שאלות פתוחות: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על זווית היקפית ששווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים זוויות במעגל עם קוטר ומשיק בקצהו, במלבן ובמקבילית שצלעותיהם משיקות למעגל, ובמשולש חסום שבו D אמצע הקשת הקטנה BC, ולעיתים ממשיכים לחישוב אורכים בעזרת הרדיוס R. רוב השאלות בינוניות. מתאים לחזרה על זוויות במעגל בבעיות ברמת בגרות; אפשר לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

30 שאלותקלה: 7בינונית: 22קשה: 1

שאלה 1 · שאלות קצרות בדרך לבגרות: פונקציה אי-זוגית, אי-תלות, אסימפטוטות וזוויות בכוכבשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2. נתון: ∫02f(x)dx=−4\int_0^2 f(x)dx=-4∫02​f(x)dx=−4.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

חשבו את ∫−20f(x)dx\int_{-2}^{0}f(x)dx∫−20​f(x)dx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2.

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB0.20.20.20.50.50.5
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ0.40.40.4111

	$A$	סה"כ
$B$	$0.2$	$0.5$
$\bar B$
סה"כ	$0.4$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

השלימו את הטבלה, ומצאו את P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B)P(Aˉ∩Bˉ).

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=6x2−5x+12x2−2x−4f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}f(x)=2x2−2x−46x2−5x+1​.

(1)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים, וחשבו את שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2)g(x)=f(x−2). מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

ד.

במעגל שמרכזו OOO חסום כוכב שקודקודיו AAA, BBB, CCC, DDD, EEE מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת ABABAB - 60∘60^\circ60∘, הקשת BCBCBC - 80∘80^\circ80∘, הקשת CDCDCD - 70∘70^\circ70∘, הקשת DEDEDE - 90∘90^\circ90∘, הקשת EAEAEA - 60∘60^\circ60∘.
OABCDE

(1)

חשבו את הזווית ∢CAD\sphericalangle CAD∢CAD שבקודקוד AAA.

(2)

חשבו את סכום חמש הזוויות שבקודקודי הכוכב.

שאלה 2 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 3 · מעגל ודלתון עם פרמטר: יחס שטחים לפי $k$ , בעיה הפוכה ותנאי למיקום נקודהשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. הנקודה CCC נמצאת על המעגל, ונסמן ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘). הנקודות KKK ו-EEE נמצאות על הרדיוסים OCOCOC ו-OBOBOB בהתאמה, כך ש-OK=OE=k⋅ROK=OE=k\cdot ROK=OE=k⋅R, כאשר 0<k<10<k<10<k<1. MMM היא נקודת החיתוך של הישר AKAKAK עם חוצה הזווית BOCBOCBOC.
OABCKEM

א.

הוכיחו כי OM∥ACOM\parallel ACOM∥AC, והביעו באמצעות kkk את היחס OMAC\frac{OM}{AC}ACOM​.

ב.

נסמן ב-SSS את שטח המרובע EMKOEMKOEMKO. הביעו באמצעות SSS ו-kkk את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC שווה ל-SSS.

ד.

בעבור kkk שמצאתם בסעיף ג, מצאו את כל ערכי α\alphaα שבעבורם הנקודה MMM נמצאת מחוץ למעגל.

שאלה 4 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: חישוב זוויות ואורכיםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 6. הקודקוד CCC נמצא על המעגל, ו-∢KCD=15∘\sphericalangle KCD=15^\circ∢KCD=15∘ (ראו סרטוט).
ABCDEKO

א.

הוכיחו כי המרובע AEOKAEOKAEOK הוא ריבוע, ומצאו את ∢KCE\sphericalangle KCE∢KCE.

ב.

היעזרו במשפט על הזווית שבין משיק למיתר, ומצאו את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

ג.

המעגל הנתון הוא המעגל החוסם את המשולש KCEKCEKCE. חשבו את אורכי הצלעות KEKEKE, CKCKCK ו-CECECE.

ד.

חשבו את ∢ECB\sphericalangle ECB∢ECB, את האורך EBEBEB ואת אורך הצלע ABABAB.

שאלה 5 · שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום: −3≤x≤3-3\le x\le3−3≤x≤3 והישרים: y=−1y=-1y=−1, y=1y=1y=1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.
f(x)y=1y=−1
-4-3-2-11234-2-112

(1)

∫−31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx∫−31​f(x)dx=−∫13​f(x)dx

(2)

∫03(f(x))3dx>−∫−30f(x)dx\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx∫03​(f(x))3dx>−∫−30​f(x)dx

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB6a2−186a^2-\frac186a2−81​3a3a3a
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ2a2a2a111

	$A$	סה"כ
$B$	$6a^2-\frac18$	$3a$
$\bar B$
סה"כ	$2a$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

נתון: P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B)P(\bar A\cap\bar B)=5P(A\cap B)P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B). חשבו את aaa.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−x+53x2+3x−18f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}f(x)=3x2+3x−18ax2−x+5​. aaa הוא פרמטר חיובי. ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 10.

(1)

מהו הערך של הפרמטר aaa?

(2)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1). מהו השטח של המלבן שנוצר על ידי ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד.

במעגל שמרכזו בנקודה OOO חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים ACACAC, CECECE, EGEGEG, GBGBGB, BDBDBD, DFDFDF, FAFAFA (ראו סרטוט).
OABCDEFG

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: ∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G הוא 540∘540^\circ540∘.

