שאלות פתוחות: מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180° - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מרובע חסום במעגל ועל המשפט שסכום זוויות נגדיות בו הוא 180°, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחשבים זוויות של מרובע חסום כשהן נתונות כביטויים עם x, או כשהמשכי שתי צלעות נפגשים מחוץ למעגל. יש שאלות על משושה חסום, על מקבילית שמעגל עובר דרך שני קדקודיה, ועל מרובע חסום במערכת צירים. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, ואפשר להרכיב מהשאלות מבחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

45 שאלותקלה: 11בינונית: 23קשה: 11

שאלה 1 · מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°שאלה קצרה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. המשכי הצלעות ABABAB (מעבר ל-BBB) ו-DCDCDC (מעבר ל-CCC) נפגשים בנקודה EEE. נתון: ∠AED=40∘\angle AED=40^\circ∠AED=40∘, ∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ∠DAB=60∘.

א.

מצאו את זוויות המרובע ABCDABCDABCD.

ב.

הוכיחו כי המשולשים EBCEBCEBC ו-EDAEDAEDA דומים.

שאלה 2 · מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°שאלה קצרה · בינונית

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=BCAB=BCAB=BC ו-∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את גודל הזווית ∠BDC\angle BDC∠BDC.

ב.

הוכיחו כי DBDBDB חוצה את הזווית ∠ADC\angle ADC∠ADC.

שאלה 3 · מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°שאלה קצרה · קשה

המשושה ABCDEFABCDEFABCDEF חסום במעגל. נתון: ∠A=100∘\angle A=100^\circ∠A=100∘, ∠C=125∘\angle C=125^\circ∠C=125∘ (זוויות פנימיות של המשושה).

מצאו את גודל הזווית ∠E\angle E∠E של המשושה. נמקו.

שאלה 4 · מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°שאלה קצרה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠A=2x+10∘\angle A=2x+10^\circ∠A=2x+10∘, ∠B=x+30∘\angle B=x+30^\circ∠B=x+30∘, ∠C=3x−15∘\angle C=3x-15^\circ∠C=3x−15∘.

מצאו את xxx ואת כל זוויות המרובע.

שאלה 5 · מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°שאלה קצרה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית, ונתון ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α. מעגל העובר דרך הקודקודים AAA ו-BBB חותך את הצלע ADADAD בנקודה EEE ואת הצלע BCBCBC בנקודה FFF (EEE ו-FFF שונות מקודקודי המקבילית).
αABDCEF

הביעו באמצעות α\alphaα את גודל הזווית ∠DEF\angle DEF∠DEF.

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל: משיק ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD, A(6,−1)A(6,-1)A(6,−1), D(0,−1)D(0,-1)D(0,−1), C(1,4)C(1,4)C(1,4).
ABCD

א.

הוכיחו כי BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB ואת משוואת המעגל.

ג.

המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את הישר ABABAB בנקודה PPP. מצאו את שיעורי PPP.

ד.

מצאו את כל הנקודות KKK על המעגל, שונות מ-CCC, שבעבורן שטח המשולש BDKBDKBDK שווה לשטח המשולש BDCBDCBDC.

שאלה 7 · מרובע חסום במעגל: קוטר וזוויות היקפיותשאלה מלאה · קלה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD.
ABCD

א.

הוכיחו כי ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ∠BAD=90∘, והסיקו ש-BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

נתון: A(1,−1)A(1,-1)A(1,−1), D(−3,−1)D(-3,-1)D(−3,−1), B(1,5)B(1,5)B(1,5).

מצאו את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ג.

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

הנקודה C(−4,4)C(-4,4)C(−4,4) נמצאת על המעגל. העבירו את האלכסון ACACAC.

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

שאלה 8 · מרובע חסום במעגל במערכת ציריםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC.
ABCD

א.

הוכיחו: ACACAC הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: C(6,−2)C(6,-2)C(6,−2), D(6,4)D(6,4)D(6,4), B(2,−4)B(2,-4)B(2,−4).

(1)

הסבירו מדוע ADADAD מקביל לציר ה-xxx.

(2)

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

(3)

חשבו את שיעורי הנקודה AAA.

(4)

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

העבירו את האלכסון BDBDBD במרובע ABCDABCDABCD.

חשבו את גודל הזווית DBCDBCDBC.

שאלה 9 · מרובע חסום במעגל: יחס שטחים ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC, A(−4,−8)A(-4,-8)A(−4,−8), C(2,2)C(2,2)C(2,2). הקודקודים BBB ו-DDD נמצאים על ציר ה-xxx (ראו ציור).
ABCDxy

א.

מצאו את משוואת המעגל. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD.

ג.

מצאו את היחס SABDSCBD\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}SCBD​SABD​​.

ד.

הנקודה PPP נעה על המעגל. מצאו את שיעורי הנקודות PPP שבעבורן שטח המשולש APCAPCAPC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 10 · מעגל המשיק לציר ה-y: זוויות במרובע החסוםשאלה מלאה · קלה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−3)A(0,-3)A(0,−3) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 5. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הרדיוס MAMAMA מאונך לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי MMM ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-DDD.

ג.

הסבירו מדוע ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘.

ד.

חשבו את גודל הזווית BADBADBAD.

ה.

מצאו את גודל הזווית BCDBCDBCD. נמקו.

