מבחן לדוגמה: סדרה חשבונית - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את $a_1$, $a_2$ ו-$a_3$.

הסבירו מדוע $a_{n+1}=4n+3$ לכל $n$ טבעי, והוכיחו שהסדרה $a_n$ חשבונית.

מגדירים סדרה נוספת $b_n$ כך ש-$b_1=2$ ו-$b_{n+1}-b_n=a_n$ לכל $n$.

חשבו את $b_2$, $b_3$ ו-$b_4$.

הראו כי לכל $n$ מתקיים $\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=\frac{a_n}{4}$, וחשבו את הסכום:

הראו כי $b_n$ היא סדרה חשבונית, ומצאו את $b_1$ ואת כלל הנסיגה של $b_n$.

חשבו את $a_{10}$.

הביעו באמצעות $n$ ו-$d$ את ההפרשים $M-P$ ו-$Q-M$. מה אפשר להסיק על $P$, $M$ ו-$Q$?

נתון: $P=120$, $M=70$, $d$ הוא מספר שלם ו-$n>1$.

מצאו את $n$, את $d$ ואת $a_1$.

בסדרה שמצאתם בסעיף ב: כמה מאיברי הסדרה חיוביים? מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים $S_k$ ($1\le k\le3n$), ובעבור אילו ערכים של $k$ הוא מתקבל?

מתבוננים בסדרה החשבונית האינסופית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה הם אלה שמצאתם בסעיף ב. לכל $n$ טבעי לוקחים את $3n$ האיברים הראשונים שלה, ומסמנים ב-$M(n)$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים מביניהם.

מצאו את כל הערכים של $n$ שבעבורם $M(n)>0$, ואת הערך של $n$ שבעבורו $M(n)$ הוא הגדול ביותר.

חשבו את $S_{20}$. נמקו.

הראו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=dn+a_1-d$ ו-$S_n=\frac d2n^2+\left(a_1-\frac d2\right)n$. רשמו את משוואת הישר $\ell$ ואת משוואת הפרבולה $y=S(x)$.

הוכיחו כי שיעור ה-$x$ של קדקוד הפרבולה קטן ב-$\frac12$ משיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של הישר $\ell$ עם ציר ה-$x$.

נתון: $a_1=38$, וקדקוד הפרבולה $y=S(x)$ נמצא בנקודה שבה $x=10$.

מצאו את $d$. מהו הסכום הגדול ביותר $S_n$, ועבור איזה $n$ הוא מתקבל?

מצאו את $a_1$ ואת $d$.

הביעו באמצעות $k$ את סכום $k$ האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים, $a_2+a_4+\dots+a_{2k}$, ומצאו עבור איזה $k$ סכום זה שווה ל-$100$.

הראו כי B היא סדרה חשבונית שהפרשה $d$, וכי $b_1=a_1+d$.

הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $b_k^2-b_{k+1}^2=-d\,(b_k+b_{k+1})$.

נתון: $d=2$ ו-

חשבו את $b_1$.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים ($a_1+a_3+a_5+\ldots$). מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר כדי שהסכום יהיה חיובי?

הביעו באמצעות $m$ את התשלום הראשון ואת התשלום האחרון.

מהו מספר התשלומים הגדול ביותר שהקונה יכול לבחור?

התשלום הראשון של אחד הקונים היה 2,250 ₪. כמה תשלומים בחר?