מבחן לדוגמה: המעגל: זוויות, קשתות ומיתרים (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו: $\frac{AF}{FB}=\frac ab$.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את היחס $\frac{GH}{AB}$.

הוכיחו שבכל משולש כזה $GH\le\frac34AB$. באיזה משולש מתקבל שוויון?

נתון: $AB=7$, $\frac{GH}{AB}=\frac{120}{169}$, $AC>BC$.

מצאו את $AC$, את $BC$ ואת רדיוס המעגל.

הוכיחו: $OE\perp BC$ ו-$OD\perp AC$.

הוכיחו כי המרובע CEOD הוא מלבן.

הוכיחו כי הנקודות C, E, O, D נמצאות על מעגל אחד, וכי מרכזו הוא אמצע הקטע OC.

הישר $\ell$ משיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC.

הוכיחו כי הישר $\ell$ משיק גם למעגל שעליו נמצאות הנקודות C, E, O, D.

הוכיחו כי $OD\parallel BC$.

נתון: $\angle ABC=35^\circ$. מצאו את $\angle ODC$.

הוכיחו כי המשולש $AOD$ שווה צלעות.

הוכיחו כי המרובע $AOCD$ הוא מעוין.

הוכיחו: $\angle AEB=\angle BEC=\angle CED$.

מצאו את $\angle AED$.

הוכיחו כי הנקודות K, A ו-O נמצאות על מעגל אחד שמרכזו אמצע הקטע KO.

מצאו את הרדיוס של המעגל העובר דרך K, A ו-O.

מצאו את $\angle AKC$ ואת $\angle AOC$.

משנים את מקומן של הנקודות B ו-D על המעגל כך שהקשת AC נשארת $110^\circ$ והמיתרים AB ו-CD עדיין נחתכים בנקודה K.

מה צריכה להיות הקשת BD כדי שהנקודות A, K, O ו-C יהיו על מעגל אחד? נמקו.

הביעו באמצעות $R$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן $CDEG$ מקסימלי.

הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$.

הביעו באמצעות $R$ את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים $CDF$ ו-$GEF$.