שאלות פתוחות: אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט שאנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים משתמשים במשפט ובמשפט פיתגורס כדי לחשב אורך מיתר, מרחק מיתר מהמרכז או רדיוס, למשל בשני מיתרים מקבילים משני צידי המרכז או בשני מעגלים בעלי מרכז משותף. יש גם שאלות על מיתרים מאונכים ושאלות במערכת צירים עם משוואת מעגל. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ואפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

30 שאלותקלה: 6בינונית: 15קשה: 9

שאלה 1 · אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתרשאלה קצרה · קלה

שני מעגלים שמרכזם המשותף OOO: רדיוס המעגל הגדול 171717 ס"מ ורדיוס המעגל הקטן 101010 ס"מ. ישר חותך את המעגל הגדול בנקודות AAA ו-BBB ואת המעגל הקטן בנקודות CCC ו-DDD, כך שהסדר על הישר הוא AAA, CCC, DDD, BBB.
OACDB

א.

הוכיחו כי AC=DBAC=DBAC=DB.

ב.

נתון כי AB=30AB=30AB=30 ס"מ. מצאו את ACACAC.

שאלה 2 · אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתרשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאורכו 242424 ס"מ. האנך היורד מ-OOO למיתר ABABAB חותך את המיתר בנקודה MMM, והמשכו פוגש את המעגל בנקודה PPP (כך ש-MMM בין OOO ל-PPP). נתון: MP=4MP=4MP=4 ס"מ.

מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 3 · אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתרשאלה קצרה · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 101010 ס"מ. הנקודה PPP נמצאת בתוך המעגל, ו-OP=6OP=6OP=6 ס"מ.

מבין כל המיתרים שעוברים דרך PPP, מצאו את אורך המיתר הארוך ביותר ואת אורך המיתר הקצר ביותר. נמקו.

שאלה 4 · אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתרשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 252525 ס"מ נתונים שני מיתרים מקבילים, הנמצאים משני צדי המרכז. אורך מיתר אחד 404040 ס"מ ואורך המיתר השני 484848 ס"מ.

מצאו את המרחק בין שני המיתרים.

שאלה 5 · אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתרשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO המיתרים ABABAB ו-CDCDCD מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה PPP. נתון: AP=aAP=aAP=a, PB=bPB=bPB=b, כאשר a>ba>ba>b.
OABCDP

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את המרחק של מרכז המעגל OOO מהמיתר CDCDCD.

שאלה 6 · מיתר אופקי משתנה במעגל: זווית הראש של משולש חסוםשאלה מלאה · קשה

נתון המעגל (x+2)2+(y−1)2=36(x+2)^2+(y-1)^2=36(x+2)2+(y−1)2=36 שמרכזו MMM. משולש ABCABCABC חסום במעגל. הצלע ABABAB מונחת על הישר y=ky=ky=k, והיא נמצאת מתחת למרכז המעגל (−5<k<1-5<k<1−5<k<1). CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והוא עובר דרך MMM (AAA משמאל ל-BBB).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי AAA ו-BBB ואת אורך הגובה CDCDCD.

ב.

נתון כי שטח המשולש ACMACMACM גדול פי 3 משטח המשולש ADMADMADM. מצאו את kkk, וחשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש ABCABCABC שווה צלעות.

ד.

לאילו ערכים של kkk הזווית ACBACBACB גדולה מ-60∘60^\circ60∘?

שאלה 7 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל שמרכזו בראשיתשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל x2+y2=169x^2+y^2=169x2+y2=169 שמרכזו MMM בראשית הצירים. משוואת הצלע ABABAB היא y=−5y=-5y=−5. CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והוא עובר דרך MMM.
ABCDM

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB (AAA משמאל ל-BBB).

ב.

הראו כי C(0,13)C(0,13)C(0,13) ו-D(0,−5)D(0,-5)D(0,−5).

ג.

הראו כי CA=CBCA=CBCA=CB.

ד.

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

שאלה 8 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכזשאלה מלאה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו MMM. CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB. ידוע כי CDCDCD עובר דרך מרכז המעגל.
ABCDM

א.

הוכיחו כי: CA=CBCA=CBCA=CB.

ב.

נתונה משוואת המעגל: (x+1)2+(y−3)2=100(x+1)^2+(y-3)^2=100(x+1)2+(y−3)2=100. משוואת הצלע ABABAB היא: y=−3y=-3y=−3.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

(2)

מצאו את גודל הזוויות של המשולש ACMACMACM.

ד.

(1)

חשבו את אורכי הקטעים CMCMCM ו-DMDMDM.

(2)

חשבו את היחס בין השטחים של המשולשים ACMACMACM ו-ADMADMADM.

שאלה 9 · טרפז בחצי מעגל: שטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

בחצי מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 12 ס"מ חסום טרפז ABCDABCDABCD: הבסיס DCDCDC הוא קוטר חצי המעגל, והקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על הקשת (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC), כמתואר בציור. נסמן ב-xxx את גובה הטרפז OHOHOH (HHH על ABABAB).
DCOABH

א.

