שאלות פתוחות: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על זווית היקפית ששווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, לכיתה י"א 4 יחידות. יש שאלות הוכחה שבהן מעבירים קוטר ומראים את הקשר בין הזוויות, ושאלות חישוב במשולש החסום במעגל כשנתונות זוויות בין רדיוסים לצלעות. בחלק מהשאלות הזווית ההיקפית קהה או שהמרכז נמצא מחוץ לזווית, ויש גם שאלות במערכת צירים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

44 שאלותקלה: 10בינונית: 27קשה: 7

שאלה 1 · זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשתשאלה קצרה · קלה

במעגל שמרכזו OOO הנקודות AAA, BBB, CCC נמצאות על המעגל, והמרכז OOO נמצא בתוך הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB∠ACB. מעבירים את הקוטר CDCDCD.

א.

הוכיחו כי ∠AOD=2∠ACO\angle AOD=2\angle ACO∠AOD=2∠ACO.

ב.

הוכיחו כי ∠AOB=2∠ACB\angle AOB=2\angle ACB∠AOB=2∠ACB.

שאלה 2 · זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשתשאלה קצרה · בינונית

במעגל שמרכזו OOO נתון מיתר ABABAB שאינו קוטר, ו-∠OAB=β\angle OAB=\beta∠OAB=β. הנקודה CCC נמצאת על הקשת הקטנה ABABAB.

א.

הביעו באמצעות β\betaβ את גודל הזווית ∠ACB\angle ACB∠ACB.

ב.

נתון כי ∠ACB=4∠OAB\angle ACB=4\angle OAB∠ACB=4∠OAB. מצאו את β\betaβ ואת ∠AOB\angle AOB∠AOB.

שאלה 3 · מיתרים שווים במעגל: מיחס השטחים לזווית ולמיתרשאלה מלאה · קשה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x−1)2+(y−6)2=20(x-1)^2+(y-6)^2=20(x−1)2+(y−6)2=20 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. המיתר BCBCBC מקביל לציר ה-xxx ונמצא מתחת ל-MMM (BBB משמאל ל-CCC). נתון: שטח המשולש AMCAMCAMC גדול פי 1.5 משטח המשולש ABCABCABC.
MABCxy

א.

הוכיחו: MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC.

ב.

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC.

ד.

מצאו את כל הערכים של הזווית BACBACBAC שעבורם שטח המשולש AMCAMCAMC גדול משטח המשולש ABCABCABC (כש-AB=BCAB=BCAB=BC ו-MMM ו-BBB משני צדי ACACAC).

שאלה 4 · זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשתשאלה קצרה · קלה

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 666 ס"מ, ונתון ∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ∠BAC=60∘. הנקודה DDD נמצאת על הקשת BCBCBC שאינה מכילה את AAA, כך ש-BD=DCBD=DCBD=DC.

א.

מצאו את אורך המיתר BDBDBD.

ב.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

שאלה 5 · זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשתשאלה קצרה · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO, והזווית ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α קהה.

הביעו באמצעות α\alphaα את גודל הזווית ∠OBC\angle OBC∠OBC.

שאלה 6 · מיתר אופקי משתנה במעגל: זווית הראש של משולש חסוםשאלה מלאה · קשה

נתון המעגל (x+2)2+(y−1)2=36(x+2)^2+(y-1)^2=36(x+2)2+(y−1)2=36 שמרכזו MMM. משולש ABCABCABC חסום במעגל. הצלע ABABAB מונחת על הישר y=ky=ky=k, והיא נמצאת מתחת למרכז המעגל (−5<k<1-5<k<1−5<k<1). CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB, והוא עובר דרך MMM (AAA משמאל ל-BBB).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי AAA ו-BBB ואת אורך הגובה CDCDCD.

ב.

נתון כי שטח המשולש ACMACMACM גדול פי 3 משטח המשולש ADMADMADM. מצאו את kkk, וחשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש ABCABCABC שווה צלעות.

ד.

לאילו ערכים של kkk הזווית ACBACBACB גדולה מ-60∘60^\circ60∘?

שאלה 7 · זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשתשאלה קצרה · קלה

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שמרכזו OOO, והמרכז OOO נמצא בתוך המשולש. נתון: ∠OAB=35∘\angle OAB=35^\circ∠OAB=35∘, ∠OAC=25∘\angle OAC=25^\circ∠OAC=25∘.

