שאלות פתוחות: זווית היקפית הנשענת על קוטר - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על זווית היקפית הנשענת על קוטר לכיתה י"א, 5 יחידות, מתוך בעיות גאומטריה ברמת בגרות. בשאלות משתמשים בכך שזווית היקפית על קוטר ישרה בשרטוטים של משיק וחותך מנקודה חיצונית, קוטר ומשיק בקצהו, שני מעגלים נחתכים ומלבן שבו קטע מאונך לאלכסון ויוצר מרובע בר-חסימה. מבחר גדול ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה בגאומטריה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

69 שאלותקלה: 22בינונית: 37קשה: 10

שאלה 1 · משיק וחותך דרך המרכז: משיק-מיתר, דמיון ומשפט המשיק והחותךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O) (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α ומדוע ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ∠CBD=90∘.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔADB\Delta ABC\sim\Delta ADBΔABC∼ΔADB, והסיקו כי AB2=AC⋅ADAB^2=AC\cdot ADAB2=AC⋅AD.

ג.

נתון: AC=2AC=2AC=2, AB=4AB=4AB=4.

חשבו את ADADAD ואת רדיוס המעגל.

ד.

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לשטח המשולש ADB.

ה.

היעזרו בדמיון ומצאו את tan⁡α\tan\alphatanα ואת α\alphaα.

שאלה 2 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 3 · שני מעגלים נחתכים כשהמקבילית היא מלבן: אורכים ורדיוסיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB.
המיתר ADADAD במעגל הימני משיק למעגל השמאלי בנקודה AAA.
המיתר CBCBCB במעגל השמאלי משיק למעגל הימני בנקודה BBB.
המשך המיתר ACACAC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה EEE.
המשך המיתר BDBDBD במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה FFF.
נתון שהמרובע CEDFCEDFCEDF הוא מלבן, AC=8AC=8AC=8 ו-CE=10CE=10CE=10.
ABCEDF

א.

הוכיחו כי AB⊥CEAB\perp CEAB⊥CE.

ב.

מצאו את ABABAB ואת BDBDBD.

ג.

מצאו פי כמה גדול שטח משולש ABCABCABC משטח משולש BDABDABDA.

ד.

מצאו את הרדיוסים של שני המעגלים.

שאלה 4 · מלבן וקטע מאונך לאלכסון: מרובע בר חסימה ויחסי שטחיםשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE מאונך לאלכסון BDBDBD וחותך אותו בנקודה FFF. נתון: AD=9AD=9AD=9, DE=3DE=3DE=3.
DABCEF

א.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע EABFEABFEABF במעגל.

ב.

הוכיחו: ΔDEF∼ΔBCF\Delta DEF\sim\Delta BCFΔDEF∼ΔBCF, וחשבו את היחס EFFC\frac{EF}{FC}FCEF​.

ג.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-SSS.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות SSS.

ד.

נתון: AB=33AB=3\sqrt3AB=33​.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

שאלה 5 · משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O). המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הישר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCDE

א.

הביעו את כל זוויות המשולש ADE באמצעות α\alphaα.

ב.

הוכיחו: ABAD=BCBD\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BD}ADAB​=BDBC​.

ג.

נתון: DE=12DE=12DE=12, AB=8AB=8AB=8.

חשבו את RRR.

ד.

נסמן ב-SSS את שטח המשולש BDC. מחברים את O עם E.

(1)

הוכיחו: ΔEDO∼ΔDBC\Delta EDO\sim\Delta DBCΔEDO∼ΔDBC.

(2)

הביעו את שטח המשולש EDO באמצעות SSS.

שאלה 6 · מלבן ומרובע בר חסימה: תנאי קיום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD, הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD. הקטע CECECE חותך את האלכסון BDBDBD בנקודה FFF. המרובע EABFEABFEABF הוא בר חסימה במעגל.
DABCEF

א.

הוכיחו: AB2=DE⋅DAAB^2=DE\cdot DAAB2=DE⋅DA.

ב.

הסבירו מדוע בהכרח AB<ADAB<ADAB<AD.

בסעיפים ג-ד נתון: AB=1AB=1AB=1, ונסמן AD=xAD=xAD=x.

ג.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DEDEDE ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

ד.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע EABFEABFEABF הוא 132\frac{\sqrt{13}}2213​​.

מצאו את xxx.