עוד 21 שאלות על מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180°

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
מעגל המשיק לציר ה-y עם פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
ציר ה- $y$ משיק בנקודה $A(0,-k)$ למעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 6, כאשר $0<k<6$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ קרובה יותר לציר…
מרובע חסום במעגל: מזווית ישרה לקוטר ולחיתוך ישר ומעגל (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle A=\angle C$ .
מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180° (שאלה קצרה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ , $AB=6$ .
מרובע חסום במעגל עם שיפוע כפרמטר: שטח ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle A=\angle C$ , $B(0,10)$ , $D(0,0)$ . הקודקוד $C$ נמצא ברביע הראשון.
מעגל במערכת צירים: ממשוואת המעגל לזוויות ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
מרכז המעגל שבסרטוט הוא $M(0,5)$ , והמעגל עובר בנקודה $A(-5,6)$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ ( $C$ מימין). הנקודה $B(1,10)$ נמצאת…
מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו…
מעגל במערכת צירים: משולש חסום ושטח מקסימלי על קשת (שאלה מלאה · קשה)
במעגל חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(-7,8)$ , $B(1,14)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ …
מרובע חסום במעגל: זווית על קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · קלה)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל $x^2+y^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,-3)$ , $B(0,-5)$ , $C(4,3)$ ,…
מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180° (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A(-5,0)$ , $B(-3,4)$ , $C(4,3)$ ו- $D(0,-5)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ .
דלתון חסום במעגל: מציאת קודקודים ומעגל (שאלה מלאה · קשה)
נתון דלתון $ABCD$ ( $CB=CD$ , $AB=AD$ ) החסום במעגל. נתון: $A(2,11)$ , $C(12,1)$ . הקודקוד $D$ מונח על ציר ה- $y$ , ושיעור ה- $y$ שלו גדול מ-6 (ראו…
זוויות של מרובע חסום שהמשכי שתי צלעותיו נפגשים (שאלה קצרה · קלה)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. המשכי הצלעות $AB$ (מעבר ל- $B$ ) ו- $DC$ (מעבר ל- $C$ ) נפגשים בנקודה $E$ . נתון: $\angle AED=40^\circ$ ,…
מרובע חסום במעגל: קוטר אופקי, חיתוך ישר ומעגל וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle B=\angle D$ .
חותך ממעגל: נקודה על המשך מיתר לפי יחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y+1)^2=25$ , והנקודות $A(-3,-4)$ , $B(6,-1)$ , $C(1,-6)$ שעליו. $P$ היא נקודה על המשך המיתר $BC$ מעבר ל- $C$ , כך שהישר $PA$ …
מעגל במערכת צירים: משולש חסום ומרובע חסום (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,4)$ , $B(4,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ ,…
משולש חסום במעגל: שני מקומות אפשריים לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שמרכזו $O$ העבירו מיתר $AB$ שאורכו 24 ס"מ. $M$ היא נקודה על המיתר כך ש- $OM\perp AB$ , ו- $OM=5$ ס"מ. $C$ היא נקודה על המעגל (שונה מ- $A$ …
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,2)$ , $B(1,-3)$ ,…
מרובע בר חסימה בתוך משולש: דמיון, יחס צלעות ושטח (שאלת ביניים · קשה)
במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD=2DC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך שהמרובע $ABDE$ הוא בר חסימה במעגל.
מקבילית החסומה במעגל היא מלבן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מקבילית $ABCD$ , וכל קודקודיה נמצאים על מעגל אחד.
מרובע חסום ונקודה חיצונית: דמיון משולשים ושטחים (שאלת ביניים · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 5. המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,-3)$ , $B(0,-5)$ ,…
זווית במרובע חסום מזווית של משולש דומה (צ.צ.צ) (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $AB=4$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ, $AC=8$ ס"מ. נתון גם משולש $KLM$ שבו $KL=6$ ס"מ, $LM=9$ ס"מ, $KM=12$ ס"מ (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ .
מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 5
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו איור).
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: קוטר, משוואת מעגל, שטח וזוויות · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle A=\angle C$ .
מעגל במערכת צירים: משולש חסום, משפט הסינוסים ומרובע חסום · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,3)$ , $B(3,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-2)^2+(y+2)^2=100$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-8,-2)$ , $B(8,-10)$ , $E(0,14)$ ,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים וישרים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר שעובר דרך $A$ חותך את המעגל השמאלי בנקודה $C$ ואת המעגל הימני בנקודה…
שני מעגלים נחתכים: הוכחת מקבילות בעזרת מרובעים חסומים (שאלה קצרה · קשה)
שני מעגלים נחתכים בנקודות K ו-L. ישר העובר דרך K חותך את המעגל השמאלי בנקודה A ואת המעגל הימני בנקודה B. ישר…
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר…
מעגל החותך שתי צלעות של משולש: זווית חיצונית, דמיון, אורכים וחוצה זווית (שאלה מלאה · קלה)
במשולש $ACE$ נתון: $AC=8$ , $AE=10$ , $CE=9$ . מעגל עובר דרך הקודקודים $A$ ו- $E$ , חותך את הצלע $CE$ בנקודה $B$ …
מיתרים שווים וזוויות היקפיות: אלכסון שחוצה זווית (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ונתון $AB=AD$ (ראו סרטוט).
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע…
מרובע חסום והמשכי צלעות: דמיון דרך זווית חיצונית (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. המשכי הצלעות $AB$ ו- $DC$ נפגשים בנקודה $P$ , כמתואר בסרטוט.
משולש שווה-שוקיים: אנכים מאמצעי חצאי הבסיס, מלבן ודלתון (שאלה מלאה · קלה)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABC, $BA=BC$ , ו-BM הוא הגובה לבסיס AC. הנקודה L היא אמצע הקטע AM,…