מצאו את זוויות המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במעגל שמרכזו MMM המיתרים ABABAB ו-BCBCBC שווים (ראו סרטוט).
MABCxy

א.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ב.

משוואת המעגל היא: (x−1)2+(y−4)2=29(x-1)^2+(y-4)^2=29(x−1)2+(y−4)2=29.
נתון: C(3,−1)C(3,-1)C(3,−1), הישר BCBCBC מקביל לציר ה-xxx.

(1)

מצאו את משוואת הישר BCBCBC.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה BBB, ואת אורך המיתר BCBCBC.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית BACBACBAC במשולש ABCABCABC החסום במעגל.

(2)

חשבו פי כמה גדול שטח המשולש AMCAMCAMC משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 9 · משולש חסום במעגל: שני מקומות אפשריים לקודקודשאלה מלאה · קשה

במעגל שמרכזו OOO העבירו מיתר ABABAB שאורכו 24 ס"מ. MMM היא נקודה על המיתר כך ש-OM⊥ABOM\perp ABOM⊥AB, ו-OM=5OM=5OM=5 ס"מ.
CCC היא נקודה על המעגל (שונה מ-AAA ומ-BBB), כך ש-AC=14AC=14AC=14 ס"מ.
OABM

א.

מצאו את הרדיוס של המעגל.

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את שטח המשולש ABCABCABC בכל אחד מהמקרים.

שאלה 10 · מיתרים שווים במעגל: זווית היקפית ויחס שטחים בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25(x+1)2+(y−2)2=25 שמרכזו MMM, כך ש-AB=BCAB=BCAB=BC. הנקודות BBB ו-CCC נמצאות על הישר y=−2y=-2y=−2 (BBB משמאל ל-CCC).
MABCxy

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC, ואת אורך המיתר BCBCBC.

ב.

הוכיחו: MBMBMB חוצה זווית AMCAMCAMC.

ג.

הראו כי cos⁡∠MBC=0.6\cos\angle MBC=0.6cos∠MBC=0.6, וחשבו את הזוויות BMCBMCBMC ו-BACBACBAC.

ד.

NNN היא נקודת המפגש של MBMBMB ו-ACACAC. הסבירו מדוע MB⊥ACMB\perp ACMB⊥AC, וחשבו את BNBNBN ואת MNMNMN.

ה.

חשבו את היחס בין שטח המשולש AMCAMCAMC לשטח המשולש ABCABCABC.