הביעו באמצעות xxx את שטח הטרפז.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי.

ג.

מצאו את השטח המקסימלי של הטרפז.

ד.

הוכיחו שכאשר שטח הטרפז מקסימלי, הקטעים OAOAOA ו-OBOBOB מחלקים אותו לשלושה משולשים שווי צלעות.

שאלה 10 · משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בחצי מעגל שרדיוסו 6 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים ABOABOABO, שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל OOO ובסיסו ABABAB מקביל לקוטר (ראו ציור). נסמן ב-xxx את גובה המשולש OHOHOH.
OABH

א.

הסבירו מדוע HHH היא אמצע ABABAB, והביעו באמצעות xxx את AHAHAH.

ב.

הראו כי שטח המשולש הוא S(x)=x36−x2S(x)=x\sqrt{36-x^2}S(x)=x36−x2​, ורשמו את התחום של xxx.

ג.

הראו כי S′(x)=36−2x236−x2S'(x)=\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}S′(x)=36−x2​36−2x2​.

ד.

מצאו את xxx שבעבורו השטח מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

עוד 16 שאלות על אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 13 ס"מ, אורך המיתר $AB$ הוא 24 ס"מ. הקוטר המאונך ל- $AB$ חותך את $AB$ בנקודה $D$ ואת המעגל בנקודה $C$ , כך ש- $M$ …
בעיית קיצון במעגל: משולש חסום ומיתר מוגבל (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 13 ס"מ. המיתר $EF$ מאונך לקוטר $AB$ וחותך אותו בנקודה $D$ , הנמצאת בין $O$ ל- $B$ . נסמן $OD=x$ .
אנך למיתר העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר (שאלה קצרה · קלה)
במעגל שרדיוסו 10 ס"מ מסרטטים מיתר במרחק $x$ ס"מ ממרכז המעגל.
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,2)$ , $B(1,-3)$ ,…
משולש חסום במעגל: שני מקומות אפשריים לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ העבירו מיתר $AB$ שאורכו 24 ס"מ. $M$ היא נקודה על המיתר כך ש- $OM\perp AB$ , ו- $OM=5$ ס"מ. $C$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $A$ …
משולש חסום במעגל: זווית מרכזית, רדיוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
המיתר הארוך והקצר ביותר דרך נקודה פנימית (שאלה קצרה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ ס"מ. הנקודה $P$ נמצאת בתוך המעגל, ו- $OP=6$ ס"מ.
רדיוס המעגל מאורך מיתר וחץ (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ נתון מיתר $AB$ שאורכו $24$ ס"מ. האנך היורד מ- $O$ למיתר $AB$ חותך את המיתר בנקודה $M$ , והמשכו פוגש את המעגל בנקודה $P$ (כך…
מכפלת הקטעים של מיתר דרך נקודה פנימית (שאלת ביניים · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ נתון המיתר $AB$ . הנקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ (ושונה מ- $A$ ומ- $B$ ).
מיתר החותך שני מעגלים בעלי מרכז משותף (שאלת ביניים · בינונית)
שני מעגלים שמרכזם המשותף $O$ : רדיוס המעגל הגדול $17$ ס"מ ורדיוס המעגל הקטן $10$ ס"מ. ישר חותך את המעגל הגדול בנקודות $A$ ו- $B$ ואת המעגל…
שני מיתרים מקבילים: האנך האמצעי המשותף, הרדיוס וזווית ישרה (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על מעגל שמרכזו $O$ , כך ש- $ABCD$ הוא טרפז שבסיסיו $AB$ ו- $CD$ ( $AB\parallel CD$ ). נתון: $AB=14$ ס"מ,…
מיתר שאמצעו נתון במערכת צירים (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון מעגל שמרכזו $K(3,1)$ ורדיוסו $5$ . הנקודה $M(2,3)$ היא אמצע המיתר $AB$ של המעגל (המיתר אינו קוטר).
מיתרים מקבילים שזוויות היקפיות שוות נשענות עליהם: מרחק (שאלה קצרה · קשה)
במעגל שרדיוסו $5$ ס"מ, $AB$ ו- $CD$ הם מיתרים מקבילים הנמצאים משני צדי מרכז המעגל. הנקודות $P$ ו- $Q$ נמצאות על המעגל, ונתון:…
זווית היקפית מתוך אורך מיתר ורדיוס (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5 העבירו מיתר $PQ$ שאורכו 8. הנקודה $R$ נמצאת על הקשת הגדולה $PQ$ .
האנך מהמרכז למיתר והזווית ההיקפית: רדיוס ואורך צלע (שאלת ביניים · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: שטח מקסימלי · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 8
בחצי מעגל שרדיוסו 10 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים $ABO$ כך שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל $O$ , ובסיסו $AB$ מקביל לקוטר (ראו ציור). נסמן ב- $x$ את גובה המשולש $OH$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מעגל שקוטרו רדיוס: אמצע מיתר (שאלה קצרה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O, ו-C נקודה על המעגל. המעגל שקוטרו OB חותך את המיתר BC בנקודה E (שונה מ-B), כמתואר…