שאלות פתוחות: זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט ההפוך: זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מסיקים שצלע במשולש או אלכסון במרובע היא קוטר המעגל, למשל במרובע שבו שתי זוויות נגדיות ישרות, ומחשבים ממנו רדיוס ואורכים. יש שאלות במערכת צירים שבהן מוצאים את משוואת המעגל מתוך קדקודי מרובע חסום, ושאלה על המקום הגאומטרי של אמצעי מיתרים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

49 שאלותקלה: 14בינונית: 22קשה: 13

שאלה 1 · זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטרשאלה קצרה · קלה

נתון מעגל שרדיוסו 555 ס"מ. במשולש ABCABCABC נתון: AB=10AB=10AB=10 ס"מ, AC=7AC=7AC=7 ס"מ.

א.

האם ייתכן שהמשולש ABCABCABC חסום במעגל הנתון, אם BC=8BC=8BC=8 ס"מ? אם כן - הראו זאת; אם לא - נמקו מדוע.

ב.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC שעבורו המשולש ABCABCABC חסום במעגל הנתון.

שאלה 2 · זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטרשאלה קצרה · בינונית

במרובע הקמור ABCDABCDABCD נתון: ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ∠ABC=∠ADC=90∘, ∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ∠BAD=30∘, והאלכסון AC=10AC=10AC=10 ס"מ.

מצאו את אורך האלכסון BDBDBD.

שאלה 3 · זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטרשאלה קצרה · קשה

הנקודה PPP היא נקודה קבועה בתוך מעגל שמרכזו OOO, ו-OP=6OP=6OP=6 ס"מ. דרך PPP מעבירים מיתרים שונים, ו-MMM היא אמצע כל מיתר כזה.

הוכיחו כי כל הנקודות MMM נמצאות על מעגל אחד, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

שאלה 4 · מרובע חסום במעגל: קוטר וזוויות היקפיותשאלה מלאה · קלה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD.
ABCD

א.

הוכיחו כי ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ∠BAD=90∘, והסיקו ש-BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

נתון: A(1,−1)A(1,-1)A(1,−1), D(−3,−1)D(-3,-1)D(−3,−1), B(1,5)B(1,5)B(1,5).

מצאו את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ג.

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

הנקודה C(−4,4)C(-4,4)C(−4,4) נמצאת על המעגל. העבירו את האלכסון ACACAC.

חשבו את גודל הזווית ACBACBACB.

שאלה 5 · מרובע חסום במעגל במערכת ציריםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC.
ABCD

א.

הוכיחו: ACACAC הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: C(6,−2)C(6,-2)C(6,−2), D(6,4)D(6,4)D(6,4), B(2,−4)B(2,-4)B(2,−4).

(1)

הסבירו מדוע ADADAD מקביל לציר ה-xxx.

(2)

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

(3)

חשבו את שיעורי הנקודה AAA.

(4)

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

העבירו את האלכסון BDBDBD במרובע ABCDABCDABCD.

חשבו את גודל הזווית DBCDBCDBC.

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל: משיק ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD∠BAD=∠BCD, A(6,−1)A(6,-1)A(6,−1), D(0,−1)D(0,-1)D(0,−1), C(1,4)C(1,4)C(1,4).
ABCD

א.

הוכיחו כי BDBDBD קוטר במעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB ואת משוואת המעגל.

ג.

המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את הישר ABABAB בנקודה PPP. מצאו את שיעורי PPP.

ד.

מצאו את כל הנקודות KKK על המעגל, שונות מ-CCC, שבעבורן שטח המשולש BDKBDKBDK שווה לשטח המשולש BDCBDCBDC.

שאלה 7 · מעגל חוסם מרובע: קוטר וזווית היקפיתשאלה מלאה · קלה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM. נתון: ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘, A(2,3)A(2,3)A(2,3), C(−2,−7)C(-2,-7)C(−2,−7). הקודקודים BBB ו-DDD נמצאים על ציר ה-xxx (ראו ציור).
ABCDMxy

א.

הסבירו מדוע ACACAC קוטר במעגל.

ב.

מצאו את שיעורי המרכז MMM, את הרדיוס ואת משוואת המעגל.

ג.

חשבו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD.

ד.

(1)

הראו כי MA⊥MDMA\perp MDMA⊥MD.