שאלה 7 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מחוצה זווית ודמיון לאורכים ושטחים מספרייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 5. הצלע BCBCBC היא קוטר במעגל, ו-AC=6AC=6AC=6. הנקודה GGG נמצאת על המשך הצלע CACACA כך ש-GA=ACGA=ACGA=AC. הקטע GBGBGB חותך את המעגל בנקודה DDD.
GADBC

א.

היעזרו בזווית BACBACBAC, והוכיחו כי BG=BCBG=BCBG=BC וכי הישר ABABAB חוצה את ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ב.

הוכיחו כי ∠GDA=∠GCB\angle GDA=\angle GCB∠GDA=∠GCB, והסיקו כי ΔGBC∼ΔGAD\Delta GBC\sim\Delta GADΔGBC∼ΔGAD.

ג.

חשבו את אורך הקטע GDGDGD ואת היחס SDBCASGAD\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}SGAD​SDBCA​​.

ד.

דרך הנקודה CCC העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע BABABA בנקודה EEE.

חשבו את אורך ABABAB, את אורך AEAEAE, ופי כמה גדול שטח המשולש CBECBECBE משטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 8 · שאלות קצרות: סכום ריבועי האי-זוגיים, מרובעים בני חסימה, אסימפטוטות של שורש ומשפחה רציונליתשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל nnn טבעי מתקיים: 12+32+52+…+(2n−1)2=n⋅(2n−1)⋅(2n+1)31^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}12+32+52+…+(2n−1)2=3n⋅(2n−1)⋅(2n+1)​

ב.

במשולש חד-זווית ABCABCABC, הגבהים BEBEBE ו-CFCFCF נפגשים בנקודה HHH (ראו סרטוט). נתון: BC=12BC=12BC=12, AH=8AH=8AH=8.
ABCEFH

(1)

הוכיחו שאפשר לחסום במעגל כל אחד מן המרובעים: AFHEAFHEAFHE, BCEFBCEFBCEF.

(2)

מהו סכום השטחים של המעגלים החוסמים את המרובעים: AFHEAFHEAFHE, BCEFBCEFBCEF?

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+1x2−2x−8+1f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-2x-8}}+1f(x)=x2−2x−8​2x+1​+1.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

(2)

ידוע כי האסימפטוטות של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים, חותכות זו את זו. חשבו את השטח הכלוא בין האסימפטוטות. נמקו את התשובה.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=a⋅(x−1)x2−9f(x)=\frac{a\cdot(x-1)}{x^2-9}f(x)=x2−9a⋅(x−1)​, המוגדרת עבור: x≠3x\neq3x=3 ו-x≠−3x\neq-3x=−3, a≠0a\neq0a=0 הוא פרמטר. אחד מן הגרפים א-ה שלפניכם מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a>0a>0a>0, ואחד מהם מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a<0a<0a<0.
גרף א
גרף ב
גרף ג
גרף ד
גרף ה

(1)

איזה מן הגרפים מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a>0a>0a>0? נמקו את התשובה בקצרה.

(2)

איזה מן הגרפים מתאים לפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור a<0a<0a<0? נמקו את התשובה בקצרה.

שאלה 9 · משולש חסום שצלעו קוטר: יחס שטחים כפרמטר $k$ , תחום הפרמטר, משיק בקצה הקוטר ומשולש שווה-צלעותשאלה מלאה · קשה

משולש KLMKLMKLM חסום במעגל שרדיוסו RRR. הצלע LMLMLM היא קוטר במעגל. הנקודה PPP נמצאת על המשך הצלע MKMKMK (מעבר ל-KKK) כך ש-LP=LMLP=LMLP=LM. הקטע PLPLPL חותך את המעגל בנקודה QQQ (בין PPP ל-LLL). נתון: SQLMKSPKQ=k\frac{S_{QLMK}}{S_{PKQ}}=kSPKQ​SQLMK​​=k.
PKQLM

א.

הוכיחו כי KKK היא אמצע הקטע PMPMPM.

ב.

הביעו את KMKMKM באמצעות RRR ו-kkk.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

דרך הנקודה LLL העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע MPMPMP בנקודה TTT.

הביעו באמצעות kkk את היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​.

ה.

מצאו את kkk שבעבורו המשולש PLMPLMPLM שווה-צלעות, ואת היחס SLMTSKLM\frac{S_{LMT}}{S_{KLM}}SKLM​SLMT​​ במקרה זה.

