מבחן לדוגמה: חוקי חזקות ושורשים - כיתה ט'

כפלו: (1) $3a^4\cdot 6a^3$ (2) $-4y\cdot 5y^8$ (3) $\left(-7x^3\right)\cdot\left(-2x^5\right)$

פשטו וכנסו איברים דומים:

(1) $6x^4\cdot x^5-2x^9$ (2) $3m^2\cdot m^6+m^4\cdot m^4-5m^8$ (3) $2x\cdot 4x^3+x^2\cdot x^2$

נתונים ארבעה ערכים: $a=-2$, $a=-\frac{1}{2}$, $a=\frac{1}{2}$, $a=2$.

לכל אחד מאי-השוויונות קבעו עבור אילו מארבעת הערכים הוא מתקיים. הראו את החישוב.

(1) $\frac{1}{a}<a^3$ (2) $\frac{1}{a}>a^4$

(1) מצאו את כל המספרים הטבעיים $n$ שעבורם $\left(\frac{2}{3}\right)^n>\left(\frac{2}{3}\right)^3$. הסבירו.

(2) הסבירו למה לכל $a>1$ מתקיים $\frac{1}{a}<a^3$.

כתבו את $(2\cdot 5)^3$ ככפל של שלושה גורמים שווים. סדרו מחדש את הגורמים לפי חוקי החילוף והקיבוץ, והראו ש-$(2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3$. חשבו את שני האגפים ובדקו שהם שווים.

היעזרו באותה דרך והסבירו למה $(ab)^4=a^4\cdot b^4$ לכל שני מספרים $a$ ו-$b$.

כתבו באותה דרך את $\left(\frac{a}{b}\right)^3$ (כאשר $b\neq 0$) כמנה של שתי חזקות. השתמשו בתוצאה כדי לחשב בלי מחשבון את $\frac{15^3}{5^3}$, ובדקו בחישוב ישיר.

מה מופיע על הצג אחרי לחיצה אחת, אחרי שתי לחיצות ואחרי שלוש לחיצות? כתבו כל תוצאה כחזקה אחת של $5$. בתוצאה של שתי לחיצות ושל שלוש לחיצות כתבו קודם חזקה של חזקה.

מה קורה למעריך בכל לחיצה? כתבו כחזקה אחת של $5$ את המספר שיופיע על הצג אחרי $5$ לחיצות.

רון כתב על הצג $3$, לחץ פעם אחת על $x^3$ ואחר כך פעם אחת על $x^2$. מאיה כתבה על הצג $3$ ולחצה על אותם מקשים בסדר הפוך. כתבו את התוצאה של כל אחד מהם כחזקה של חזקה וכחזקה אחת של $3$. האם התוצאות שוות?

פשטו את $A$.

פשטו את $B$, והראו ש-$A=B$ לכל $x\neq 0$.

מצאו את כל ערכי $x$ שעבורם $A+B=32$.

חזקה $a^n$, שבה $a$ מספר שלם ו-$n$ מספר טבעי או אפס, שווה ל-$1$ רק בשלושה מקרים: (1) $n=0$ ו-$a\neq ?$ (2) $a=?$ ($n$ כלשהו) (3) $a=?$ ו-$n$ זוגי. השלימו את המקרים, והסבירו למה בכל מקרה אחר $a^n\neq1$.

פתרו את המשוואה $(x-3)^{x+2}=1$. בדקו כל פתרון.

פתרו את המשוואה $(x-5)^{x^2-25}=1$. הסבירו למה חלק מהמועמדים נפסלים.

פתרו את המשוואה $(x^2-4x+4)^{x}=1$. הסבירו למה אחד משלושת המקרים של סעיף א אינו יכול לתת כאן פתרון.

כתבו בכתיב מדעי את הצריכה השנתית של משק בית אחד בקוט"ש ובוואט-שעה. כמה מגה-ואט-שעה זה?

חשבו את הצריכה השנתית של כל משקי הבית בעיר בקוט"ש, וכתבו אותה בכתיב מדעי. כמה ג'יגה-ואט-שעה זה?

שדה סולארי ליד העיר מייצר בממוצע $3.2\cdot 10^5$ קוט"ש ביום שמש, ויש $250$ ימי שמש בשנה. כמה קוט"ש מייצר השדה בשנה? לכמה משקי בית בעיר הוא יכול לספק את כל החשמל?

העירייה רוצה שארבעה שדות סולאריים זהים יספקו את כל צריכת החשמל של משקי הבית בעיר (גם בהם $250$ ימי שמש בשנה). כמה קוט"ש צריך כל שדה לייצר ביום שמש? פי כמה זה גדול מהייצור היומי של השדה שבסעיף ג?

רועי כתב: "$\sqrt{(x-5)^2}=x-5$ לכל מספר $x$." בדקו את הטענה עבור $x=2$. לאילו ערכים של $x$ השוויון נכון? למה שווה $\sqrt{(x-5)^2}$ כאשר $x<5$? נמקו.

הסבירו למה לכל מספר $x$ מתקיים $\left(\sqrt{x^2+4}\right)^2-x^2=4$. למה בדיקה של הרבה מספרים אינה מחליפה את ההסבר?