שאלות פתוחות: חוקי השורש הריבועי: מכפלה, מנה ופישוט שורשים - כיתה ט'

חוקי השורש הריבועי לכיתה ט': מכפלה ומנה של שורשים ופישוט שורשים בלי מחשבון. לצד תרגילי פישוט יש שאלות גאומטריות - צלע של ריבוע ששטחו 32 סמ"ר, ריבוע שנבנה על אלכסון של ריבוע אחר, מלבן שצלעותיו √7+√3 ו-√7-√3 - ושאלה שבודקת מתי הכלל √a·√b=√ab נכון. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, וקבלו אותן עם פתרונות מלאים בקובץ Word.

40 שאלותרמה א': 15רמה ב': 14מצוינות: 11

שאלה 1 · מנה שבמונה שלה סכום של שורשיםשאלה קצרה · רמה א'

ענו בלי מחשבון.

א.

חשבו את 45+205\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{5}}5​45​+20​​.

ב.

נועם חישב כך: 12+273=123+27=2+27\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}+\sqrt{27}=2+\sqrt{27}3​12​+27​​=3​12​​+27​=2+27​. מה הטעות שלו? חשבו נכון, ובדקו את התשובה הנכונה בכפל.

שאלה 2 · פישוט שורשים וכינוס שורשים דומיםשאלה קצרה · רמה ב'

פשטו ככל האפשר, בלי מחשבון.

א.

כתבו כל אחד מהשורשים בצורה aba\sqrt{b}ab​, כאשר aaa ו-bbb מספרים טבעיים ו-bbb קטן ככל האפשר: 48\sqrt{48}48​ ; 98\sqrt{98}98​.

ב.

פשטו את הביטוי 20+45−5\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}20​+45​−5​. האם הוא שווה ל-60\sqrt{60}60​? נמקו.

שאלה 3 · מלבן שצלעותיו סכום והפרש של שורשיםשאלה קצרה · מצוינות

אורכי הצלעות של מלבן הם 7+3\sqrt{7}+\sqrt{3}7​+3​ ס"מ ו-7−3\sqrt{7}-\sqrt{3}7​−3​ ס"מ. ענו בלי מחשבון.

א.

חשבו את שטח המלבן. חשבו גם את השטח של ריבוע שאורך צלעו שווה לצלע הארוכה של המלבן, ופשטו.

ב.

חשבו את אורך האלכסון של המלבן בעזרת משפט פיתגורס ונוסחאות הכפל המקוצר, ופשטו את השורש שמתקבל. הסבירו למה השורש 21\sqrt{21}21​ נעלם בדרך.

שאלה 4 · למה מותר לכפול שורשיםשאלה קצרה · רמה א'

בשאלה זו בודקים את הכלל a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}a​⋅b​=ab​.

א.

בדקו את הכלל עבור a=4a=4a=4 ו-b=49b=49b=49. הסבירו למה בדיקה של דוגמה אחת אינה מספיקה כדי לקבוע שהכלל נכון תמיד.

ב.

הסבירו למה לכל a≥0a\ge0a≥0 ו-b≥0b\ge0b≥0 מתקיים a⋅b=ab\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}a​⋅b​=ab​. הדרכה: העלו את a⋅b\sqrt a\cdot\sqrt ba​⋅b​ בריבוע, והיעזרו בחוק (xy)2=x2y2(xy)^2=x^2y^2(xy)2=x2y2. למה דרוש התנאי a≥0a\ge0a≥0, b≥0b\ge0b≥0?

שאלה 5 · ריבוע: מהשטח אל הצלע ואל האלכסוןשאלת ביניים · רמה ב'

שטחו של ריבוע הוא 323232 סמ"ר. ענו בלי מחשבון.

א.

מצאו את אורך צלע הריבוע, וכתבו אותו בצורה aba\sqrt{b}ab​.

ב.

היעזרו בסעיף א ובמשפט פיתגורס, ומצאו את אורך האלכסון של הריבוע. הסבירו למה יצא מספר שלם.

ג.

מגדילים את שטח הריבוע פי 161616. פי כמה גדלה הצלע? פי כמה גדל ההיקף? נמקו בעזרת השוויון 16⋅32=16⋅32\sqrt{16\cdot32}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{32}16⋅32​=16​⋅32​.

שאלה 6 · ריבוע שבנוי על האלכסוןשאלת ביניים · מצוינות

שטחו של הריבוע ABCDABCDABCD הוא 181818 סמ"ר. על האלכסון ACACAC בונים את הריבוע ACEFACEFACEF, כלומר האלכסון ACACAC הוא צלע של הריבוע החדש. ענו בלי מחשבון.