שאלה 10 · מלבן חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: חישובים מספרייםשאלה מלאה · קלה

מלבן ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נתון: ∠CAB=40°\angle CAB=40°∠CAB=40°.
ABCDMO

א.

הסבירו מדוע האלכסון ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC.

ב.

חשבו את אורך הקטע AOAOAO.

ג.

חשבו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את המרחק MOMOMO בין מרכז המעגל החוסם את המלבן לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

עוד 36 שאלות על זווית היקפית הנשענת על קוטר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טרפז ישר-זווית ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל (שאלה מלאה · בינונית)
בטרפז ישר-זווית $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ , $\angle DAB=90^\circ$ ), הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ .…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קהה (שאלה מלאה · קשה)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ , והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן $\angle CDB=\alpha$ . E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חישובים מספריים במשפט הקוסינוסים וזווית קהה (שאלה מלאה · קלה)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו 5. הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נתון: $CD=8$ . נסמן…
משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר במעגל: גבהים וחוצה זווית, דמיון, יחס שטחים 8 ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
$BC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $G$ נמצאת מחוץ למעגל כך ש- $GB=GC$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ , והקטע $GC$ חותך את…
שני מעגלים נחתכים: מיקום E לפי היחס בין הרדיוסים ויחס שטחים כללי (שאלה מלאה · קשה)
נתונים מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו $R$ , ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
מעגל עם פרמטר: יחס שטחים כפונקציה של $\frac{A C}{R}$ , יחס הזהב וזווית של $5 4^{\circ}$ (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . C היא נקודה על המעגל, ו-P היא אמצע המיתר CB. המשך הקטע PO חותך את המעגל בנקודה K, והמיתר CK חותך את…
מעגל עם קוטר ואמצעי צלעות: מלבן, מעגל עזר ומשיק משותף (שאלה מלאה · קלה)
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E היא אמצע הצלע BC, והנקודה D היא אמצע הצלע AC, כמתואר בסרטוט.
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מעגל ודלתון עם פרמטר: יחס שטחים לפי $k$ , בעיה הפוכה ותנאי למיקום נקודה (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ונסמן $\angle BAC=\alpha$ ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ). הנקודות $K$ …
שני מעגלים נחתכים: משיק, קוטר ודמיון - במספרים ובהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שמרכזו M ורדיוסו 5, ומעגל קטן שמרכזו O ורדיוסו 4. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול, והנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: הצלע שמול הזווית כפרמטר, שוויון צלעות וזווית במשולש עזר (שאלה מלאה · בינונית)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ ,…
ריבוע מסתובב סביב מרכז ריבוע: שטח קבוע, רדיוס מינימלי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
אורך צלע הריבוע $ABCD$ הוא $a$ , ואלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד של ריבוע $OEFG$ שיכול להסתובב סביב $O$ . הצלע $OG$ חותכת…
משיק ורדיוס: המעגל העובר דרך נקודת המשיק, נקודת ההשקה והמרכז (שאלה קצרה · קלה)
KA משיק בנקודה A למעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. נתון: $KA=8$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
מלבן ומעגל: מתי הנקודה על הצלע, ויחס שטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתון מלבן $ABCD$ שבו $AB=a$ , $AD=b$ , ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על המעגל, והישר $DC$ משיק למעגל בנקודה $E$ . הישר $AD$ חותך את…
מעגל: מיתר מקביל לרדיוס, דמיון וחלוקת רדיוס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AC\parallel OK$ , $AC=4$ .
משולש חד-זוויות ומרובע בר-חסימה CEFO: ניצבות מהמרכז ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: יחס הבסיסים ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $AB<DC$ , $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
מעגל וקטעים מקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית, דמיון ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 7. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל, ו- $BC=7$ . הנקודה $K$ נמצאת על $OC$ והנקודה $E$ על $OB$ , כך ש- $OK=OE=4$ .…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
מעגל: קוטר נתון, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה וחישוב אורכים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AF$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, והנקודה $K$ נמצאת על המשך המיתר $AB$ כך ש- $AB=BK$ . הקטע $KF$ חותך…
שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום, מיתרים שווים, חוצה זווית ופיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F…
שני ריבועים עם קודקוד משותף במרכז: הוכחה מודרכת ורדיוס (שאלה מלאה · קלה)
אורך צלע הריבוע $ABCD$ הוא 7, ואלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד של ריבוע $OEFG$ . הצלע $OG$ חותכת את הצלע $BC$ בנקודה $H$ ,…
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
