שאלות פתוחות: חרוט ישר: מבנה, חתך צירי ונפח - כיתה ח'

שאלות פתוחות על חרוט ישר לכיתה ח': מבנה החרוט, החתך הצירי כמשולש שווה שוקיים וחישוב נפח. יש חישוב נפח לפי רדיוס וגובה, מציאת גובה או רדיוס בעזרת פיתגורס בחתך הצירי, משפך מטבח בצורת חרוט, השוואה בין שני חרוטים עם אותו קו יוצר, ושאלות כלליות שבהן משנים את הרדיוס או הגובה. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וקובץ Word.

32 שאלותרמה א': 14רמה ב': 10מצוינות: 8

שאלה 1 · מהנפח אל הגובה ואל הרדיוסשאלה קצרה · רמה א'

בחרוט שבסרטוט rrr הוא רדיוס הבסיס ו-hhh הוא הגובה. בכל סעיף מדובר בחרוט אחר.
hr

א.

נפח חרוט הוא 50π50\pi50π סמ"ק, ורדיוס הבסיס שלו 555 ס"מ. מצאו את גובה החרוט.

ב.

נפח חרוט הוא 12π12\pi12π סמ"ק, וגובהו 444 ס"מ. מצאו את רדיוס הבסיס.

שאלה 2 · נפח חרוט ונפח הגליל שמתאים לושאלה קצרה · רמה ב'

לחרוט שבסרטוט רדיוס בסיס r=6r=6r=6 ס"מ וגובה h=5h=5h=5 ס"מ. השאירו את π\piπ בתשובות.
hr

א.

חשבו את נפח החרוט.

ב.

לגליל יש אותו בסיס ואותו גובה כמו לחרוט. חשבו את נפח הגליל. פי כמה הוא גדול מנפח החרוט?

שאלה 3 · חרוט וגליל: מה שומר על הנפח?שאלה קצרה · מצוינות

ענו על שני הסעיפים בלי לבחור מספרים: סמנו את הרדיוס ב-rrr ואת הגובה ב-hhh.

א.

לחרוט ולגליל יש אותו רדיוס בסיס ואותו נפח. פי כמה גובה החרוט גדול מגובה הגליל? נמקו.

ב.

נועה טוענת: "אם נקטין את רדיוס הבסיס של חרוט פי 222 ונגדיל את הגובה שלו פי 222, הנפח לא ישתנה, כי ההקטנה וההגדלה מבטלות זו את זו". האם היא צודקת? נמקו.

שאלה 4 · כמה נכנס במשפך?שאלה קצרה · רמה א'

משפך מטבח הוא בצורת חרוט ישר שהקודקוד שלו למטה (בלי הצינור הצר). קוטר הפתח העליון 101010 ס"מ, ואורך הדופן מהשפה העליונה עד הקודקוד 131313 ס"מ.
סוגרים את הקצה התחתון באצבע ומוזגים מים.
hr

האם אפשר לשפוך למשפך 0.30.30.3 ליטר מים בלי שיגלשו? השתמשו ב-π≈3.14\pi\approx 3.14π≈3.14 ונמקו בחישוב.

שאלה 5 · החתך הצירי של חרוט: שטח ואורך הקטע מהקודקוד לשפהשאלה קצרה · רמה ב'

קוטר הבסיס של חרוט ישר הוא 141414 ס"מ, וגובהו 242424 ס"מ.
המשולש SABSABSAB הוא החתך הצירי של החרוט: SSS הוא קודקוד החרוט, ABABAB הוא קוטר של הבסיס ו-OOO הוא מרכז הבסיס.
hSOAB

א.

איזה סוג משולש הוא SABSABSAB? חשבו את שטחו.

ב.

חשבו את אורך הקטע SBSBSB, מהקודקוד לשפת הבסיס.

שאלה 6 · אותו יוצר, נפחים שונים, חתכים שוויםשאלת ביניים · מצוינות

לשני חרוטים ישרים אורך הקטע מהקודקוד לשפת הבסיס (היוצר) הוא 171717 ס"מ.
בחרוט א רדיוס הבסיס 888 ס"מ. בחרוט ב הגובה 888 ס"מ. השאירו את π\piπ בתשובות.

א.

מצאו את הגובה של חרוט א ואת רדיוס הבסיס של חרוט ב.

ב.

חשבו את הנפח של כל חרוט. איזה מהם גדול יותר?

ג.

הראו ששטחי החתכים הציריים של שני החרוטים שווים, אף שהנפחים שונים. הסבירו מדוע זה כך בכל זוג חרוטים שבו הרדיוס של אחד הוא הגובה של השני, ולהפך.

שאלה 7 · מהחתך הצירי אל הנפחשאלת ביניים · רמה א'

המשולש SABSABSAB הוא החתך הצירי של חרוט ישר. SSS הוא קודקוד החרוט, ABABAB הוא קוטר של הבסיס, ו-OOO הוא מרכז הבסיס.
נתון: AB=18AB=18AB=18 ס"מ, ושטח המשולש SABSABSAB הוא 108108108 סמ"ר.
hSOAB

א.

מצאו את גובה החרוט.

