שאלות פתוחות: האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשת - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט שהאנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשת, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מחשבים רדיוס או מרחק מיתר מהמרכז כשנתונים אורך המיתר והזווית המרכזית, או כשנתון מיתר לנקודת אמצע הקשת. יש שאלות במערכת צירים עם משוואת מעגל ומשולש חסום, ושאלה על שני מיתרים שיוצאים מאותה נקודה ועל האנכים אליהם מהמרכז. רוב השאלות בינוניות, לצד קלות וקשות, ומתאים למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

19 שאלותקלה: 3בינונית: 11קשה: 5

שאלה 1 · האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשתשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאורכו 10310\sqrt{3}103​ ס"מ, והזווית המרכזית הנשענת עליו היא ∠AOB=120∘\angle AOB=120^\circ∠AOB=120∘.

מצאו את המרחק של המיתר ממרכז המעגל ואת רדיוס המעגל.

שאלה 2 · האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשתשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאורכו 242424 ס"מ. הנקודה CCC היא אמצע הקשת הקטנה AB⌢\overset{\frown}{AB}AB⌢, ואורך המיתר ACACAC הוא 151515 ס"מ.

מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 3 · מיתרים שווים במעגל: מיחס השטחים לזווית ולמיתרשאלה מלאה · קשה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x−1)2+(y−6)2=20(x-1)^2+(y-6)^2=20(x−1)2+(y−6)2=20 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. המיתר BCBCBC מקביל לציר ה-xxx ונמצא מתחת ל-MMM (BBB משמאל ל-CCC). נתון: שטח המשולש AMCAMCAMC גדול פי 1.5 משטח המשולש ABCABCABC.
MABCxy

א.

הוכיחו: MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC.

ב.

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC.

ד.

מצאו את כל הערכים של הזווית BACBACBAC שעבורם שטח המשולש AMCAMCAMC גדול משטח המשולש ABCABCABC (כש-AB=BCAB=BCAB=BC ו-MMM ו-BBB משני צדי ACACAC).

שאלה 4 · מיתרים שווים במעגל: זווית היקפית ויחס שטחים בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25(x+1)2+(y−2)2=25 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. הנקודות BBB ו-CCC נמצאות על הישר y=−2y=-2y=−2 (BBB משמאל ל-CCC).
MABCxy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC, ואת אורך המיתר BCBCBC.

ב.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ג.

הראו כי cos⁡∠MBC=0.6\cos\angle MBC=0.6cos∠MBC=0.6, וחשבו את הזוויות BMCBMCBMC ו-BACBACBAC.

ד.

NNN היא נקודת המפגש של MBMBMB ו-ACACAC. הסבירו מדוע MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC, וחשבו את BNBNBN ואת MNMNMN.

ה.

חשבו את היחס בין שטח המשולש AMCAMCAMC לשטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשתשאלה קצרה · בינונית

במעגל שרדיוסו 252525 ס"מ, אורך המיתר ABABAB גדול ב-252525 ס"מ מהמרחק שלו ממרכז המעגל.

מצאו את המרחק של המיתר ממרכז המעגל ואת אורך המיתר.

שאלה 6 · מיתר אופקי משתנה במעגל: זווית הראש של משולש חסוםשאלה מלאה · קשה

נתון המעגל (x+2)2+(y−1)2=36(x+2)^2+(y-1)^2=36(x+2)2+(y−1)2=36 שמרכזו MMM. משולש ABCABCABC חסום במעגל. הצלע ABABAB מונחת על הישר y=ky=ky=k, והיא נמצאת מתחת למרכז המעגל (−5<k<1-5<k<1−5<k<1). CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והוא עובר דרך MMM (AAA משמאל ל-BBB).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי AAA ו-BBB ואת אורך הגובה CDCDCD.

ב.

נתון כי שטח המשולש ACMACMACM גדול פי 3 משטח המשולש ADMADMADM. מצאו את kkk, וחשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש ABCABCABC שווה צלעות.

ד.

לאילו ערכים של kkk הזווית ACBACBACB גדולה מ-60∘60^\circ60∘?