ריבוע ומעגל: קוטר, דמיון ומשיק וחותך - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו 12 ס"מ, ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ …
מעגל: זווית היקפית על קוטר ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: הישר KO מאונך למיתר CB.
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זווית נתונה (שאלה מלאה · קלה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ …
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
טריגונומטריה במעגל: זווית ישרה, זווית מרכזית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה…
מרובע עם שתי זוויות ישרות: קוטר ורדיוס (שאלה קצרה · בינונית)
במרובע $ABCD$ : $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ , $AB=4$ , $BC=8$ , $CD=8$ (ראו סרטוט).
משיקים וקוטר במעגל: זוויות ואורך משיק במספרים (שאלה מלאה · קלה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , $AF$ הוא קוטר ו- $B$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשיק למעגל בנקודה $F$ נפגשים בנקודה $E$ . נתון:…
מלבן ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מלבן $ABCD$ ( $AB>AD$ ) ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של המלבן נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את…
טרפז ישר זווית ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $\sphericalangle BCD=90^\circ$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
מעגל על שוק כקוטר במשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) נתון $\sphericalangle ABC=\beta$ . המעגל שקוטרו $AB$ ורדיוסו $r$ חותך את הבסיס $BC$ בנקודה $E$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
משיק וחותך דרך המרכז: זוויות, דמיון, משפט המשיק והחותך ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C…
שאלות קצרות: אינדוקציה, גבהים במשולש, אסימפטוטות של פונקציית שורש והתאמת גרף · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$
מלבן ומרובע בר חסימה: דמיון, יחסי שטחים וקוטר המעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
במלבן $ABCD$ , הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ . הקטע $CE$ חותך את האלכסון $BD$ בנקודה $F$ . המרובע $EABF$ הוא בר חסימה במעגל.
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: חוצה זווית, דמיון במרובע חסום, יחס שטחים ומשיק · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 4
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראו סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA=AC$ . (הסרטוט…
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: משפט הקוסינוסים עם פרמטרים, שוויון צלעות וזווית קהה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 5
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ , $CD=k$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
מעגל עם קוטר ומרובע בר-חסימה CEFO: מקבילית, ניצבות ומעגלים משיקים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
שני מעגלים נחתכים: משיק, זווית היקפית על קוטר, דמיון שווי שוקיים ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים,…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
מעגל: קוטר מתיכון השווה למחצית הצלע, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית $ABC$ החסום במעגל. הנקודה $K$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ כך ש- $AB=BK$ . המשך הקטע $KC$ חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה $F$ . נתון:…
שני ריבועים עם קודקוד משותף במרכז: חפיפה, יחס שטחים ומרובע בר-חסימה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
אלכסוני הריבוע $ABCD$ נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד הריבוע $OEFG$ ששתיים מצלעותיו חותכות את צלעות הריבוע $ABCD$ בנקודות $H$ ו- $K$ כמתואר בסרטוט.
משולש שווה צלעות חסום במעגל: מיתרים מקבילים, מקבילית ומשולש שווה צלעות · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל. נקודות $D$ ו- $L$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD\parallel LC$ . המיתרים $AL$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ (ראה ציור).
ריבוע ומעגל: משיק, קוטר ודמיון משולשים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
נתון ריבוע $ABCD$ ונתון מעגל. הקדקודים $A$ ו- $B$ של הריבוע נמצאים על המעגל. הצלע $DC$ משיקה למעגל בנקודה $E$ . הצלע $AD$ חותכת את המעגל בנקודה $F$ (ראה ציור).
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ בנקודה $E$ (ראה ציור).…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר (שאלה קצרה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל. נתון: $\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA$ .
מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות 180° (שאלה קצרה · קלה)
מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו 5. נתון: $\angle BAD=\angle BCD$ , $AB=6$ .
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל, והנקודה $C$ נמצאת על המעגל. $D$ היא נקודה על הקוטר $AB$ כך ש- $CD\perp AB$ , כמתואר בסרטוט.
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם $AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ . $BC$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הקטע $AC$ חותך את המעגל בנקודה $D$ .
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (שאלה קצרה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל. הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. נתון: $B(2,1)$ , $C(-6,7)$ . הצלע $AB$ מקבילה לציר ה- $y$ .