ב.

חשבו את אורך הקטע SBSBSB ואת היקף המשולש SABSABSAB.

ג.

חשבו את נפח החרוט. השאירו את π\piπ.

שאלה 8 · כוס נייר חרוטית ליד מתקן המיםשאלת ביניים · רמה ב'

ליד מתקן המים בבית הספר יש כוסות נייר בצורת חרוט, שהקודקוד שלהן למטה. רדיוס הפתח של כוס הוא 444 ס"מ, וגובה הכוס 999 ס"מ.
השתמשו ב-π≈3.14\pi\approx 3.14π≈3.14.
hr

א.

חשבו את שטח הפתח של הכוס (העיגול העליון).

ב.

כמה סמ"ק מים נכנסים בכוס מלאה?

ג.

מבקבוק שבו 1.51.51.5 ליטר מים ממלאים כוסות כאלה עד הסוף. כמה כוסות מלאות אפשר למלא?

שאלה 9 · מתכננים כוס חרוטית בנפח נתוןשאלה מלאה · מצוינות

חברה מתכננת כוס חד-פעמית בצורת חרוט ישר. נפח הכוס צריך להיות בדיוק 16π16\pi16π סמ"ק.
המעצבת רוצה שרדיוס הפתח rrr והגובה hhh יהיו מספרים שלמים של ס"מ.

א.

הראו שכל כוס מתאימה מקיימת r2⋅h=48r^2\cdot h=48r2⋅h=48.

ב.

מצאו את כל הזוגות של rrr ו-hhh שלמים וחיוביים שמתאימים לכוס. הסבירו למה אין אחרים.

ג.

לכל זוג חשבו את אורך דופן הכוס, מהשפה עד הקודקוד. דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

ד.

הכוס צריכה להיות נוחה: גובהה בין 666 ס"מ ל-151515 ס"מ, וקוטר הפתח שלה לפחות 333 ס"מ. איזה זוג מתאים? נמקו.

ה.

התבוננו בזוגות שמצאתם. אם מגדילים את הרדיוס פי 222, פי כמה צריך להקטין את הגובה כדי שהנפח יישאר 16π16\pi16π? הסבירו בעזרת הנוסחה, ובדקו בזוגות.

שאלה 10 · מכוס חרוטית לכוס גליליתשאלת ביניים · רמה א'

במסיבת כיתה מגישים מיץ בשני סוגי כוסות:
•כוס בצורת חרוט (הקודקוד למטה): רדיוס הפתח 333 ס"מ, גובה 666 ס"מ.
•כוס בצורת גליל: רדיוס הבסיס 333 ס"מ, גובה 111111 ס"מ.
השאירו את π\piπ בתשובות.
hrhr

א.

חשבו את הנפח של כל כוס.

ב.

שופכים כוס חרוטית מלאה לתוך כוס גלילית ריקה. לאיזה גובה יגיע המיץ בכוס הגלילית?

ג.

כמה כוסות חרוטיות מלאות אפשר לשפוך לכוס הגלילית עד שתתמלא, בלי שהמיץ יגלוש? כמה ס"מ יישארו ריקים בכוס הגלילית?

