שאלות פתוחות: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על המשפט שזווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות משתמשים בזווית הישרה כדי לחשב צלעות במשולש החסום בחצי מעגל, בעזרת פיתגורס או טריגונומטריה, ולמשל לחשב את אורך הגובה ליתר. יש שאלות על שני מעגלים נחתכים שבכל אחד מהם קוטר, שאלות הוכחה עם המשכי מיתרים, ושאלות במערכת צירים עם מעגל שמשיק לציר ה-y. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ואפשר להרכיב מהשאלות מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

50 שאלותקלה: 12בינונית: 26קשה: 12

שאלה 1 · זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרהשאלה קצרה · קלה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR. הנקודה CCC נמצאת על המעגל כך ש-∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 2 · זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרהשאלה קצרה · בינונית

במעגל שרדיוסו 6.56.56.5 ס"מ, הקטע ABABAB הוא קוטר. הנקודה CCC נמצאת על המעגל, והקטע CDCDCD מאונך ל-ABABAB (DDD על ABABAB). נתון: AD=4AD=4AD=4 ס"מ.

א.

מצאו את אורך המיתר ACACAC.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרהשאלה קצרה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות PPP ו-QQQ, ומרכזיהם נמצאים משני צדי הישר PQPQPQ. הקטע PAPAPA הוא קוטר במעגל הראשון, והקטע PBPBPB הוא קוטר במעגל השני. נתון: AQ=9AQ=9AQ=9 ס"מ, QB=16QB=16QB=16 ס"מ.

א.

מצאו את אורך הקטע ABABAB. נמקו.

ב.

נתון גם: PQ=12PQ=12PQ=12 ס"מ. מצאו את גודל הזווית ∠APB\angle APB∠APB.

שאלה 4 · זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרהשאלה קצרה · קלה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל. הנקודה CCC נמצאת על המעגל כך ש-BC=12ABBC=\frac{1}{2}ABBC=21​AB.

א.

מצאו את גודל הזווית ∠BAC\angle BAC∠BAC.

ב.

נתון גם: AC=63AC=6\sqrt{3}AC=63​ ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 5 · מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסוםשאלה מלאה · בינונית

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM. ציר ה-yyy משיק למעגל בנקודה AAA, והמעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC. ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הסבירו מדוע AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC.

ב.

נתון: A(0,−12)A(0,-12)A(0,−12), ורדיוס המעגל שווה ל-13.

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB, CCC ו-DDD.

(2)

הראו כי: AB=CDAB=CDAB=CD.

ד.

(1)

חשבו את גודל הזווית BADBADBAD.

(2)

מצאו את גודל הזווית BCDBCDBCD. נמקו.

שאלה 6 · זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרהשאלה קצרה · קשה

ABABAB קוטר במעגל, והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל באותו צד של ABABAB. המשכי המיתרים ACACAC ו-BDBDBD (מעבר ל-CCC ומעבר ל-DDD) נפגשים בנקודה PPP, והמיתרים ADADAD ו-BCBCBC נחתכים בנקודה HHH. נתון: ∠PAB=62∘\angle PAB=62^\circ∠PAB=62∘.

מצאו את גודל הזווית ∠APH\angle APH∠APH. נמקו.

שאלה 7 · מעגל המשיק לציר ה-y: זוויות במרובע החסוםשאלה מלאה · קלה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−3)A(0,-3)A(0,−3) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 5. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הרדיוס MAMAMA מאונך לציר ה-yyy. מצאו את שיעורי MMM ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC ו-DDD.

ג.

הסבירו מדוע ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ∠ABD=90∘.

ד.

חשבו את גודל הזווית BADBADBAD.

ה.

מצאו את גודל הזווית BCDBCDBCD. נמקו.

שאלה 8 · מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומיםשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו MMM. הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה AAA חותך את הישר BCBCBC בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט. נתון: ACACAC הוא קוטר במעגל.
OABCM

א.

הוכיחו: ΔABC∼ΔOAC\Delta ABC\sim\Delta OACΔABC∼ΔOAC.

ב.

נתון: OC=20OC=20OC=20, BC=2BC=2BC=2.

מצאו את אורך ACACAC.

ג.

נתון: M(9,17)M(9,17)M(9,17).

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

נתון: משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA היא: y=3xy=3xy=3x.

(1)

מצאו את משוואת הישר AMAMAM.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ה.

הישר AMAMAM חותך את ציר ה-yyy בנקודה FFF.

