שאלות פתוחות: שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות מחשבים שטח לפי חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן, אחרי שמוצאים צלע חסרה בעזרת משפט הסינוסים. יש שאלות על תיכון וחוצה זווית, על משולש בתוך טרפז או מעגל, ובעיה מילולית על חקלאי שמגדר חלקה משולשת לאורך קיר. רוב השאלות בינוניות, לצד קלות וקשות, והמורה יכול לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

24 שאלותקלה: 5בינונית: 16קשה: 3

שאלה 1 · שטח משולש בשילוב משפט הסינוסיםשאלה קצרה · קלה

בטרפז ABCDABCDABCD (BC∥ADBC\parallel ADBC∥AD) נמתח האלכסון ACACAC. נתון: AC=10AC=10AC=10, ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘, ושטח המשולש ACDACDACD הוא 353535. בסרטוט מסומן גם הגובה CHCHCH לבסיס ADADAD.
30°10ADCBH

א.

מצאו את אורך הבסיס ADADAD.

ב.

מצאו את גודל הזווית ADCADCADC (דייקו עד עשירית המעלה).

שאלה 2 · שטח משולש בשילוב משפט הסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC מאריכים את הצלע BCBCBC מעבר לקודקוד CCC עד לנקודה FFF. נתון: ∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ∠ACB=60∘, AC=12AC=12AC=12, CF=6CF=6CF=6. הקטע CMCMCM חוצה את הזווית ACFACFACF, והנקודה MMM נמצאת על הקטע AFAFAF (ראו סרטוט).
60°126ABCFM

א.

מצאו את אורך הקטע CMCMCM.

ב.

מצאו את היחס AM:MFAM:MFAM:MF.

שאלה 3 · משולש חסום במעגל: שני מקומות אפשריים לקודקודשאלה מלאה · קשה

במעגל שמרכזו OOO העבירו מיתר ABABAB שאורכו 24 ס"מ. MMM היא נקודה על המיתר כך ש-OM⊥ABOM\perp ABOM⊥AB, ו-OM=5OM=5OM=5 ס"מ.
CCC היא נקודה על המעגל (שונה מ-AAA ומ-BBB), כך ש-AC=14AC=14AC=14 ס"מ.
OABM

א.

מצאו את הרדיוס של המעגל.

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של הזווית ACBACBACB.

ג.

מצאו את שטח המשולש ABCABCABC בכל אחד מהמקרים.

שאלה 4 · שטח משולש בשילוב משפט הסינוסיםשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC הקטע ADADAD הוא תיכון לצלע BCBCBC. נתון: AB=8AB=8AB=8 ס"מ, AD=6AD=6AD=6 ס"מ, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘.
660°8BDCA

א.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

חשבו את המרחק של הקודקוד CCC מהישר ABABAB.

שאלה 5 · שטח משולש בשילוב משפט הסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

חקלאי מגדר חלקה בצורת משולש ABCABCABC. הצלע BCBCBC של החלקה היא קיר קיים, ולשתי הצלעות האחרות, ABABAB ו-ACACAC, יש בידיו גדר שאורכה הכולל 141414 מ'. הזווית בין שתי הגדרות היא ∠BAC=150∘\angle BAC=150^\circ∠BAC=150∘.

א.

נתון כי שטח החלקה הוא 101010 מ"ר. מצאו את אורכי שתי הגדרות.

ב.

החקלאי רוצה שהחלקה תהיה גדולה ככל האפשר (עם אותה גדר ואותה זווית). מצאו את אורכי הגדרות ואת השטח המקסימלי של החלקה.

שאלה 6 · שטח משולש חלקי: משפט הסינוסים בשני משולשיםשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC נתון: BC=10BC=10BC=10 ס"מ, ∠BAC=45∘\angle BAC=45^\circ∠BAC=45∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB כך ש-∠BCE=45∘\angle BCE=45^\circ∠BCE=45∘ (ראו סרטוט).
45°60°45°10ABCE

חשבו את שטח המשולש ACEACEACE.

שאלה 7 · מעגל במערכת צירים: ממשוואת המעגל לזוויות ולשטחשאלה מלאה · קלה

מרכז המעגל שבסרטוט הוא M(0,5)M(0,5)M(0,5), והמעגל עובר בנקודה A(−5,6)A(-5,6)A(−5,6). המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות CCC ו-DDD (CCC מימין). הנקודה B(1,10)B(1,10)B(1,10) נמצאת על המעגל, והמשולש ABCABCABC חד זוויות.
ABCDEM

א.

