שאלות פתוחות: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ושוות זו לזו, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות שני מיתרים נחתכים בתוך מעגל, ומוצאים זוויות או מוכיחים דמיון משולשים כדי לחשב אורכי קטעים. יש שאלות על משולש חסום שבו המשך הגובה חותך את המעגל, על מרובע חסום, ושאלות במערכת צירים עם משוואת מעגל ונקודות החיתוך שלו עם ציר ה-y. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומהשאלות אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

36 שאלותקלה: 7בינונית: 22קשה: 7

שאלה 1 · זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזושאלה קצרה · קלה

הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות לפי סדר זה על מעגל, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABD=30∘\angle ABD=30^\circ∠ABD=30∘, ∠BDC=42∘\angle BDC=42^\circ∠BDC=42∘.
ABCDE

מצאו את גודל הזווית ∠AED\angle AED∠AED.

שאלה 2 · זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזושאלה קצרה · בינונית

המיתרים ACACAC ו-BDBDBD של מעגל נחתכים בנקודה EEE. נתון: AE=4AE=4AE=4 ס"מ, BE=6BE=6BE=6 ס"מ, CE=9CE=9CE=9 ס"מ, AB=5AB=5AB=5 ס"מ.

א.

מצאו את אורך המיתר DCDCDC.

ב.

מצאו את אורך המיתר BDBDBD.

שאלה 3 · מיתרים נחתכים: יחס שטחים כפונקציה של זוויתשאלה מלאה · קשה

במעגל שמשוואתו (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25(x−4)2+(y+3)2=25 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על הקשת שמימין לציר ה-yyy, כמתואר באיור. נסמן ∠CAD=α\angle CAD=\alpha∠CAD=α.
ABCDExy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

הוכיחו כי △ABE∼△DCE\triangle ABE\sim\triangle DCE△ABE∼△DCE, והביעו באמצעות α\alphaα את היחס SABESDCE\frac{S_{ABE}}{S_{DCE}}SDCE​SABE​​.

ג.

מצאו את α\alphaα (זווית חדה) שבעבורה המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE חופפים.

ד.

האם ייתכן ששטח המשולש DCEDCEDCE יהיה גדול פי 4 משטח המשולש ABEABEABE? נמקו.

שאלה 4 · מרובע חסום במעגל: קוטר וזוויות היקפיותשאלה מלאה · קלה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD.
ABCD

א.

הוכיחו כי ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ∠BAD=90∘, והסיקו ש-BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

נתון: A(1,−1)A(1,-1)A(1,−1), D(−3,−1)D(-3,-1)D(−3,−1), B(1,5)B(1,5)B(1,5).

מצאו את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ג.

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

הנקודה C(−4,4)C(-4,4)C(−4,4) נמצאת על המעגל. העבירו את האלכסון ACACAC.

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

שאלה 5 · זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזושאלה קצרה · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל, ובו ∠ABC=48∘\angle ABC=48^\circ∠ABC=48∘ ו-∠ACB=72∘\angle ACB=72^\circ∠ACB=72∘. ADADAD הוא הגובה לצלע BCBCBC, והמשכו חותך את המעגל בנקודה FFF, כמתואר בסרטוט.
ABCFD

מצאו את גודל הזווית ∠ABF\angle ABF∠ABF.

שאלה 6 · מעגל דרך ראשית הצירים: מזווית נתונה לשיעורי הנקודותשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: AAA, CCC ו-OOO. OOO היא ראשית הצירים.
המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA. הנקודה BBB נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה-xxx. הקטע CBCBCB חותך את המעגל בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: ∠EOB=∠EBO\angle EOB=\angle EBO∠EOB=∠EBO.
OACBE

א.

הוכיחו: AC=ABAC=ABAC=AB.

ב.

הוכיחו כי בכל מעגל ובכל מיקום של הנקודות המתאים לנתונים מתקיים ∠EOB<45∘\angle EOB<45^\circ∠EOB<45∘.

ג.

נתון: A(6,0)A(6,0)A(6,0), tan⁡∠EOB=13\tan\angle EOB=\frac13tan∠EOB=31​.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC ואת משוואת המעגל.

ד.

הוכיחו כי EEE היא אמצע הקטע CBCBCB, ומצאו פי כמה גדול שטח המשולש COBCOBCOB משטח המשולש EOBEOBEOB.

שאלה 7 · מיתרים נחתכים במעגל: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

במעגל שמשוואתו (x−8)2+(y−1)2=100(x-8)^2+(y-1)^2=100(x−8)2+(y−1)2=100 המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נפגשים בנקודה EEE. הנקודות AAA ו-BBB הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy (BBB מעל AAA), כמתואר באיור.
ABCDExy

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC∠BAC=∠BDC.

(2)

הוכיחו כי המשולשים ABEABEABE ו-DCEDCEDCE דומים.

ב.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ד.

העבירו מיתר ADADAD. נתון: ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘.

המעגל חוסם את המשולש ACDACDACD. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ACDACDACD וחשבו את אורך המיתר CDCDCD.

ה.

מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABEABEABE למשולש DCEDCEDCE, ואת היחס בין שטחיהם.

שאלה 8 · זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזושאלה קצרה · בינונית

הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות על מעגל בסדר זה, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE. נתון: AB=BCAB=BCAB=BC.

הוכיחו כי ∠AEB=∠BAD\angle AEB=\angle BAD∠AEB=∠BAD.