א.

מצאו בדיוק את אורך הצלע ואת אורך האלכסון של הריבוע ABCDABCDABCD.

ב.

מצאו את השטח של הריבוע ACEFACEFACEF. פי כמה גדול ההיקף של ACEFACEFACEF מההיקף של ABCDABCDABCD?

ג.

הסבירו למה בכל ריבוע, הריבוע שבנוי על האלכסון שלו גדול ממנו בשטח פי 222, ובהיקף פי 2\sqrt22​.

שאלה 7 · מלבן שצלעו האחת כפולה מהשנייהשאלת ביניים · רמה א'

שטחו של מלבן הוא 909090 סמ"ר, וצלעו הארוכה ארוכה פי 222 מצלעו הקצרה. ענו בלי מחשבון.

א.

נסמן ב-xxx את אורך הצלע הקצרה (בס"מ). כתבו משוואה לשטח, ומצאו את אורכי שתי הצלעות בצורה aba\sqrt{b}ab​. למה אין צורך בפתרון השלילי של המשוואה?

ב.

חשבו את היקף המלבן בדיוק.

ג.

לריבוע יש אותו שטח כמו למלבן. מצאו את היקף הריבוע בדיוק, וקבעו בלי מחשבון איזה היקף גדול יותר: של המלבן או של הריבוע. נמקו.

שאלה 8 · כפל וחילוק של שורשיםשאלה קצרה · רמה ב'

חשבו בלי מחשבון.

א.

חשבו את 8⋅18\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}8​⋅18​. אחר כך מצאו את המספר החסר: 6⋅□=12\sqrt{6}\cdot\sqrt{\square}=126​⋅□​=12.

ב.

חשבו את 753\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}3​75​​ ואת 624\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{24}}24​6​​. בדקו כל תוצאה בכפל.

שאלה 9 · השוואת סכומים של שורשים בלי מחשבוןשאלה קצרה · מצוינות

ענו בלי מחשבון ובלי קירובים עשרוניים.

א.

קבעו איזה מספר גדול יותר: 3+8\sqrt{3}+\sqrt{8}3​+8​ או 5+6\sqrt{5}+\sqrt{6}5​+6​. נמקו בעזרת העלאה בריבוע.

ב.

כמה מספרים שלמים נמצאים ממש בין 10+2\sqrt{10}+\sqrt{2}10​+2​ לבין 363\sqrt{6}36​? נמקו.

שאלה 10 · ריבוע של סכום ומכפלת צמודים עם שורשיםשאלה קצרה · רמה א'

פתחו סוגריים ופשטו, בלי מחשבון.

א.

(5+2)2(\sqrt{5}+2)^2(5​+2)2 ; (4−3)2(4-\sqrt{3})^2(4−3​)2

ב.

(23+1)(23−1)(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)(23​+1)(23​−1) ; (6+1)2+(6−1)2(\sqrt{6}+1)^2+(\sqrt{6}-1)^2(6​+1)2+(6​−1)2. הסבירו למה התוצאות הן מספרים שלמים, אף שבביטויים יש שורשים.