שאלה 6 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

שאלה 7 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה ∢BAD=120∘\sphericalangle BAD=120^\circ∢BAD=120∘. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה. הנקודה CCC נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הוכיחו: ∢KCE=30∘\sphericalangle KCE=30^\circ∢KCE=30∘.

ב.

נתון: ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את האורכים של צלעות המשולש KCEKCEKCE.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס EBAE\frac{EB}{AE}AEEB​.

ד.

נתון: EB=2AEEB=2AEEB=2AE.

חשבו את α\alphaα.

שאלה 8 · משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים ומשולש ישר-זווית שווה-שוקייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ∠ABC=70∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
OABCDE

א.

הראו כי S△ABC=2R2sin⁡70∘sin⁡αsin⁡(110∘−α)S_{\triangle ABC}=2R^2\sin70^\circ\sin\alpha\sin(110^\circ-\alpha)S△ABC​=2R2sin70∘sinαsin(110∘−α).

ב.

הביעו באמצעות R ו-α\alphaα את שטח המשולש ODC.

ג.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: 4sin⁡270∘4\sin^270^\circ4sin270∘.

מצאו את α\alphaα.

ד.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-∠CAE=45∘\angle CAE=45^\circ∠CAE=45∘, כמתואר בסרטוט.

(1)

הראו כי המשולש ACE ישר-זווית ושווה-שוקיים.

(2)

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

שאלה 9 · שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

בעבור כל nnn טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי 32n−13^{2n}-132n−1 מתחלק ב-8 ללא שארית.

(2)

נתון: ppp הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של ppp שבעבורו הביטוי 32n+2+p3^{2n+2}+p32n+2+p מתחלק ב-24 ללא שארית, לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה: f(x)=(1−1x2)3f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)^3f(x)=(1−x21​)3.
גרף א
גרף ב
גרף ג

(1)

אחד מן הגרפים א-ג מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו בקצרה.

(2)

קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו את התשובה.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

חשבו את הערכים של: h(0)h(0)h(0), h(4)h(4)h(4), h(6)h(6)h(6).

(2)

קבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) יורדת. נמקו את התשובה.

ד.

לפניכם משולש חד-זווית ABC חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α, ∠ABC=2α\angle ABC=2\alpha∠ABC=2α. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F.
ABCDEF

הביעו באמצעות α\alphaα את זוויות המשולש DEF.

שאלה 10 · מעגל וקטעים מקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית, דמיון ויחס שטחים במספריםשאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 7. הנקודה CCC נמצאת על המעגל, ו-BC=7BC=7BC=7. הנקודה KKK נמצאת על OCOCOC והנקודה EEE על OBOBOB, כך ש-OK=OE=4OK=OE=4OK=OE=4. הישר AKAKAK פוגש את חוצה הזווית BOCBOCBOC בנקודה MMM, שנמצאת מחוץ למעגל.
OABCKEM

א.

הוכיחו כי EK∥BCEK\parallel BCEK∥BC, ומצאו את אורך הקטע EKEKEK.

ב.

הראו כי ∠BOM=∠BAC\angle BOM=\angle BAC∠BOM=∠BAC, והסיקו כי OM∥ACOM\parallel ACOM∥AC.

ג.

מצאו את האורך ACACAC ואת האורך OMOMOM.

ד.

הוכיחו כי ME=MKME=MKME=MK, ומצאו את היחס בין שטח המשולש AKCAKCAKC לשטח המשולש OKMOKMOKM.

עוד 12 שאלות על זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק בקצה הקרוב של הקוטר: אורכים בפרמטר, F אינה אמצע, בעיה הפוכה ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך O וחותך את המעגל…
טריגונומטריה במעגל: זווית ישרה, זווית מרכזית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה…
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים וזווית של 30 מעלות (שאלה מלאה · בינונית)
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך…
משולש חד-זוויות ומרובע בר-חסימה CEFO: ניצבות מהמרכז ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, פסילת פתרון ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=45^\circ$ . נסמן:…
מעגל, שני משיקים ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $AM$ …
חוצה זווית מרכזית מקביל למיתר (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל, כך ש- $OD$ חוצה את הזווית $AOC$ .
מעגל, אמצע קשת ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD=CD$ , והנקודה $D$ נמצאת על הקשת $BC$ שאינה…
משולש שווה צלעות חסום במעגל וקוטר מקודקוד (שאלה קצרה · בינונית)
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ . $BD$ הוא קוטר במעגל (ראו ציור).
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הקודקוד $A$ נמצא בתוך המעגל, ומרכז המעגל $O$ נמצא על המשך הצלע…
טריגונומטריה במעגל: יחס שטחים כפרמטר ותחום הזווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ מעבר ל- $A$ פוגש את…
שני משיקים שנפגשים על המשך הקוטר: זוויות, אורך משיק ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נפגשים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
משיק, מיתרים מקבילים ודמיון: יחסי שטחים ונקודות על מעגל · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
מנקודה B, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה C, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודות E ו-A, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על המעגל כך שהמיתר CD מקביל למיתר…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, משוואה $sin x = sin β$ ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=60^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .
מעגל, דלתון ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה…
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ . המשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ . נתון:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (שאלה קצרה · קלה)
במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5 העבירו מיתר $PQ$ שאורכו 8. הנקודה $R$ נמצאת על הקשת הגדולה $PQ$ , והנקודה $T$ נמצאת…