(1)

מצאו את משוואת המעגל.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ב.

(1)

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

(2)

היעזרו במשפט הסינוסים במשולש ABCABCABC, ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2Rsin∠ABCAC​=2R, ומצאו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

הנקודה E(−5,4)E(-5,4)E(−5,4) נמצאת על הקשת הקטנה ACACAC.

הסבירו מדוע ABCEABCEABCE הוא מרובע חסום במעגל, ומצאו את גודל הזווית AECAECAEC.

ד.

(1)

נתון: EC=52EC=\sqrt{52}EC=52​. מצאו את גודל הזווית EACEACEAC.

(2)

מצאו את שטח המשולש AECAECAEC.

שאלה 8 · שטח משולש בשילוב משפט הסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: ∠B=50∘\angle B=50^\circ∠B=50∘, ∠C=70∘\angle C=70^\circ∠C=70∘, ושטח המשולש הוא 404040 סמ"ר.

א.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC (דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ב.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC.

שאלה 9 · מרובע שאלכסונו ידוע: שטח בעזרת משפט הסינוסים, והיחס שבו האלכסון השני נחתךשאלת ביניים · קשה

במרובע הקמור ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא 101010 ס"מ. נתון: ∠ABD=45∘\angle ABD=45^\circ∠ABD=45∘, ∠ADB=60∘\angle ADB=60^\circ∠ADB=60∘, ∠CBD=30∘\angle CBD=30^\circ∠CBD=30∘, ∠CDB=50∘\angle CDB=50^\circ∠CDB=50∘. האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE (ראו סרטוט).
45°60°30°50°10BDACE

א.

מצאו את אורכי הצלעות ABABAB ו-CBCBCB.

ב.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

ג.

מצאו את היחס AE:ECAE:ECAE:EC.

שאלה 10 · משולש שווה שוקיים במערכת צירים: זוויות ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC). נתון: A(−8,14)A(-8,14)A(−8,14), C(10,18)C(10,18)C(10,18). הקודקוד BBB נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx, והנקודה DDD נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx.
ABCDxy

א.

מצאו את אורך הצלע ACACAC.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ג.

הראו כי שיפוע הישר ABABAB הוא 76\frac7667​, ומצאו את גודל הזווית ABDABDABD ואת גודל הזווית CBDCBDCBD.

ד.

מצאו את גודל הזווית ABCABCABC, וחשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

עוד 10 שאלות על שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל במערכת צירים: משולש חסום ומרובע חסום (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,4)$ , $B(4,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ ,…
שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו 13 ס"מ. נתון: $\angle ABC=40^\circ$ , $\angle ACB=75^\circ$ .
שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $AEC$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle AEC=120^\circ$ , $EC=6$ .
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: מאמצע צלע לשטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $CD$ …
שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש $ABC$ שקודקודיו $A(-3,6)$ , $B(-5,0)$ , $C(5,5)$ .
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון:…
שטח משולש בשילוב משפט הסינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה השוקיים $ABC$ נתון: $AB=AC=13$ , $BC=10$ . הנקודה $K$ נמצאת על הצלע $AC$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ . (הצלע $BC$ אינה עוברת דרך מרכז המעגל.)
צלע של משולש מתוך שטחו ושתי זוויות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $\angle B=50^\circ$ , $\angle C=70^\circ$ , ושטח המשולש הוא $40$ סמ"ר.
משפט הסינוסים, שטח משולש וחלוקתו בקטע מקודקוד (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $BC=8$ ס"מ, $\angle ABC=30^\circ$ , $\angle ACB=105^\circ$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל במערכת צירים: משולש חסום, משפט הסינוסים ומרובע חסום · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
במעגל חסום משולש חד זוויות $ABC$ . נתון: $A(-5,3)$ , $B(3,7)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $C$ ו- $D$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: ישרים, זוויות ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הקודקוד $B$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה- $x$ כך ש- $CD$ מאונך ל- $AC$ . נתון כי…
מעגל במערכת צירים: משיק, קוטר ושטח משולש · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל. מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $A$ נמצאת על המעגל. המשך הקטע $MA$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . נתון: $A(-16,6)$ , $B(0,18)$ .
משולש חסום במעגל: אנך מהמרכז לצלע ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ (ראו סרטוט). נתון: $MO\perp AB$ .