שאלה 9 · זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזושאלה קצרה · קשה

הנקודות AAA, BBB, CCC ו-DDD נמצאות על מעגל. המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: AB=AEAB=AEAB=AE.
ABCDE

הוכיחו: DC=DEDC=DEDC=DE.

שאלה 10 · מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגלשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: AAA, CCC ו-OOO. OOO היא ראשית הצירים.
המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA. הנקודה BBB נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה-xxx. הקטע CBCBCB חותך את המעגל בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: ∠EOB=∠EBO\angle EOB=\angle EBO∠EOB=∠EBO.
OACBE

א.

הסבירו מדוע ∠EOA=∠ECA\angle EOA=\angle ECA∠EOA=∠ECA.

ב.

הוכיחו: AC=ABAC=ABAC=AB.

ג.

נתון: A(8,0)A(8,0)A(8,0), C(0,15)C(0,15)C(0,15).

מצאו את אורך הקטע ACACAC ואת שיעורי הנקודה BBB.

ד.

הסבירו מדוע ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את משוואת המעגל.

ה.

נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה EEE הוא 12.5.

מצאו את משוואת הישר CBCBCB ואת שיעור ה-yyy של הנקודה EEE, וחשבו את גודל הזווית EOBEOBEOB.

עוד 17 שאלות על זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו (שאלה קצרה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הראשון חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $A$ ( $B$ בין $P$ ל- $A$ ), והשני בנקודות $D$ ו- $C$ ( $D$ בין $P$ …
מעגל משיק לציר: זווית היקפית קבועה ושטח מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
מעגל עובר דרך הנקודות $A(8,-3)$ ו- $B(8,5)$ ומשיק לציר ה- $y$ . מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה- $y$ .
מעגל במערכת צירים: קוטר, משוואת מעגל וחפיפה (שאלה מלאה · קלה)
מעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A(0,15)$ ו- $D(0,7)$ . המיתר $BD$ מקביל לציר ה- $x$ , והנקודה $B$ היא $(-16,7)$ . המיתר $AC$ חותך את $BD$ בנקודה…
מרובע חסום במעגל במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
זוויות היקפיות ומשולש שווה שוקיים במערכת צירים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ .…
זווית בין מיתרים נחתכים מזוויות היקפיות (שאלה קצרה · קלה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות לפי סדר זה על מעגל, והמיתרים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABD=30^\circ$ ,…
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $KLMN$ חסום במעגל. נתון: $K(1,1)$ , $L(7,1)$ , $M(8,8)$ , $N(1,9)$ .
מיתר שווה לצלע: זווית ומשולש שווה צלעות (שאלת ביניים · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=70^\circ$ , $\angle ACB=50^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקשת $AC$ שאינה מכילה את $B$ , כך ש- $CD=CB$ .
מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
שני גבהים במשולש חד-זווית ומעגל שקוטרו צלע (שאלת ביניים · קשה)
במשולש חד-זווית $ABC$ הקטע $BE$ הוא הגובה לצלע $AC$ ( $E$ על $AC$ ), והקטע $CF$ הוא הגובה לצלע $AB$ ( $F$ על $AB$ ). הנקודה $M$ היא אמצע הצלע…
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ נמצאות על מעגל, והמיתרים $PR$ ו- $QS$ נפגשים בנקודה $T$ .
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ .…
מעגל במערכת צירים: קוטר, זוויות היקפיות, חפיפה ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט. $AC$ ו- $BD$ הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה $E$ . נתון כי המיתר…
המשך הגובה במשולש חסום: זווית בעזרת זוויות היקפיות (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל, ובו $\angle ABC=48^\circ$ ו- $\angle ACB=72^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והמשכו חותך את המעגל בנקודה $F$ ,…
מיתרים נחתכים: משולשים דומים ויחס שטחים (שאלת ביניים · בינונית)
המיתרים $AC$ ו- $BD$ של מעגל נפגשים בנקודה $E$ . הנקודות $A(0,-5)$ ו- $B(0,7)$ הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- $y$ , ואורך המיתר $DC$ הוא 10,…
קשתות שוות, מיתרים נחתכים ומיתרים מקבילים (שאלת ביניים · בינונית)
על מעגל נתונות הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ לפי סדר זה. המיתרים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ . נתון: $\angle APD=100^\circ$ , והקשת $AB$ שווה…
זוויות היקפיות על אותה קשת ודמיון לפי צ.ז.צ (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ ו- $D$ נמצאות על מעגל, והנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות באותו צד של המיתר $AB$ . הנקודה $K$ נמצאת על המיתר $DA$ . נתון: $CA=6$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ .
מיתרים נחתכים במעגל: דמיון, משוואת מעגל ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $E$ , כמתואר באיור.
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת מחוץ…
מעגל במערכת צירים: קוטר, זוויות היקפיות, חפיפה ומשוואת המעגל · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט. $AC$ ו- $BD$ הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה $E$ . נתון כי המיתר $BD$ מקביל לציר…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים וישרים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר שעובר דרך $A$ חותך את המעגל השמאלי בנקודה $C$ ואת המעגל הימני בנקודה…
מרובע בר חסימה משתי זוויות ישרות וזוויות היקפיות שוות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. הנקודה $D$ נמצאת על הניצב $AC$ , ו- $E$ היא עקב האנך מ- $D$ ליתר $AB$ .
משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) החסום במעגל, ו- $\angle BAC=40^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
מיתרים נחתכים: דמיון משולשים וחישוב אורכים (שאלה קצרה · בינונית)
המיתרים AC ו-BD במעגל נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).