שאלות פתוחות: מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המעגל כמקום גאומטרי ועל מושגי היסוד רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרה, לכיתה י"א 4 יחידות. יש שאלות על מרחק של נקודה ממעגל, כולל הנקודה הקרובה ביותר והרחוקה ביותר, ושאלות במערכת צירים: האם נקודה נמצאת בתוך עיגול, ומעגל שמשיק לציר ה-x. לצד אלה יש שאלות על משולש החסום במעגל וגובה שעובר דרך המרכז. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

21 שאלותקלה: 3בינונית: 14קשה: 4

שאלה 1 · מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרהשאלה קצרה · קלה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו rrr, ו-ABABAB הוא מיתר במעגל.

א.

הוכיחו כי אם המיתר ABABAB אינו קוטר, אז AB<2rAB<2rAB<2r.

ב.

נתון כי r=6r=6r=6, ו-CDCDCD הוא מיתר במעגל שאורכו 121212. הוכיחו כי המיתר CDCDCD עובר דרך מרכז המעגל OOO.

שאלה 2 · מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרהשאלה קצרה · בינונית

במערכת צירים נתון מעגל שמרכזו C(−1,2)C(-1,2)C(−1,2) ורדיוסו 555, ונתונה הנקודה P(5,10)P(5,10)P(5,10).

א.

מצאו את הנקודה AAA על המעגל הקרובה ביותר ל-PPP, ואת המרחק PAPAPA.

ב.

מצאו את הנקודה BBB על המעגל הרחוקה ביותר מ-PPP, ואת המרחק PBPBPB.

שאלה 3 · מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרהשאלה קצרה · קשה

הנקודה PPP אינה נמצאת על מעגל שמרכזו OOO. המרחק מ-PPP אל הנקודה הקרובה אליה ביותר על המעגל הוא 333, והמרחק מ-PPP אל הנקודה הרחוקה ממנה ביותר על המעגל הוא 131313.

מצאו את כל הערכים האפשריים של רדיוס המעגל, ולכל ערך מצאו את המרחק OPOPOP.

שאלה 4 · מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרהשאלה קצרה · קלה

במערכת צירים נתון עיגול שמרכזו A(2,−1)A(2,-1)A(2,−1) ורדיוסו 555 (העיגול הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-AAA קטן מ-555 או שווה לו). נתונה הנקודה P(k,3)P(k,3)P(k,3).

מצאו את ערכי kkk שעבורם הנקודה PPP נמצאת בתוך העיגול ואינה על המעגל.

שאלה 5 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכזשאלה מלאה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו MMM. CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB. ידוע כי CDCDCD עובר דרך מרכז המעגל.
ABCDM

א.

הוכיחו כי: CA=CBCA=CBCA=CB.

ב.

נתונה משוואת המעגל: (x+1)2+(y−3)2=100(x+1)^2+(y-3)^2=100(x+1)2+(y−3)2=100. משוואת הצלע ABABAB היא: y=−3y=-3y=−3.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

(2)

מצאו את גודל הזוויות של המשולש ACMACMACM.

ד.

(1)

חשבו את אורכי הקטעים CMCMCM ו-DMDMDM.

(2)

חשבו את היחס בין השטחים של המשולשים ACMACMACM ו-ADMADMADM.

שאלה 6 · מעגל המשיק לציר ה-x עם פרמטר: למה AC שווה ל-OBשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו M(8,t)M(8,t)M(8,t), כאשר t>8t>8t>8. המעגל משיק לציר ה-xxx בנקודה AAA וחותך את ציר ה-yyy בשתי נקודות; BBB היא העליונה מביניהן. הישר BCBCBC משיק למעגל בנקודה BBB, ו-∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ∠BCA=90∘. OOO היא ראשית הצירים.
ABCMO

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המעגל ואת שיעורי הנקודה BBB.

ב.

הוכיחו כי ABABAB חוצה את הזווית CAMCAMCAM.

ג.

הוכיחו כי AC=OBAC=OBAC=OB לכל ערך של ttt.

ד.

נתון כי AC=32AC=32AC=32. מצאו את ttt.

שאלה 7 · מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומיםשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו MMM. הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה AAA חותך את הישר BCBCBC בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט. נתון: ACACAC הוא קוטר במעגל.
OABCM

א.

הוכיחו: ΔABC∼ΔOAC\Delta ABC\sim\Delta OACΔABC∼ΔOAC.