עוד 26 שאלות על זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5 העבירו מיתר $PQ$ שאורכו 8. הנקודה $R$ נמצאת על הקשת הגדולה $PQ$ , והנקודה $T$ נמצאת על הקשת הקטנה $PQ$ .
זווית היקפית קהה: הבעת זווית בין צלע לרדיוס (שאלה קצרה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , והזווית $\angle BAC=\alpha$ קהה.
מעגל חוסם מרובע: קוטר וזווית היקפית (שאלה מלאה · קלה)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . נתון: $\angle ABC=90^\circ$ , $A(2,3)$ , $C(-2,-7)$ . הקודקודים $B$ ו- $D$ נמצאים על ציר ה- $x$ (ראו ציור).
מרובע חסום במעגל במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
מיתרים שווים ויחס שטחים: מציאת זווית היקפית (שאלת ביניים · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו $r$ , כך ש- $AB=BC$ . הנקודות $M$ ו- $B$ נמצאות משני צדי המיתר $AC$ . נתון: שטח המשולש…
משולש חסום במעגל: זווית מרכזית, רדיוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ שמרכזו $M$ . הנקודות $K(4,6)$ , $L(5,-1)$ ו- $P(6,2)$ נמצאות על המעגל, ו- $P$ נמצאת על הקשת הקטנה $KL$ .
מיתרים מקבילים שזוויות היקפיות שוות נשענות עליהם: מרחק (שאלה קצרה · קשה)
במעגל שרדיוסו $5$ ס"מ, $AB$ ו- $CD$ הם מיתרים מקבילים הנמצאים משני צדי מרכז המעגל. הנקודות $P$ ו- $Q$ נמצאות על המעגל, ונתון:…
זווית מרכזית מתוך זווית היקפית במשולש חד-זווית (שאלה קצרה · קלה)
משולש חד-זווית $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . נתון: $\angle ABC=65^\circ$ .
משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
אמצע קשת במשולש שווה שוקיים חסום (שאלה קצרה · קשה)
בשרטוט, המשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) חסום במעגל, ו- $\angle BAC=\alpha$ . הנקודה $D$ היא אמצע הקשת $AB$ שאינה מכילה את $C$ .
שלוש זוויות היקפיות שוות: מידת קשת (שאלה קצרה · קלה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ נמצאות על מעגל בסדר זה. נתון: $\angle BAC=\angle CAD=\angle DAE=25^\circ$ .
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A(-4,3)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,-5)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ שמרכזו $M$ בראשית הצירים.
שלוש קשתות שוות וזווית היקפית במשולש (שאלה קצרה · קלה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על מעגל בסדר זה, והקשתות $AB$ , $BC$ , $CD$ (שבין כל שתי נקודות סמוכות) שוות זו לזו. נתון:…
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,2)$ , $B(1,-3)$ ,…
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A(-8,4)$ , $B(-6,8)$ , $C(0,10)$ נמצאות על המעגל $(x+1)^2+(y-3)^2=50$ שמרכזו $O$ .
מעגל חוסם משולש: אנכים אמצעיים, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(6,-6)$ , $B(6,8)$ , $C(0,6)$ .
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
משולש חד-זווית $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 6. נתון: $\angle ABC=65^\circ$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ נתון מיתר $PQ$ . $K$ היא נקודה על המיתר כך ש- $OK\perp PQ$ , ו- $\angle POK=35^\circ$ . $N$ היא נקודה על הקשת הגדולה $PQ$ .
זווית היקפית מתוך אורך מיתר ורדיוס (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5 העבירו מיתר $PQ$ שאורכו 8. הנקודה $R$ נמצאת על הקשת הגדולה $PQ$ .
האנך מהמרכז למיתר והזווית ההיקפית: רדיוס ואורך צלע (שאלת ביניים · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
זוויות היקפיות שוות: מיתרים שווים ואורך מיתר (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ נתונים המיתרים $AB$ ו- $CD$ . הנקודה $P$ נמצאת על הקשת הגדולה $AB$ , והנקודה $Q$ נמצאת על הקשת הגדולה $CD$ . נתון:…
מיתרים שווים: כל הזוויות ההיקפיות על המיתר השני (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל, המיתרים $AB$ ו- $CD$ שווים זה לזה. הנקודה $P$ נמצאת על הקשת הגדולה $AB$ , ונתון $\angle APB=50^\circ$ . הנקודה $R$ נמצאת על המעגל, והיא…
שתי זוויות ישרות מול אלכסון: אורך האלכסון השני (שאלה קצרה · בינונית)
במרובע הקמור $ABCD$ נתון: $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ , $\angle BAD=30^\circ$ , והאלכסון $AC=10$ ס"מ.
משולשים חסומים שצלעותיהם פרופורציונליות (צ.צ.צ): זוויות מרכזיות ורדיוסים (שאלת ביניים · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ , והמשולש $DEF$ חסום במעגל שמרכזו $Q$ . נתון: $AB=4$ , $BC=5$ , $CA=6$ , $DE=6$ , $EF=7.5$ , $FD=9$ (ס"מ).…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מיתרים שווים במעגל: חוצה זווית, זווית היקפית ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ המיתרים $AB$ ו- $BC$ שווים (ראו סרטוט).
מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . $CD$ הוא הגובה לצלע $AB$ . ידוע כי $CD$ עובר דרך מרכז המעגל.
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: זווית היקפית, שטח ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שמשוואתו $(x-2)^2+(y+2)^2=100$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-8,-2)$ , $B(8,-10)$ , $E(0,14)$ ,…
מעגל חוסם משולש: אנכים אמצעיים, זווית ושטח · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(7,-5)$ , $B(7,3)$ , $C(0,2)$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זווית בין משיק למיתר וזווית מרכזית (שאלה קצרה · קלה)
AB הוא מיתר במעגל שמרכזו O. BT משיק למעגל בנקודה B, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABT=35^\circ$ .
חוצה זווית מרכזית מקביל למיתר (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל, כך ש- $OD$ חוצה את הזווית $AOC$ .