מצאו את גודל הזווית OFAOFAOFA.

שאלה 9 · מרובע חסום במעגל: יחס שטחים ושטח מקסימלישאלה מלאה · קשה

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC∠ABC=∠ADC, A(−4,−8)A(-4,-8)A(−4,−8), C(2,2)C(2,2)C(2,2). הקודקודים BBB ו-DDD נמצאים על ציר ה-xxx (ראו ציור).
ABCDxy

א.

מצאו את משוואת המעגל. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD.

ג.

מצאו את היחס SABDSCBD\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}SCBD​SABD​​.

ד.

הנקודה PPP נעה על המעגל. מצאו את שיעורי הנקודות PPP שבעבורן שטח המשולש APCAPCAPC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 10 · מעגל ומשיק מראשית הצירים: צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו MMM. הנקודות AAA, BBB ו-CCC נמצאות על המעגל, ו-ACACAC הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה AAA והישר BCBCBC נחתכים בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט.
OABCM

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

(2)

הסבירו מדוע ∠OAC=90∘\angle OAC=90^\circ∠OAC=90∘.

(3)

הוכיחו: ΔABC∼ΔOAC\Delta ABC\sim\Delta OACΔABC∼ΔOAC.

ב.

נתון: OC=13OC=13OC=13, BC=4BC=4BC=4.

מצאו את אורך ACACAC.

ג.

נתון: M(7,9)M(7,9)M(7,9).

מצאו את רדיוס המעגל ואת משוואת המעגל.

ד.

נתון: A(9,6)A(9,6)A(9,6).

(1)

מצאו את השיפוע של הרדיוס MAMAMA.

(2)

הראו כי משוואת המשיק למעגל בנקודה AAA היא y=23xy=\frac23xy=32​x.