(2)

חשבו את גודל הזווית ABDABDABD.

שאלה 8 · זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטרשאלה קצרה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠BAC+∠BCA\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA∠ABC=∠BAC+∠BCA.

א.

הוכיחו כי ACACAC קוטר במעגל.

ב.

נתון: AB=5AB=5AB=5, BC=12BC=12BC=12. מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 9 · מרובע חסום במעגל: יחס שטחים ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC, A(−4,−8)A(-4,-8)A(−4,−8), C(2,2)C(2,2)C(2,2). הקודקודים BBB ו-DDD נמצאים על ציר ה-xxx (ראו ציור).
ABCDxy

א.

מצאו את משוואת המעגל. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD.

ג.

מצאו את היחס SABDSCBD\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}SCBD​SABD​​.

ד.

הנקודה PPP נעה על המעגל. מצאו את שיעורי הנקודות PPP שבעבורן שטח המשולש APCAPCAPC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 10 · מרובע חסום במעגל: מזווית ישרה לקוטר ולחיתוך ישר ומעגלשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠A=∠C\angle A=\angle C∠A=∠C.
ABCD

א.

(1)

הראו כי ∠A=∠C=90∘\angle A=\angle C=90^\circ∠A=∠C=90∘.

(2)

הסבירו מדוע BDBDBD הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: B(0,10)B(0,10)B(0,10), D(0,0)D(0,0)D(0,0).

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

נתון כי שיפוע הצלע BCBCBC הוא −13-\frac13−31​.

(1)

מצאו את שיפוע הצלע DCDCDC ואת משוואתה. נמקו.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ד.

חשבו את שטח המשולש BCDBCDBCD.

ה.

חשבו את גודל הזווית DBCDBCDBC.