עוד 22 שאלות על חרוט ישר: מבנה, חתך צירי ונפח

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מבנה מגורים על המאדים: גליל עם גג חרוטי (שאלה מלאה · רמה ב')
צוות תלמידים מתכנן דגם של מבנה מגורים על המאדים. המבנה הוא גליל ישר, ומעליו גג בצורת חרוט ישר. לגליל ולחרוט אותו בסיס: עיגול שרדיוסו $3$ מ'.…
יחס החתכים אינו יחס הנפחים (שאלה קצרה · מצוינות)
לגליל ישר ולחרוט ישר יש אותו רדיוס בסיס $r$ ואותו גובה $h$ . החתך הצירי של הגליל הוא מלבן, והחתך הצירי של החרוט הוא משולש שווה שוקיים.
ערימת חצץ באתר בנייה (שאלה מלאה · רמה א')
באתר בנייה שפכו חצץ לערימה בצורת חרוט ישר. רדיוס הבסיס של הערימה $8$ מ'. פועל מדד את המרחק מראש הערימה עד שפת הבסיס, לאורך הצלע: $10$ מ'.…
גובה החרוט מהיוצר ומהרדיוס (שאלה קצרה · רמה ב')
גג של ביתן בגן הוא בצורת חרוט ישר. $S$ הוא קודקוד הגג, $O$ מרכז הבסיס ו- $B$ נקודה על שפת הגג. רדיוס הבסיס $OB=12$ מ', ואורך הקטע מהקודקוד…
להגדיל קיבולת: ברדיוס או בגובה? (שאלת ביניים · מצוינות)
לחרוט ישר רדיוס בסיס $2$ ס"מ וגובה $15$ ס"מ. רוצים לבנות חרוט גדול יותר. השאירו את $\pi$ בתשובות.
גביע הגלידה "מיני-מקס" (שאלה מלאה · רמה א')
לכבוד פתיחת הקיץ, גלידריה "הצורה המתוקה" השיקה גביע וופל חדש בצורת חרוט. המוכר טוען שהגביע החדש מכיל הרבה יותר גלידה מהגביע הסטנדרטי,…
ערמת מלח במטרים ובסנטימטרים (שאלה קצרה · רמה ב')
ערמת מלח היא בצורת חרוט ישר. רדיוס הבסיס שלה $1.5$ מ' וגובהה $2$ מ'. השאירו את $\pi$ בתשובות.
אילו דוחות מתארים חרוט? (שאלה מלאה · מצוינות)
בכל דוח רשומים שלושה אורכים של חרוט ישר: הרדיוס $OB$ , הגובה $SO$ , והקטע $SB$ מהקודקוד לשפת הבסיס. כל האורכים בס"מ.
גובה מנפח: נוסחת חרוט או נוסחת גליל? (שאלה קצרה · רמה א')
לחרוט ישר רדיוס בסיס $6$ ס"מ, ונפחו $96\pi$ סמ"ק.
החרוט הגבוה מכיל יותר? (שאלה קצרה · רמה ב')
לחרוט א רדיוס בסיס $4$ ס"מ וגובה $12$ ס"מ. לחרוט ב רדיוס בסיס $6$ ס"מ וגובה $6$ ס"מ. השאירו את $\pi$ בתשובות.
מחליפים בין הרדיוס לגובה (שאלת ביניים · מצוינות)
לחרוט א רדיוס בסיס $r$ וגובה $h$ . לחרוט ב רדיוס בסיס $h$ וגובה $r$ (הרדיוס והגובה הוחלפו). $r$ ו- $h$ חיוביים.
רדיוס מנפח: שורש חיובי בלבד (שאלה קצרה · רמה א')
לחרוט ישר גובה $12$ ס"מ ונפח $196\pi$ סמ"ק. $S$ הוא קודקוד החרוט, $O$ מרכז הבסיס ו- $B$ נקודה על היקף הבסיס.
מזיגה מחרוט לגליל (שאלת ביניים · רמה ב')
במעבדה יש כלי בצורת חרוט וכלי בצורת גליל. לשניהם אותו בסיס, שרדיוסו $5$ ס"מ, ואותו גובה, $6$ ס"מ. החרוט מלא מים, והגליל ריק. השאירו את $\pi$ …
כובע מסיבה ענק: הפתח והמקום שבתוך הכובע (שאלה קצרה · מצוינות)
כובע מסיבה הוא חרוט ישר בלי בסיס: הפתח של הכובע הוא עיגול שקוטרו $14$ ס"מ. לחלון ראווה מכינים כובע ענק, שקוטר הפתח שלו גדול פי $4$ . השאירו…
מה עושה טעות של קוטר במקום רדיוס? (שאלה קצרה · רמה א')
קוטר הבסיס של חרוט ישר הוא $12$ ס"מ, וגובהו $10$ ס"מ. השאירו את $\pi$ בתשובות.
אותו מספר: שטח הבסיס ונפח החרוט (שאלה קצרה · רמה ב')
לחרוט ישר קוטר בסיס $10$ ס"מ וגובה $3$ ס"מ. השאירו את $\pi$ בתשובות.
אותו נפח, חתכים שונים (שאלת ביניים · רמה א')
לחרוט א רדיוס בסיס $4$ ס"מ וגובה $9$ ס"מ. לחרוט ב רדיוס בסיס $6$ ס"מ וגובה $4$ ס"מ.
בסיס החתך הוא הקוטר (שאלה קצרה · רמה ב')
לחרוט ישר רדיוס בסיס $5$ ס"מ וגובה $12$ ס"מ. המשולש $SAB$ הוא החתך הצירי: $S$ הקודקוד, $AB$ קוטר של הבסיס ו- $O$ מרכז הבסיס.
שקית הפופקורן (שאלת ביניים · רמה א')
בקולנוע מגישים פופקורן בשקית בצורת חרוט ישר. קוטר הפתח של השקית $0.16$ מ'. מתלבטים בין שקית בגובה $6$ ס"מ לשקית בגובה $15$ ס"מ. השקית צריכה…
שני שינויים במשפך (שאלה מלאה · רמה א')
משפך הוא בצורת חרוט ישר: רדיוס הבסיס $4$ ס"מ והגובה $6$ ס"מ. מעצב בוחן שני שינויים: שינוי א: הרדיוס גדל פי $3$ , והגובה קטן לחצי. שינוי ב:…
הגדלה אחידה של חרוט: נפח וחתך (שאלה קצרה · רמה א')
לחרוט ישר קטן רדיוס בסיס $3$ ס"מ וגובה $4$ ס"מ. חרוט גדול מתקבל מהקטן בהגדלה אחידה פי $2$ : גם הרדיוס וגם הגובה גדלים פי $2$ . השאירו את $\pi$ …
הדופן המשופעת במקום הגובה (שאלה קצרה · רמה א')
משפך הוא בצורת חרוט ישר. $S$ הוא הקודקוד, $O$ מרכז הבסיס ו- $B$ נקודה על שפת המשפך. רדיוס הפתח $OB=6$ ס"מ, ואורך הדופן מהקודקוד לשפה $SB=10$ …