ב.

נתון: OC=20OC=20OC=20, BC=2BC=2BC=2.

מצאו את אורך ACACAC.

ג.

נתון: M(9,17)M(9,17)M(9,17).

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

נתון: משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA היא: y=3xy=3xy=3x.

(1)

מצאו את משוואת הישר AMAMAM.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ה.

הישר AMAMAM חותך את ציר ה-yyy בנקודה FFF.

מצאו את גודל הזווית OFAOFAOFA.

שאלה 8 · מעגל המשיק לציר ה-x ומקבילית: רדיוס כפרמטרשאלה מלאה · קשה

מעגל שמרכזו M(6,r)M(6,r)M(6,r) ורדיוסו rrr (r>6r>6r>6) משיק לציר ה-xxx בנקודה EEE, וחותך את ציר ה-yyy בנקודות BBB (התחתונה) ו-CCC. הנקודה AAA, השונה מ-MMM, נמצאת על הישר MEMEME, ו-AB=rAB=rAB=r.
MEBCAxy

א.

הוכיחו כי ABCMABCMABCM מקבילית.

ב.

הביעו באמצעות rrr את שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-AAA.

ג.

נתון: שטח המקבילית ABCMABCMABCM הוא 96. מצאו את rrr ואת שיעורי הנקודה AAA.

ד.

מצאו את rrr שבעבורו המקבילית ABCMABCMABCM היא מעוין. היכן נמצאת הנקודה AAA במקרה זה?

שאלה 9 · מעגל המשיק לציר ה-x: משיק בנקודה על ציר ה-y וחוצה זוויתשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו M(5,13)M(5,13)M(5,13). המעגל משיק לציר ה-xxx בנקודה AAA.
ABCM

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

הנקודה BBB היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy, כמתואר בציור. הישר BCBCBC משיק למעגל בנקודה BBB.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

(2)

מצאו את משוואת המשיק למעגל, BCBCBC.

ג.

נתון: ∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ∠BCA=90∘.

(1)

הוכיחו: ACACAC מקביל ל-MBMBMB.

(2)

הוכיחו: ABABAB חוצה את הזווית CAMCAMCAM.

ד.

חשבו את אורך הקטע ACACAC.

שאלה 10 · המרחק הקטן והגדול בין נקודות של שני מעגליםשאלת ביניים · קשה

במערכת צירים נתונים שני מעגלים: המעגל k1k_1k1​ שמרכזו A(0,0)A(0,0)A(0,0) ורדיוסו 333, והמעגל k2k_2k2​ שמרכזו B(8,6)B(8,6)B(8,6) ורדיוסו 222.
AB

א.

מצאו את המרחק מהנקודה AAA אל הנקודה הקרובה אליה ביותר על המעגל k2k_2k2​, ואת המרחק מ-AAA אל הנקודה הרחוקה ממנה ביותר על המעגל k2k_2k2​.

ב.

הנקודה XXX נמצאת על המעגל k1k_1k1​, והנקודה YYY נמצאת על המעגל k2k_2k2​. מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של המרחק XYXYXY.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות XXX ו-YYY שעבורן המרחק XYXYXY הוא הקטן ביותר.

עוד 4 שאלות על מעגל כמקום גאומטרי ומושגי יסוד: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, עיגול וגזרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל המשיק לציר ה-y ומקבילית: הוכחות ושיעורי נקודות (שאלה מלאה · בינונית)
מעגל שמרכזו $M$ משיק לציר ה- $y$ בנקודה $E$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם ( $B$ קרובה יותר לראשית הצירים).…
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ ,…
מיתר שאינו קוטר קצר מהקוטר (שאלה קצרה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ , ו- $AB$ הוא מיתר במעגל.
הנקודה הקרובה ביותר והרחוקה ביותר על מעגל (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון מעגל שמרכזו $C(-1,2)$ ורדיוסו $5$ , ונתונה הנקודה $P(5,10)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. נתון:…
מעגל המשיק לציר ה-x: משיק, הקבלה וחוצה זווית · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M(6,10)$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $A$ .
מעגל המשיק לציר ה-x ומקבילית: הוכחות ושיעורי נקודות · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 5
מעגל שמרכזו $M$ משיק לציר ה- $x$ בנקודה $E$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $B$ ו- $C$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם. הנקודה $A$ נמצאת על המשך $ME$ , כמתואר בסרטוט.
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. דרך…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול,…