שאלות פתוחות: שיפוע המשיק בנקודה ומציאת נקודה לפי שיפוע נתון - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על שיפוע המשיק בנקודה ומציאת נקודה לפי שיפוע נתון, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "המשיק לגרף פונקציה". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · שיפוע המשיק בשתי נקודות על גרף פולינוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−2x3+5xf(x)=x^4-2x^3+5xf(x)=x4−2x3+5x.

מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x=2x=2, ואת שיפוע המשיק בנקודה שבה x=−1x=-1x=−1.

שאלה 2 · נקודות על הגרף שבהן שיפוע המשיק נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3+3x2−8x−1f(x)=x^3+3x^2-8x-1f(x)=x3+3x2−8x−1.

א.

מצאו את שיעורי כל הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק הוא 16.

ב.

האם יש על גרף הפונקציה נקודה שבה שיפוע המשיק הוא −12-12−12? נמקו.

שאלה 3 · הזווית שהמשיק יוצר עם ציר ה-xשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+2xf(x)=x^3-3x^2+2xf(x)=x3−3x2+2x.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק לגרף יוצר זווית של 135∘135^\circ135∘ עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

ב.

הראו שאין על גרף הפונקציה נקודה שבה המשיק לגרף יוצר זווית של 120∘120^\circ120∘ עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

שאלה 4 · שיפוע המשיק בנקודה, ונקודה לפי שיפוע נתוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−5x+2f(x)=x^2-5x+2f(x)=x2−5x+2. בשאלה זו שני סעיפים שאינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק הוא 333.

שאלה 5 · פרמטר משיפוע נתון ונקודה נוספת עם אותו שיפועשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3+ax2+3f(x)=2x^3+ax^2+3f(x)=2x3+ax2+3, כאשר aaa פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA, שבה x=−1x=-1x=−1, הוא 12.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA, ואת שיעורי הנקודה BBB - הנקודה הנוספת על הגרף שבה שיפוע המשיק הוא גם 12.

ג.

הראו שאמצע הקטע ABABAB, הנקודה MMM, נמצא על גרף הפונקציה, ומצאו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה MMM.

שאלה 6 · נקודות שבהן שיפוע המשיק שווה לשיעור ה-yשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−x2+x+1f(x)=x^3-x^2+x+1f(x)=x3−x2+x+1.

א.

מצאו את שיעורי כל הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק לגרף שווה לשיעור ה-yyy של הנקודה.

ב.

הראו שבכל אחת מהנקודות שמצאתם בסעיף א, המשיק לגרף חותך את ציר ה-xxx בנקודה ששיעור ה-xxx שלה קטן ב-1 משיעור ה-xxx של נקודת ההשקה.

שאלה 7 · שיפוע המשיק לגרף $- 2 x^{3}$ שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=−2x3f(x)=-2x^3f(x)=−2x3. שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

הראו שאין על גרף הפונקציה נקודה שבה שיפוע המשיק חיובי.

ב.

מצאו את כל הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק הוא −24-24−24.