עוד 10 שאלות על חוקי השורש הריבועי: מכפלה, מנה ופישוט שורשים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הצבה ופתיחת סוגריים עם שורשים (שאלה קצרה · רמה ב')
חשבו בלי מחשבון.
השורש של ריבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו בודקים טענות על שורשים של ביטויים.
הכנסת גורם לתוך השורש, ושורש שיוצא שלם (שאלה קצרה · רמה א')
ענו בלי מחשבון.
משוואה $a x^{2} + k = m$ : נתון שנמחק ופתרון לאורך (שאלה קצרה · רמה ב')
בשני הסעיפים מופיעה המשוואה $2x^2+k=50$ , ובכל סעיף $k$ הוא מספר אחר. ענו בלי מחשבון.
מתי השורש הוא מספר רציונלי (שאלה קצרה · מצוינות)
ענו בלי מחשבון.
משוואה מהצורה $(x + p)^{2} = k$ ושורש (שאלה קצרה · רמה א')
ענו בלי מחשבון.
ריבוע של סכום עם שורש, ושורש של ביטוי עם שורש (שאלת ביניים · מצוינות)
ענו בלי מחשבון.
פישוט סכומי שורשים, ומתי המכפלה שלמה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונים המספרים $P=\sqrt{200}-2\sqrt{18}+\sqrt{32}$ , $Q=\sqrt{162}-\sqrt{72}$ ו- $R=\sqrt{28}+\sqrt{63}$ . ענו בלי מחשבון.
שני מספרים צמודים: חזקות גבוהות בלי חישוב ארוך (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים המספרים $u=\sqrt6+\sqrt2$ ו- $v=\sqrt6-\sqrt2$ . ענו בלי מחשבון.
מלבן וריבוע שווי שטח: יחס ההיקפים (שאלת ביניים · מצוינות)
שטחו של מלבן הוא $54$ סמ"ר, וצלעו הארוכה ארוכה פי $3$ מצלעו הקצרה. לריבוע יש אותו שטח כמו למלבן. ענו בלי מחשבון.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (20)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סכום ומכפלה: חישוב ביטויים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר (שאלת ביניים · מצוינות)
המספרים $a$ ו- $b$ מקיימים $a+b=8$ ו- $ab=13$ , ונתון ש- $a>b$ . אין צורך למצוא את $a$ ואת $b$ .
מכפלת שורשים ופישוט שורש (שאלה קצרה · רמה ב')
חשבו את $\sqrt{12}\cdot\sqrt3$ .
חיבור שורשים והשוואה בעזרת הכנסת גורם (שאלה קצרה · רמה א')
פשטו את הביטוי $\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt8$ .
מלבן שאורכי צלעותיו נתונים בשורשים (שאלת ביניים · רמה א')
במלבן $ABCD$ אורך הצלע $AB$ הוא $\sqrt{72}$ ס"מ, ואורך הצלע $BC$ הוא $\sqrt8$ ס"מ. בסעיפים הבאים אין להשתמש…
שני מספרים צמודים: סכום, מכפלה וביטויים מהם (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים המספרים $p=\sqrt5+\sqrt3$ ו- $q=\sqrt5-\sqrt3$ . בסעיפים הבאים אין להשתמש במחשבון.
נכון או לא נכון: מלכודות בשורשים (שאלה קצרה · רמה ב')
קבעו לכל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו בחישוב.
תמיד, לפעמים או אף פעם: גודל השורש (שאלה קצרה · רמה א')
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו. לטענה שנכונה לפעמים תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה…
אומדן סכום של שורשים (שאלת ביניים · רמה ב')
בלי לחשב את השורשים במדויק ובלי מחשבון.
חקירה: מספרים ששורשם בין שני שלמים, ולאיזה שלם הוא קרוב (שאלה מלאה · רמה א')
בשאלה זו חוקרים מספרים טבעיים שהשורש שלהם אינו מספר שלם. בלי מחשבון.
אומדן שורשים והשוואה (שאלה קצרה · רמה ב')
אמדו, ברמת דיוק של שלם את כל אחד מהשורשים והסבירו מדוע
מספרים מיוחדים מתחת לשורש (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה הזאת מחפשים מספרים שמתאימים למשבצות.
חקירה: מתי מספר קטן מהריבוע שלו ומתי מהשורש שלו (שאלה מלאה · רמה א')
בשאלה הזאת חוקרים איך מספר נמצא ביחס לריבוע שלו ולשורש הריבועי שלו. בלי מחשבון.
שורש מול מספר עשרוני: משווים בעזרת ריבועים (שאלה קצרה · רמה ב')
בלי מחשבון. רמז: מבין שני מספרים חיוביים, הגדול הוא זה שהריבוע שלו גדול יותר.
שורש של סכום לעומת סכום של שורשים (שאלה קצרה · רמה א')
המספרים $a$ ו- $b$ אינם שליליים. משווים בין $\sqrt{a+b}$ לבין $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .
שורש ריבועי: ערך אחד בלבד (שאלה קצרה · רמה ב')
שתי שאלות שנראות דומות: "אילו מספרים, כשמעלים אותם בריבוע, נותנים $64$ ?" ו"מהו $\sqrt{64}$ ?"
כשיחס השטחים אינו ריבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
שני משולשים דומים. שטח המשולש הקטן $12$ סמ"ר ושטח המשולש הגדול $36$ סמ"ר. אפשר להשאיר שורש בתשובה.
שורשים של שברים ושל מספרים עשרוניים (שאלה קצרה · רמה ב')
חשבו בלי מחשבון.
שורש גדול מהמספר? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $a$ ו- $b$ הם מספרים חיוביים.
שורש של סכום (שאלה קצרה · רמה ב')
יונתן רשם במחברת "כלל": $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ , לכל שני מספרים $a$ ו- $b$ שאינם שליליים.
נכון או לא נכון: שורשים ומשוואות (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם ארבעה משפטים. על כל משפט כתבו אם הוא נכון. במקום משפט שגוי כתבו משפט נכון.