דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתונים - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מציאת האיבר הראשון וההפרש בסדרה חשבונית מתוך שני איברים נתונים, לכיתה י"א, 5 יחידות. לצד שאלות ישירות כמו נתון a_7 ו-a_15, יש שאלות שבהן נתונים מכפלה וסכום ריבועים של שני איברים, תנאי על סכום איברים לצד מכפלה, נקודות של הסדרה על ישר שעובר בנקודה נתונה, ומקרה שבו האיבר במקום ה-k שווה ל-m ולהפך. רמות הקושי: קלה, בינונית וקשה, עם רוב בינוני. המורה בוחר שאלות לבוחן או לדף עבודה ומקבל פתרון מלא וקובץ Word.

32 שאלותקלה: 10בינונית: 15קשה: 7

שאלה 1 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קלה

הנקודות (n,an)(n,a_n) של סדרה חשבונית נמצאות כולן על ישר אחד. ידוע כי הישר עובר בנקודה (0,5)(0,5), וכי האיבר השביעי בסדרה הוא a7=26a_7=26.

א.

מצאו את הפרש הסדרה ואת האיבר הראשון שלה.

ב.

האם המספר 101101 הוא איבר בסדרה? אם כן, מצאו את מקומו; אם לא, נמקו.

שאלה 2 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית ana_n נתון כי האיבר במקום ה-kk שווה ל-mm, והאיבר במקום ה-mm שווה ל-kk, כאשר kk ו-mm מספרים טבעיים שונים.

א.

מצאו את הפרש הסדרה, והביעו את האיבר הראשון באמצעות kk ו-mm.

ב.

מצאו את האיבר במקום ה-(k+m)(k+m) בסדרה.

שאלה 3 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קשה

נתונה סדרה חשבונית עולה שכל איבריה חיוביים. נתון: a2⋅a7=39a_2\cdot a_7=39, a22+a72=178a_2^2+a_7^2=178.

מצאו את האיבר הראשון של הסדרה ואת הפרשה.

שאלה 4 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קלה

בסדרה חשבונית ana_n נתון: a7=5a_7=5 ו-a15=−19a_{15}=-19.

א.

מצאו את הפרש הסדרה ואת האיבר הראשון שלה.

ב.

כמה איברים חיוביים יש בסדרה?

שאלה 5 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית שכל איבריה חיוביים מתקיים a3+a7=2a4+6a_3+a_7=2a_4+6, וגם a2⋅a5=70a_2\cdot a_5=70.

מצאו את האיבר הראשון של הסדרה ואת הפרשה.

שאלה 6 · סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית: שתי סדרות מתאימות ומתי הסכום חיובישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots שהפרשה d≠0d\neq0. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים שלה, וב-UnU_n את הסכום Un=a12−a22+a32−a42+…+a2n−12−a2n2U_n=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\ldots+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2.

א.

הביעו את UnU_n באמצעות dd ו-S2nS_{2n}.

ב.

נתון: U10=160U_{10}=160 ו-U20=−1280U_{20}=-1280. מצאו את כל האפשרויות ל-a1a_1 ול-dd.

ג.

מצאו את כל הערכים של nn שבעבורם Un>0U_n>0. האם התשובה שונה בין שתי הסדרות שמצאתם?

שאלה 7 · מציאת ההפרש והאיבר הראשון משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה חשבונית A: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots. נתון: a4=14a_4=14, a10=32a_{10}=32.

מצאו את הפרש הסדרה ואת a1a_1.

שאלה 8 · סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת המכפלות, מונוטוניות, סדרה חשבונית ושוויון סכומיםשאלה מלאה · בינונית

נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות מתכנסות A ו-B, שכל איבריהן שונים מ-0. האיבר הכללי של הסדרה A הוא ana_n ומנתה היא qAq_A. האיבר הכללי של הסדרה B הוא bnb_n ומנתה היא qBq_B.

משתי הסדרות ההנדסיות A ו-B בונים סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת חדשה שאיבריה הם: a1b1, a2b2, a3b3,…,anbn,…a_1b_1,\ a_2b_2,\ a_3b_3,\ldots,a_nb_n,\ldots

כל שלוש הסדרות, הסדרה A, הסדרה B והסדרה החדשה, אינן קבועות.

א.

הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות qAq_A ו-qBq_B.

ב.

הסדרה A עולה, והסדרה B אינה עולה ואינה יורדת. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)-(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

(1)

הסדרה החדשה אינה עולה ואינה יורדת.

(2)

כל איברי הסדרה A הם חיוביים.

