נשתמש במערכת צירים שהיחידה בה היא $1$ מטר, והיתד נמצאת בראשית $O(0,0)$ . העז…
גלגל המים של הטחנה (שאלה מלאה · רמה ב')
בטחנת קמח ישנה יש גלגל מים עגול שקוטרו $8$ מ'. המרכז של הגלגל, $M$ , נמצא $3$ מ' מעל פני המים. על השפה של הגלגל קבועים $12$ דליים במרחקים…
הסוסים בקרוסלה (שאלה מלאה · רמה א')
בקרוסלה בלונה פארק יש $8$ סוסים, הממוספרים מ- $1$ עד $8$ לפי הסדר. הסוסים נמצאים במרחקים שווים זה מזה על מעגל שהרדיוס שלו $4$ מ', והמרכז שלו…
שני רדיוסים ומיתר (שאלה קצרה · רמה ב')
בסרטוט נתון מעגל, $A$ - מרכז המעגל והנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל.
משולשים חופפים במעגל (שאלת ביניים · רמה א')
$O$ הוא מרכז המעגל. הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על המעגל. נתון: $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (לפי סדר הקודקודים המתאימים),…
איזה קטע הוא הקוטר? (שאלה קצרה · רמה ב')
במעגל שמרכזו $O$ מסורטטים שני קטעים שהקצוות שלהם על המעגל: $AB$ ו- $CD$ . הקטע $CD$ עובר דרך המרכז $O$ , והקטע $AB$ לא עובר דרכו. נתון: $AB=40$ …
מושבים של קרוסלה (שאלה קצרה · רמה א')
בקרוסלה בגן שעשועים יש חמישה מושבים: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ו- $E$ . כל מושב מחובר בקורה ישרה לציר $O$ שבמרכז, וכל הקורות באורך $4$ מ'. המושבים…
שלט עגול שחסרה בו גזרה (שאלת ביניים · רמה א')
שלט עגול עשוי מעץ. המרכז שלו $O$ , והרדיוס שלו $15$ ס"מ. מהשלט ניסרו גזרה שהזווית המרכזית שלה $60^\circ$ . בסרטוט: החלק שנשאר, וקווי הניסור…
ממטרה שמשקה שליש עיגול (שאלת ביניים · רמה א')
ממטרה בגינה מסתובבת הלוך וחזור ומשקה שטח בצורת גזרה של עיגול. $O$ הוא המקום של הממטרה, והזווית המרכזית של הגזרה היא $120^\circ$ . השטח…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

היקף מעגל וצורות מורכבות (שאלה קצרה · רמה ב')
בקיר של חדר יש חלון עגול. הנקודה העליונה של החלון נמצאת בגובה $2.5$ מטר מעל הרצפה, והנקודה התחתונה של החלון…
שטח עיגול, שטח טבעת ועיגול בתוך ריבוע (שאלת ביניים · רמה ב')
בסרטוט שלפניכם שני עיגולים בעלי מרכז משותף $O$ . רדיוס העיגול הגדול הוא 10 ס"מ, ורדיוס העיגול הקטן (הצבוע) הוא…
היקף מעגל וצורות מורכבות (שאלה קצרה · רמה ב')
תבנית אפייה עגולה היא בעלת רדיוס $13.7$ ס"מ. רוצים להכניס אותה לקופסה שבסיסה ריבוע.