עוד 23 שאלות על זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
מרובע חסום במעגל עם שיפוע כפרמטר: שטח ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle A=\angle C$ , $B(0,10)$ , $D(0,0)$ . הקודקוד $C$ נמצא ברביע הראשון.
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ .…
מרובע חסום במעגל: קוטר אופקי, חיתוך ישר ומעגל וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle B=\angle D$ .
מעגל דרך ראשית הצירים: מזווית נתונה לשיעורי הנקודות (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ .…
מעגל המשיק לציר ה-x: דלתון ומעגל חוסם (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. הישר $4x+3y=24$ …
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ .…
דלתון חסום במעגל: מציאת קודקודים ומעגל (שאלה מלאה · קשה)
נתון דלתון $ABCD$ ( $CB=CD$ , $AB=AD$ ) החסום במעגל. נתון: $A(2,11)$ , $C(12,1)$ . הקודקוד $D$ מונח על ציר ה- $y$ , ושיעור ה- $y$ שלו גדול מ-6 (ראו…
מעגל במערכת צירים: קוטר, משוואת מעגל וחפיפה (שאלה מלאה · קלה)
מעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A(0,15)$ ו- $D(0,7)$ . המיתר $BD$ מקביל לציר ה- $x$ , והנקודה $B$ היא $(-16,7)$ . המיתר $AC$ חותך את $BD$ בנקודה…
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ ,…
משיק מנקודה משתנה על ציר ה-x (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל משיק לציר ה- $x$ בראשית הצירים $O$ . הנקודה $B(t,0)$ נמצאת על החלק…
מעגל החוסם משולש ישר זווית: משוואת המעגל והמשיק (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(0,1)$ , $B(3,0)$ , $C(6,9)$ . דרך שלושת הקודקודים עובר מעגל. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את ציר ה- $x$ …
מעגל במערכת צירים: קוטר, זוויות היקפיות, חפיפה ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט. $AC$ ו- $BD$ הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה $E$ . נתון כי המיתר…
מעגל במערכת צירים: מהמשוואה לנקודות, חפיפה ושטח משולש (שאלה מלאה · קשה)
המעגל $(x+6)^2+(y-8)^2=45$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ ( $A$ מעל $D$ ). המיתר $BD$ מקביל לציר ה- $x$ . המיתר $AC$ חותך את $BD$ בנקודה…
משולש ישר זווית במעגל: מהשיפועים למשוואת המעגל (שאלה מלאה · קלה)
נתון משולש $ABC$ שקודקודיו $A(-1,1)$ , $B(1,5)$ , $C(9,1)$ . המעגל החוסם את המשולש מתואר בסרטוט.
זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל עובר בראשית הצירים $O$ , חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $P(8,0)$ ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה $Q(0,6)$ .
דלתון במערכת צירים: קודקוד מתוך שטח וזווית ישרה על אלכסון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון קמור $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני, והצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,12)$ , $A(-6,4)$ ,…
זווית במשולש השווה לסכום שתי האחרות (שאלה קצרה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA$ .
שתי זוויות ישרות מול אלכסון: אורך האלכסון השני (שאלה קצרה · בינונית)
במרובע הקמור $ABCD$ נתון: $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ , $\angle BAD=30^\circ$ , והאלכסון $AC=10$ ס"מ.
המקום הגאומטרי של אמצעי מיתרים דרך נקודה (שאלה קצרה · קשה)
הנקודה $P$ היא נקודה קבועה בתוך מעגל שמרכזו $O$ , ו- $OP=6$ ס"מ. דרך $P$ מעבירים מיתרים שונים, ו- $M$ היא אמצע כל מיתר כזה.
זווית ישרה במערכת צירים: הקוטר, המרכז והריבוע (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(-1,3)$ , $B(3,5)$ ו- $C(5,1)$ . מעגל עובר דרך שלוש הנקודות.
שני גבהים במשולש חד-זווית ומעגל שקוטרו צלע (שאלת ביניים · קשה)
במשולש חד-זווית $ABC$ הקטע $BE$ הוא הגובה לצלע $AC$ ( $E$ על $AC$ ), והקטע $CF$ הוא הגובה לצלע $AB$ ( $F$ על $AB$ ). הנקודה $M$ היא אמצע הצלע…
גבהים שווים במשולש: מעגל על הצלע כקוטר וחפיפה לפי צ.צ.ז (שאלת ביניים · קשה)
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא הגובה לצלע $AC$ ו- $CE$ הוא הגובה לצלע $AB$ ( $D$ על $AC$ , $E$ על $AB$ ). נתון: $BD=CE$ . $M$ היא אמצע הצלע $BC$ (ראו…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ .
מרובע חסום במעגל במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
מרובע $ABCD$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle ADC$ .
מרובע חסום במעגל במערכת צירים: קוטר, משוואת מעגל, שטח וזוויות · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
המרובע $ABCD$ שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: $\angle A=\angle C$ .
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת מחוץ…
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. דרך…
מעגל במערכת צירים: קוטר, זוויות היקפיות, חפיפה ומשוואת המעגל · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט. $AC$ ו- $BD$ הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה $E$ . נתון כי המיתר $BD$ מקביל לציר…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (10)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול,…
גבהים במשולש: שני מרובעים ברי-חסימה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש חד-זווית $ABC$ הגבהים $BE$ ( $E$ על $AC$ ) ו- $CF$ ( $F$ על $AB$ ) נחתכים בנקודה $H$ .
מרובע בר חסימה במשולש ישר-זווית וקוטר המעגל (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ : $\angle ACB=90^\circ$ , $AC=6$ , $BC=8$ . הנקודה $D$ היא אמצע היתר $AB$ . האנך ליתר בנקודה $D$ חותך…
מעגל חוסם משולש ישר-זווית: זווית מיחס אורכים (שאלה קצרה · קלה)
משולש PQS, שבו $\angle PQS=90^\circ$ , חסום במעגל שרדיוסו $r$ . נתון: $PQ=p$ , $\angle QPS=\theta$ .
שני גבהים במשולש שווה-שוקיים: מעגל שהבסיס קוטרו (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ נתון: $AB=AC=9$ , $\angle BAC=40^\circ$ . $BD$ הוא הגובה לשוק $AC$ , ו- $CE$ הוא הגובה…
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר…
מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחים (שאלה מלאה · קלה)
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ מאונך לאלכסון $BD$ וחותך אותו בנקודה $F$ . נתון: $AD=9$ ,…
משיק ורדיוס: המעגל העובר דרך נקודת המשיק, נקודת ההשקה והמרכז (שאלה קצרה · קלה)
KA משיק בנקודה A למעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. נתון: $KA=8$ .
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…