ג.

המספרים c1c_1, c2c_2 ו-c3c_3 הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית. נתון כי c3c_3 שווה ל-−2c2-2c_2, ומתקיים גם: c2⋅c3c1=1120\frac{c_2\cdot c_3}{c_1}=\frac1{120}.

מצאו את c1c_1.

ד.

נתון כי המנה של הסדרה החדשה שווה ל-c1c_1, ומתקיים גם: a1b1+a2b2+a3b3+…=(a1+a2+a3+…)⋅(b1+b2+b3+…)a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\ldots=(a_1+a_2+a_3+\ldots)\cdot(b_1+b_2+b_3+\ldots).

מצאו את הערכים של qAq_A ושל qBq_B.

שאלה 9 · שלושת השלישים של סדרה חשבונית: בעיה הפוכה וסכום מרבישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n3n איברים, שההפרש שלה הוא d≠0d\neq0. נסמן: PP - הסכום של nn האיברים הראשונים, MM - הסכום של nn האיברים האמצעיים, QQ - הסכום של nn האיברים האחרונים.

א.

הביעו באמצעות nn ו-dd את ההפרשים M−PM-P ו-Q−MQ-M. מה אפשר להסיק על PP, MM ו-QQ?

ב.

נתון: P=120P=120, M=70M=70, dd הוא מספר שלם ו-n>1n>1.

מצאו את nn, את dd ואת a1a_1.

ג.

בסדרה שמצאתם בסעיף ב: כמה מאיברי הסדרה חיוביים? מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים SkS_k (1≤k≤3n1\le k\le3n), ובעבור אילו ערכים של kk הוא מתקבל?

ד.

מתבוננים בסדרה החשבונית האינסופית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה הם אלה שמצאתם בסעיף ב. לכל nn טבעי לוקחים את 3n3n האיברים הראשונים שלה, ומסמנים ב-M(n)M(n) את הסכום של nn האיברים האמצעיים מביניהם.

מצאו את כל הערכים של nn שבעבורם M(n)>0M(n)>0, ואת הערך של nn שבעבורו M(n)M(n) הוא הגדול ביותר.

שאלה 10 · מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

המספרים c1c_1, c2c_2 ו-c3c_3 הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית עולה. נתון: c3=−c2c_3=-c_2, ו-c2⋅c3=−4c_2\cdot c_3=-4.

מצאו את c1c_1 ואת ההפרש של הסדרה.

עוד 8 שאלות על מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתונים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית עם פרמטר: מתי הוא מתאפס ומתי חיובי (שאלה מלאה · קשה)

    בסדרה חשבונית נתון: a1=k+6a_1=k+6, a5=5k−2a_5=5k-2. kk הוא פרמטר. נסמן: T=a12−a22+a32−a42+⋯+a192−a202T=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\dots+a_{19}^2-a_{20}^2.

  2. סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסדרה חשבונית A נתון: a2=7−2ka_2=7-2k, a6=3+6ka_6=3+6k. kk הוא פרמטר.

  3. סדרה חשבונית: מספר האיברים מסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים (שאלה מלאה · קשה)

    בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 132, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120.

  4. מציאת האיבר הראשון וההפרש משני איברים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)

    בסדרה חשבונית נתון: a4=2k+5a_4=2k+5, a9=20−3ka_9=20-3k. kk הוא פרמטר.

  5. האיבר במקום k שווה ל-m והאיבר במקום m שווה ל-k (שאלת ביניים · קשה)

    בסדרה חשבונית ana_n נתון כי האיבר במקום ה-kk שווה ל-mm, והאיבר במקום ה-mm שווה ל-kk, כאשר kk ו-mm מספרים טבעיים שונים.

  6. סדרה חשבונית: סכום השליש האמצעי (שאלה מלאה · בינונית)

    בסדרה חשבונית יש 3n3n איברים. סכום nn האיברים הראשונים שווה לנגדי של סכום nn האיברים האחרונים.

  7. מציאת ההפרש והאיבר הראשון מקשר בין איברים ומהאיבר האחרון (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית A, ובה 31 איברים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots. נתון: a3+a5=a9a_3+a_5=a_9. האיבר האחרון בסדרה A הוא 128.

  8. שני איברים התלויים בפרמטר: הפרש, מונוטוניות ומציאת הפרמטר (שאלת ביניים · בינונית)

    בסדרה חשבונית A נתון: a2=7−2ka_2=7-2k, a6=3+6ka_6=3+6k. kk הוא פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (11)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.