עוד 27 שאלות על זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל המשיק לציר ה-x: דמיון, משוואת המעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
מעגל המשיק לציר ה-y עם פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
ציר ה- $y$ משיק בנקודה $A(0,-k)$ למעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 6, כאשר $0<k<6$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ קרובה יותר לציר…
מעגל המשיק לציר ה-y: מהזוויות הישרות לשטח (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ , והצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,4)$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B(-8,0)$ .…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, מעגל ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט.…
משיק וחותך מראשית הצירים: מהאורכים לשיעורים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל, ו- $AC$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ והישר $BC$ …
משולש חסום במעגל המשיק לציר: מהזוויות לשטח (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,12)$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B(-8,0)$ ,…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
מעגל המשיק לציר: שתי אפשרויות לנקודה B (שאלה מלאה · קשה)
מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 5 משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,4)$ , ומרכזו משמאל לציר ה- $y$ . $AC$ קוטר במעגל. המעגל חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות,…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמשוואתו $(x-4)^2+(y-3)^2=25$ ומרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך…
משולש חסום במעגל ומשיק במערכת צירים: היקף לפי יחס דמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ .…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: מיחס השטחים לנקודה (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל נמצא משמאל לציר ה- $y$ , משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C(0,9)$ וחותך את ציר…
מרובע חסום במעגל: זווית על קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · קלה)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל $x^2+y^2=25$ . המשכי הצלעות $AD$ ו- $BC$ נפגשים בנקודה $E$ (ראו ציור). נתון: $A(-4,-3)$ , $B(0,-5)$ , $C(4,3)$ ,…
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל. הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. נתון: $B(2,1)$ , $C(-6,7)$ . הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ .
מעגל במערכת צירים: מהמשוואה לנקודות, חפיפה ושטח משולש (שאלה מלאה · קשה)
המעגל $(x+6)^2+(y-8)^2=45$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $D$ ( $A$ מעל $D$ ). המיתר $BD$ מקביל לציר ה- $x$ . המיתר $AC$ חותך את $BD$ בנקודה…
ניצב שהוא חצי הקוטר (שאלה קצרה · קלה)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל כך ש- $BC=\frac{1}{2}AB$ .
משולש החסום במעגל במערכת צירים: דמיון, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך הנקודה $C$ …
משולש החסום במעגל: יחס דמיון כפרמטר והמשיק (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל, ו- $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A(0,2)$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B(4,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך…
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A(0,2)$ ו- $C(10,8)$ הן קצות קוטר במעגל. הנקודה $B$ נמצאת על המעגל ועל ציר ה- $x$ .
מעגל שמרכזו על ישר: הקוטר והמשולש הגדול ביותר (שאלה מלאה · קשה)
מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,3)$ ו- $B(3,1)$ , ומרכזו $O$ נמצא על הישר $y=2x-6$ . $AC$ הוא קוטר של המעגל.
משולש חסום במעגל שקוטרו צלע: ישרים, מרכז ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שקוטרו $AC$ . קוטר המעגל $AC$ נמצא על הישר $4y-x-15=0$ . נתון: $A(1,4)$ ; $B(4,1)$ .
שני מיתרים על קוטר ונקודת מפגש הגבהים (שאלה קצרה · קשה)
$AB$ קוטר במעגל, והנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל באותו צד של $AB$ . המשכי המיתרים $AC$ ו- $BD$ (מעבר ל- $C$ ומעבר ל- $D$ ) נפגשים בנקודה $P$ ,…
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (שאלה קצרה · בינונית)
$AC$ הוא קוטר של מעגל, והנקודה $B(3,1)$ נמצאת על המעגל. הקוטר $AC$ מונח על הישר $2y-x-2=0$ , ו- $A(2,2)$ .
שני מעגלים נחתכים וקטרים מנקודת חיתוך משותפת (שאלת ביניים · קשה)
שני מעגלים נחתכים בנקודות $P$ ו- $Q$ , ומרכזיהם נמצאים משני צדי הישר $PQ$ . הקטע $PA$ הוא קוטר במעגל הראשון, והקטע $PB$ הוא קוטר במעגל השני.…
שטח משולש שצלעו קוטר, באמצעות R ו-α (שאלה קצרה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל כך ש- $\angle CAB=\alpha$ .
אנך מקודקוד ישר הזווית לקוטר: מיתר ושטח (שאלת ביניים · בינונית)
במעגל שרדיוסו $6.5$ ס"מ, הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, והקטע $CD$ מאונך ל- $AB$ ( $D$ על $AB$ ). נתון: $AD=4$ ס"מ.
זווית ישרה במערכת צירים: הקוטר, המרכז והריבוע (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתונות הנקודות $A(-1,3)$ , $B(3,5)$ ו- $C(5,1)$ . מעגל עובר דרך שלוש הנקודות.
שני משולשים על קוטר: חפיפה לפי יתר וניצב ומלבן חסום (שאלת ביניים · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל משני צדי הקוטר $AB$ , ונתון $AC=BD$ (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 5
המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . ציר ה- $y$ משיק למעגל בנקודה $A$ , והמעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ . $AD$ הוא קוטר במעגל (ראו איור).
מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. נתון:…
מעגל המשיק לציר: דמיון משולשים, משוואת המעגל ושטח מרובע · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
משולש חסום במעגל המשיק לציר: דמיון, משוואת המעגל ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ . הצלע $AC$ היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $C$ וחותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על…
מעגל, קוטר ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים · בגרות 471 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $M$ . המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל כך ש- $AB$ הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה $B$ העבירו…
משולש חסום במעגל ומשיק במערכת צירים: דמיון משולשים · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הצלע $CB$ היא קוטר במעגל. הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ . המשך הצלע $CB$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $D$ . דרך הנקודה $C$ …
משולש החסום במעגל במערכת צירים: דמיון, משיק ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. $AC$ הוא קוטר במעגל. הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ . דרך הנקודה $C$ העבירו אנך לציר ה- $x$ …
משולש חסום במעגל שקוטרו צלע: ישרים, מרכז ומשוואת המעגל · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שקוטרו $AC$ . קוטר המעגל $AC$ נמצא על הישר $3y-2x-4=0$ . נתון: $A(1,2)$ ; $B(3,4)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ ,…
מעגל שקוטרו רדיוס: אמצע מיתר (שאלה קצרה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O, ו-C נקודה על המעגל. המעגל שקוטרו OB חותך את המיתר BC בנקודה E (שונה מ-B), כמתואר…
מעגל עם קוטר ואמצעי צלעות: מלבן, מעגל עזר ומשיק משותף (שאלה מלאה · קלה)
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E היא אמצע הצלע BC, והנקודה D היא אמצע הצלע AC,…
מעגל: קוטר נתון, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה וחישוב אורכים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AF$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, והנקודה $K$ נמצאת על המשך המיתר $AB$ …
קטע אמצעים במשולש החסום בחצי מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O, ו-C נקודה על המעגל. P היא נקודה על המיתר CB כך ש- $OP\perp CB$ (ראו סרטוט).