שאלות פתוחות: שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל ועל כך שקטעי המשיקים שווים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות משתמשים בשוויון הקטעים כדי לחשב היקפים ואורכים, למשל כשמשיק שלישי חותך שני משיקים ונוצר משולש. יש שאלות על מעגל החסום במשולש ישר זווית במערכת צירים, על מעגל שקוטרו ניצב במשולש, ועל מרובע שנוצר משני משיקים ושני רדיוסים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, והמורה יכול להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

25 שאלותקלה: 4בינונית: 15קשה: 6

שאלה 1 · מעגל המשיק לציר ה-x: דלתון ומעגל חוסםשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו MMM נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל משיק לציר ה-xxx בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט. הישר 4x+3y=244x+3y=244x+3y=24 משיק למעגל בנקודה D(2.4,4.8)D(2.4,4.8)D(2.4,4.8), וחותך את ציר ה-xxx בנקודה BBB ואת ציר ה-yyy בנקודה AAA.
ABDMO

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB ואת אורך הקטע ABABAB.

ג.

הראו כי MDMDMD מאונך למשיק ABABAB.

ד.

הוכיחו כי המרובע OMDBOMDBOMDB הוא דלתון. היעזרו בכך ש-BOBOBO ו-BDBDBD הם קטעי משיקים למעגל.

ה.

הסבירו מדוע הדלתון OMDBOMDBOMDB בר חסימה במעגל, ומצאו את שיעורי מרכז המעגל החוסם אותו.

שאלה 2 · שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שוויםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘, AC=8AC=8AC=8 ס"מ ו-BC=6BC=6BC=6 ס"מ. המעגל שקוטרו ACACAC (ומרכזו OOO) חותך את היתר ABABAB בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את הניצב BCBCBC בנקודה MMM, כמתואר בשרטוט.
CABOMD

א.

הוכיחו כי MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.

ב.

מצאו את שטח המרובע OCMDOCMDOCMD.

שאלה 3 · מעגל ושני משיקים מנקודה: שיקוף ביחס לישר המרכזיםשאלה מלאה · קשה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל (x+1)2+(y−5)2=10(x+1)^2+(y-5)^2=10(x+1)2+(y−5)2=10, שמרכזו MMM. הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה-yyy ששיעור ה-yyy שלה גדול מ-5. הקטע CDCDCD משיק למעגל בנקודה AAA, AMAMAM הוא חוצה זווית CMDCMDCMD, והקטע CMCMCM מקביל לציר ה-xxx.
BAMCD

א.

הוכיחו כי משולש CMDCMDCMD הוא שווה שוקיים.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ג.

חשבו את היקף המשולש CMDCMDCMD.

ד.

מהנקודה CCC יוצא משיק נוסף למעגל, המשיק לו בנקודה KKK (K≠AK\ne AK=A). מצאו את שיעורי הנקודה KKK.

ה.

חשבו את שטח המרובע CAMKCAMKCAMK.

שאלה 4 · מעגל חסום במשולש ישר זווית: ריבוע, משוואה ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

המשולש ABOABOABO ישר זווית, OOO ראשית הצירים, AAA על החלק השלילי של ציר ה-xxx ו-BBB על החלק החיובי של ציר ה-yyy.
במשולש חסום מעגל שמרכזו CCC, המשיק לצלעות AOAOAO, BOBOBO ו-ABABAB בנקודות DDD, EEE ו-FFF בהתאמה.
ABCDEFO

א.

הוכיחו כי המרובע OECDOECDOECD הוא ריבוע.

ב.

נתון: D(−3,0)D(-3,0)D(−3,0).

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

נתון: A(−7,0)A(-7,0)A(−7,0).

מצאו את אורך הקטע AFAFAF.

ד.

חשבו את גודל הזווית CADCADCAD.

שאלה 5 · שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שוויםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘) נתון: BC=5BC=5BC=5 ס"מ, AC=12AC=12AC=12 ס"מ. מעגל שמרכזו OOO נמצא על הניצב ACACAC, עובר דרך הקודקוד CCC ומשיק ליתר ABABAB בנקודה DDD, כמתואר בשרטוט.
ABCOD

א.

הסבירו מדוע BCBCBC משיק למעגל, ומצאו את אורך הקטע ADADAD.

ב.

מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 6 · משיק מנקודה משתנה על ציר ה-xשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו MMM נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל משיק לציר ה-xxx בראשית הצירים OOO. הנקודה B(t,0)B(t,0)B(t,0) נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, ו-t>3t>3t>3. מהנקודה BBB העבירו משיק נוסף למעגל, שמשיק לו בנקודה DDD וחותך את ציר ה-yyy בנקודה AAA, כמתואר בסרטוט.
ABDMO

א.

הוכיחו כי △ADM∼△AOB\triangle ADM\sim\triangle AOB△ADM∼△AOB, והביעו באמצעות ttt ובאמצעות OAOAOA את אורך הקטע ADADAD.

ב.

הביעו באמצעות ttt את אורך הקטע OAOAOA.

ג.

נתון כי A(0,254)A(0,\frac{25}{4})A(0,425​). מצאו את ttt ואת משוואת המשיק ABABAB.

ד.

הוכיחו כי לכל t>3t>3t>3 הדלתון OMDBOMDBOMDB בר חסימה במעגל, והראו כי מרכזי כל המעגלים החוסמים האלה נמצאים על ישר אחד. מצאו את משוואתו.

