שאלות פתוחות: זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשת - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשת, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מחשבים זוויות מרכזיות מתוך משולשים שווי שוקיים שנוצרים מרדיוסים, למשל במשולש החסום במעגל כשנתונות זוויות בין רדיוס לצלע. יש שאלות על מיתרים שאורכם r ו-r√2, על נקודות במערכת צירים, על מעגלים בעלי מרכז משותף ועל שני רדיוסים מאונכים. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לשלב אותן בדף עבודה או בבוחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

10 שאלותקלה: 3בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשתשאלה קצרה · קלה

במערכת צירים נתון מעגל שמרכזו בראשית הצירים O(0,0)O(0,0)O(0,0). הנקודות A(23,2)A(2\sqrt{3},2)A(23​,2), B(−23,2)B(-2\sqrt{3},2)B(−23​,2) ו-C(0,−4)C(0,-4)C(0,−4) נמצאות על המעגל.

מצאו את המידה הזוויתית של הקשת ABABAB שעליה נמצאת הנקודה CCC.

שאלה 2 · זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשתשאלה קצרה · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO, והמרכז OOO נמצא בתוך המשולש. נתון: ∠OAB=20∘\angle OAB=20^\circ∠OAB=20∘, ∠OBC=30∘\angle OBC=30^\circ∠OBC=30∘.
OABC

א.

מצאו את ∠OCA\angle OCA∠OCA.

ב.

מצאו את זוויות המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · קשת בין שני מיתרים היוצאים מאותה נקודהשאלה קצרה · קשה

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו rrr נתונים המיתרים ABABAB ו-ACACAC, כך ש-AB=rAB=rAB=r ו-AC=r2AC=r\sqrt{2}AC=r2​. הנקודות BBB ו-CCC נמצאות משני צדי הישר AOAOAO.
OABC

מצאו את המידה הזוויתית של הקשת BCBCBC שאינה מכילה את הנקודה AAA.

שאלה 4 · מעגלים בעלי מרכז משותף: זווית מרכזית משותפת ודמיון לפי צ.ז.צשאלה קצרה · קלה

שני מעגלים שמרכזם המשותף OOO: רדיוס המעגל הקטן 444 ס"מ ורדיוס המעגל הגדול 101010 ס"מ. הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על המעגל הקטן, והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל הגדול, כך ש-AAA על הקטע OCOCOC ו-BBB על הקטע ODODOD. נתון: AB=6AB=6AB=6 ס"מ (ראו סרטוט).
OABCD

א.

הוכיחו כי △OAB∼△OCD\triangle OAB\sim\triangle OCD△OAB∼△OCD, ומצאו את אורך המיתר CDCDCD.

ב.

מצאו את המידה הזוויתית של הקשת הקטנה CDCDCD במעגל הגדול (בקירוב של עשירית מעלה).

שאלה 5 · זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשתשאלה קצרה · בינונית

הנקודות AAA, BBB, CCC נמצאות על מעגל שמרכזו OOO, והנקודות BBB ו-CCC שונות זו מזו. נתון: ∠OAB=∠OAC=50∘\angle OAB=\angle OAC=50^\circ∠OAB=∠OAC=50∘.

א.

מצאו את ∠BOC\angle BOC∠BOC. נמקו.

ב.

מצאו את ∠OBC\angle OBC∠OBC.

שאלה 6 · קשתות בין שני רדיוסים מאונכיםשאלת ביניים · קשה

במעגל שמרכזו OOO נתונים שני רדיוסים מאונכים, OA⊥OBOA\perp OBOA⊥OB. הנקודה CCC נמצאת על הקשת הקטנה ABABAB (ושונה מ-AAA ומ-BBB), ונתון ∠OCA=α\angle OCA=\alpha∠OCA=α.
αOABC

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את המידה של הקשת CBCBCB שאינה מכילה את AAA, ומצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα.

ב.

נתון כי הקשת CBCBCB (שאינה מכילה את AAA) גדולה פי 222 מהקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB). מצאו את α\alphaα.

שאלה 7 · מיתרים בשני מעגלים: דמיון לפי צ.צ.צ וקשתות בעלות אותה מידה זוויתיתשאלה קצרה · קלה

נתונים שני מעגלים: מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 666 ס"מ, ומעגל שמרכזו QQQ ורדיוסו 999 ס"מ. ABABAB הוא מיתר במעגל הראשון ו-CDCDCD הוא מיתר במעגל השני. נתון: AB=8AB=8AB=8 ס"מ, CD=12CD=12CD=12 ס"מ (ראו סרטוט).
OQABCD

הוכיחו כי △OAB∼△QCD\triangle OAB\sim\triangle QCD△OAB∼△QCD, והסיקו כי לקשת הקטנה ABABAB ולקשת הקטנה CDCDCD יש אותה מידה זוויתית.

שאלה 8 · זווית מרכזית ומידה זוויתית של קשתשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO נתונים שני רדיוסים מאונכים, OA⊥OBOA\perp OBOA⊥OB. הנקודה CCC נמצאת על הקשת הקטנה ABABAB (ושונה מ-AAA ומ-BBB), ונתון ∠OCA=α\angle OCA=\alpha∠OCA=α.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את המידה של הקשת CBCBCB שאינה מכילה את AAA, ומצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα.

ב.

נתון כי הקשת CBCBCB (שאינה מכילה את AAA) גדולה פי 222 מהקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB). מצאו את α\alphaα.

שאלה 9 · זווית מרכזית משתי זוויות בסיס שוותשאלה קצרה · בינונית

הנקודות AAA, BBB, CCC נמצאות על מעגל שמרכזו OOO, והנקודות BBB ו-CCC שונות זו מזו. נתון: ∠OAB=∠OAC=50∘\angle OAB=\angle OAC=50^\circ∠OAB=∠OAC=50∘.
OABC

מצאו את ∠BOC\angle BOC∠BOC. נמקו.

שאלה 10 · זוויות מרכזיות וזוויות של משולש חסוםשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO, והמרכז OOO נמצא בתוך המשולש. נתון: ∠OAB=20∘\angle OAB=20^\circ∠OAB=20∘, ∠OBC=30∘\angle OBC=30^\circ∠OBC=30∘.
OABC

א.

מצאו את ∠OCA\angle OCA∠OCA.

ב.

מצאו את זוויות המשולש ABCABCABC.