שאלה 7 · מרחק מיתר מהמרכז ורדיוס לפי זווית מרכזיתשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאורכו 10310\sqrt{3}103​ ס"מ, והזווית המרכזית הנשענת עליו היא ∠AOB=120∘\angle AOB=120^\circ∠AOB=120∘.
OAB

מצאו את המרחק של המיתר ממרכז המעגל ואת רדיוס המעגל.

שאלה 8 · האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשתשאלה קצרה · בינונית

מהנקודה AAA שעל מעגל שמרכזו OOO יוצאים שני מיתרים, ABABAB ו-ACACAC. MMM ו-NNN הם עקבי האנכים מ-OOO למיתרים ABABAB ו-ACACAC בהתאמה, והמרכז OOO נמצא בתוך הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC (ראו סרטוט). נתון: ∠MON=140∘\angle MON=140^\circ∠MON=140∘.
OABCMN

א.

מצאו את גודל הזווית המרכזית ∠BOC\angle BOC∠BOC (הזווית שאינה מכילה את AAA).

ב.

מצאו את גודל הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC.

שאלה 9 · אנכים מהמרכז לשני מיתרים: זווית מרכזית וזווית בין המיתריםשאלה קצרה · קשה

מהנקודה AAA שעל מעגל שמרכזו OOO יוצאים שני מיתרים, ABABAB ו-ACACAC. MMM ו-NNN הם עקבי האנכים מ-OOO למיתרים ABABAB ו-ACACAC בהתאמה, והמרכז OOO נמצא בתוך הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC (ראו סרטוט). נתון: ∠MON=140∘\angle MON=140^\circ∠MON=140∘.
OABCMN

א.

מצאו את גודל הזווית המרכזית ∠BOC\angle BOC∠BOC (הזווית שאינה מכילה את AAA).

ב.

מצאו את גודל הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC.

שאלה 10 · האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשתשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR נתון מיתר ABABAB, ו-∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α (כאשר 0∘<2α<180∘0^\circ<2\alpha<180^\circ0∘<2α<180∘). האנך מ-OOO למיתר ABABAB חותך את המיתר בנקודה MMM ואת הקשת הקטנה AB⌢\overset{\frown}{AB}AB⌢ בנקודה CCC.

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ACBACBACB.

ב.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש ACBACBACB שווה לשטח המשולש AOBAOBAOB.

עוד 8 שאלות על האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשת

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטח המשולש שבין מיתר לאמצע הקשת (שאלת ביניים · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ נתון מיתר $AB$ , ו- $\angle AOB=2\alpha$ (כאשר $0^\circ<2\alpha<180^\circ$ ). האנך מ- $O$ למיתר $AB$ חותך את המיתר…
מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).
מיתרים שווים ויחס שטחים: מציאת זווית היקפית (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו $r$ , כך ש- $AB=BC$ . הנקודות $M$ ו- $B$ נמצאות משני צדי המיתר $AC$ . נתון: שטח המשולש…
האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית ואת הקשת (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 העבירו מיתר $AC$ שאורכו 24. הרדיוס $OB$ מאונך למיתר $AC$ וחותך אותו בנקודה $N$ ( $B$ על הקשת הקטנה $AC$ ).
רדיוס מעגל מאורך מיתר ומהמיתר לאמצע הקשת (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ נתון מיתר $AB$ שאורכו $24$ ס"מ. הנקודה $C$ היא אמצע הקשת הקטנה $\overset{\frown}{AB}$ , ואורך המיתר $AC$ הוא $15$ ס"מ.
רדיוס המאונך למיתר: קטעים ויחס שטחים (שאלת ביניים · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 העבירו מיתר $AC$ שאורכו 24. הרדיוס $OB$ מאונך למיתר $AC$ וחותך אותו בנקודה $N$ ( $B$ על הקשת הקטנה $AC$ ).
האנך מהמרכז למיתר והזווית ההיקפית: רדיוס ואורך צלע (שאלת ביניים · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
זוויות היקפיות שוות: מיתרים שווים ואורך מיתר (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ נתונים המיתרים $AB$ ו- $CD$ . הנקודה $P$ נמצאת על הקשת הגדולה $AB$ , והנקודה $Q$ נמצאת על הקשת הגדולה $CD$ . נתון:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).