שאלה 7 · משיקים למעגל: דמיון, נקודות ההשקה ומשוואת המעגלשאלה מלאה · קלה

ABABAB ו-BCBCBC משיקים למעגל בנקודות AAA ו-CCC בהתאמה. OOO מרכז המעגל. אלכסוני המרובע ABCOABCOABCO נפגשים בנקודה KKK.
ABCOK

א.

הסבירו מדוע BA=BCBA=BCBA=BC ומדוע OA=OCOA=OCOA=OC, והסיקו כי OB⊥ACOB\perp ACOB⊥AC.

ב.

הסבירו מדוע ∠OAB=90∘\angle OAB=90^\circ∠OAB=90∘, והראו כי המשולשים OAKOAKOAK ו-ABKABKABK דומים.

ג.

נתון: O(1,1)O(1,1)O(1,1), B(1,11)B(1,11)B(1,11), K(1,2)K(1,2)K(1,2).

חשבו את OKOKOK ואת KBKBKB, והראו כי AK=3AK=3AK=3.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-CCC.

ה.

מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 8 · שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שוויםשאלה קצרה · בינונית

מנקודה PPP יוצאים שני משיקים למעגל, הנוגעים בו בנקודות AAA ו-BBB. דרך נקודה CCC שעל הקשת הקטנה ABABAB מעבירים משיק שלישי למעגל, החותך את PAPAPA בנקודה DDD ואת PBPBPB בנקודה EEE. נתון: PD=5PD=5PD=5 ס"מ, PE=6PE=6PE=6 ס"מ, DE=7DE=7DE=7 ס"מ.

מצאו את אורך המשיק PAPAPA ואת אורכי הקטעים DCDCDC ו-CECECE.

שאלה 9 · מעגל חסום במשולש ישר זווית: מציאת הקודקוד מהמעגלשאלה מלאה · קשה

המשולש ABOABOABO ישר זווית, OOO ראשית הצירים, A(−15,0)A(-15,0)A(−15,0), והקודקוד BBB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy.
המעגל (x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9(x+3)2+(y−3)2=9 חסום במשולש: הוא משיק לצלעות AOAOAO, BOBOBO ו-ABABAB בנקודות DDD, EEE ו-FFF בהתאמה.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה FFF.

ג.

חשבו את השטח של החלק במשולש ABOABOABO שנמצא מחוץ לעיגול.

שאלה 10 · קטעי משיקים מנקודה על ציר ה-x: הוכחת דלתוןשאלה קצרה · קלה

נתון מעגל שרדיוסו 3 ומרכזו MMM נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל משיק לציר ה-xxx בראשית הצירים OOO, כמתואר בסרטוט. הישר 4x+3y=244x+3y=244x+3y=24 משיק למעגל בנקודה D(2.4,4.8)D(2.4,4.8)D(2.4,4.8), וחותך את ציר ה-xxx בנקודה B(6,0)B(6,0)B(6,0) ואת ציר ה-yyy בנקודה AAA.
ABDMO

הוכיחו כי המרובע OMDBOMDBOMDB הוא דלתון. היעזרו בכך ש-BOBOBO ו-BDBDBD הם קטעי משיקים למעגל.

עוד 10 שאלות על שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה $T$ . הישר $AB$ משיק לשני המעגלים: למעגל הראשון בנקודה $A$ ולמעגל השני בנקודה $B$ . המשיק המשותף לשני…
שני משיקים מנקודה וזווית היקפית: מקביל לקוטר (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ .
שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל- $B$ , ו- $PB=2$ ס"מ. מ- $P$ מעבירים משיק $PT$ למעגל ( $T$ נקודת ההשקה),…
שני מעגלים: משיקים מנקודה על המעגל הגדול, דמיון ויחס שטחים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
מנקודה $P$ שמחוץ למעגל שמרכזו $O$ יוצאים שני משיקים, $PA$ ו- $PB$ , הנוגעים במעגל בנקודות $A$ ו- $B$ . המיתר $AC$ מקביל למשיק $PB$ . נתון:…
מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ ,…
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר…
משיקים למעגל, דמיון ומשוואת המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ .
שני משיקים מנקודה מחוץ למעגל: קטעי המשיקים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל שמרכזו $O$ העבירו שני משיקים למעגל, $PA$ ו- $PB$ ( $A$ ו- $B$ נקודות ההשקה). הקטע $OP$ חותך את המיתר $AB$ בנקודה $M$ .
משיק משותף לשני מעגלים משיקים: קטעי משיקים שווים וזווית ישרה (שאלת ביניים · בינונית)
שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה $A$ (ראו סרטוט). הנקודה $O$ היא מרכז המעגל השמאלי. מעבירים בנקודה $A$ משיק משותף לשני המעגלים. $B$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל המשיק לציר ה-x ודלתון החסום במעגל · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $M$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה- $x$ וחותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ , כמתואר בסרטוט. דרך…
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על ציר ה- $y$ (ראה ציור). במשולש $ABO$ חסום מעגל שמרכזו…
משיקים למעגל, דמיון ומשוואת המעגל · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
$AB$ ו- $BC$ משיקים למעגל בנקודות $A$ ו- $C$ בהתאמה. $O$ מרכז המעגל. אלכסוני המרובע $ABCO$ נפגשים בנקודה $K$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שני משיקים מנקודה: דלתון ואורך מיתר ההשקה (שאלה קצרה · בינונית)
מן הנקודה $M$ מעבירים שני משיקים למעגל שמרכזו $N$ ורדיוסו 8. נקודות ההשקה הן $A$ ו- $B$ . נתון: $MN=17$ .
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול.…