שאלות פתוחות: זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שווים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט שזוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שווים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות משתמשים בשוויון מיתרים כדי להסיק שוויון זוויות ולהפך, למשל שני מיתרים שווים שנתונה זווית בין אחד מהם לרדיוס. יש שאלות במערכת צירים עם משוואת מעגל, שאלה על שני מיתרים שווים ומאונכים, ושאלה על 12 נקודות שמחלקות מעגל לקשתות שוות. הרמות: קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן, למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

17 שאלותקלה: 4בינונית: 8קשה: 5

שאלה 1 · זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שוויםשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO המיתרים ABABAB ו-CDCDCD שווים באורכם. נתון: ∠OAB=35∘\angle OAB=35^\circ∠OAB=35∘.

מצאו את גודל הזווית המרכזית ∠COD\angle COD∠COD ואת גודל הזווית ∠OCD\angle OCD∠OCD.

שאלה 2 · זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שוויםשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO המיתרים ABABAB ו-BCBCBC שווים. הקטע BOBOBO חותך את המיתר ACACAC בנקודה DDD. נתון: AC=12AC=12AC=12 ס"מ, BD=4BD=4BD=4 ס"מ.

א.

הוכיחו כי BO⊥ACBO\perp ACBO⊥AC וכי DDD היא אמצע ACACAC.

ב.

מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 3 · מיתרים שווים במעגל: מיחס השטחים לזווית ולמיתרשאלה מלאה · קשה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x−1)2+(y−6)2=20(x-1)^2+(y-6)^2=20(x−1)2+(y−6)2=20 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. המיתר BCBCBC מקביל לציר ה-xxx ונמצא מתחת ל-MMM (BBB משמאל ל-CCC). נתון: שטח המשולש AMCAMCAMC גדול פי 1.5 משטח המשולש ABCABCABC.
MABCxy

א.

הוכיחו: MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC.

ב.

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC.

ד.

מצאו את כל הערכים של הזווית BACBACBAC שעבורם שטח המשולש AMCAMCAMC גדול משטח המשולש ABCABCABC (כש-AB=BCAB=BCAB=BC ו-MMM ו-BBB משני צדי ACACAC).

שאלה 4 · מיתרים שווים במעגל: זווית היקפית ויחס שטחים בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25(x+1)2+(y−2)2=25 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. הנקודות BBB ו-CCC נמצאות על הישר y=−2y=-2y=−2 (BBB משמאל ל-CCC).
MABCxy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC, ואת אורך המיתר BCBCBC.

ב.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ג.

הראו כי cos⁡∠MBC=0.6\cos\angle MBC=0.6cos∠MBC=0.6, וחשבו את הזוויות BMCBMCBMC ו-BACBACBAC.

ד.

NNN היא נקודת המפגש של MBMBMB ו-ACACAC. הסבירו מדוע MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC, וחשבו את BNBNBN ואת MNMNMN.

ה.

חשבו את היחס בין שטח המשולש AMCAMCAMC לשטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 5 · זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שוויםשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 171717 ס"מ נתונים שני מיתרים שווים, AB=CD=30AB=CD=30AB=CD=30 ס"מ. המיתרים מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה EEE שבתוך המעגל.

א.

חשבו את המרחק של כל אחד מהמיתרים ממרכז המעגל.

ב.

מצאו את אורך הקטע OEOEOE.

שאלה 6 · כמה אורכים שונים יש למיתרים בין 12 נקודות על מעגלשאלה קצרה · קשה

121212 נקודות מחלקות מעגל שרדיוסו RRR ל-121212 קשתות שוות. מחברים בקטע כל שתי נקודות מבין ה-121212, ומתקבלים 666666 מיתרים.

כמה אורכים שונים יש בין כל המיתרים שהתקבלו? נמקו.

שאלה 7 · מיתרים שווים - זוויות מרכזיות שוותשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO המיתרים ABABAB ו-CDCDCD שווים באורכם. נתון: ∠OAB=35∘\angle OAB=35^\circ∠OAB=35∘.
OABCD

מצאו את גודל הזווית המרכזית ∠COD\angle COD∠COD ואת גודל הזווית ∠OCD\angle OCD∠OCD.

שאלה 8 · זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שוויםשאלה קצרה · בינונית

הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות על מעגל שמרכזו OOO, בסדר זה, ומתקיים AB=BC=CDAB=BC=CDAB=BC=CD. המרכז OOO נמצא בתוך המרובע ABCDABCDABCD. נסמן ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את גודל הזווית ∠AOB\angle AOB∠AOB.

ב.

מצאו את α\alphaα שעבורו גם AD=ABAD=ABAD=AB.

שאלה 9 · מיתרים שווים: חוצה הזווית המרכזית ויחס שטחיםשאלת ביניים · קשה

במעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 29\sqrt{29}29​ המיתרים ABABAB ו-BCBCBC שווים, ואורך המיתר BCBCBC הוא 444 (ראו סרטוט).
MABC

א.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ב.

חשבו פי כמה גדול שטח המשולש AMCAMCAMC משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 10 · מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז - משפט החפיפה הרביעישאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO נתונים שני מיתרים שווים, AB=CDAB=CDAB=CD. OMOMOM הוא האנך מהמרכז למיתר ABABAB (MMM על ABABAB), ו-ONONON הוא האנך מהמרכז למיתר CDCDCD (NNN על CDCDCD), כמתואר בסרטוט.
OABCDMN

א.

הוכיחו כי OM=ONOM=ONOM=ON.

ב.

נתון: רדיוס המעגל 101010 ס"מ ו-CD=12CD=12CD=12 ס"מ. חשבו את המרחק ONONON של המיתר CDCDCD ממרכז המעגל.

עוד 6 שאלות על זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שווים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם המיתרים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
$12$ נקודות מחלקות מעגל שרדיוסו $R$ ל- $12$ קשתות שוות. מחברים בקטע כל שתי נקודות מבין ה- $12$ , ומתקבלים $66$ מיתרים.
מיתרים שווים ויחס שטחים: מציאת זווית היקפית (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו $r$ , כך ש- $AB=BC$ . הנקודות $M$ ו- $B$ נמצאות משני צדי המיתר $AC$ . נתון: שטח המשולש…
מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).
המשכי מיתרים שווים: חפיפה לפי צ.צ.ז כשהזווית מול הצלע הגדולה (שאלה קצרה · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ נתונים שני מיתרים שווים, $AB=CD$ . הנקודה $P$ נמצאת על המשך המיתר $AB$ מעבר לנקודה $B$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המשך המיתר $CD$ …
שלושה מיתרים שווים - הבעת זווית מרכזית (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על מעגל שמרכזו $O$ , בסדר זה, ומתקיים $AB=BC=CD$ . המרכז $O$ נמצא בתוך המרובע $ABCD$ . נסמן…
מיתרים שווים: הוכחת מאונכות וחישוב רדיוס (שאלת ביניים · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים. הקטע $BO$ חותך את המיתר $AC$ בנקודה $D$ . נתון: $AC=12$ ס"מ, $BD=4$ ס"מ.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).