דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: סכום n איברים - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על סכום n איברים בסדרה חשבונית לכיתה י"א, 5 יחידות - אחד הנושאים העשירים במאגר. יש שאלות על שתי סדרות חשבוניות ומציאת n שבו הסכומים שווים, שאלות שבהן S_7=S_13 ומסיקים מכך על הסדרה, שאלות שבהן נתון S_n כנוסחה ומחלצים ממנה את האיבר הכללי, ושאלות על היחס בין סכומים של שתי סדרות. השאלות פרושות על פני רמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר לבנות מבחן, בוחן או דף עבודה, כולל פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

100 שאלותקלה: 42בינונית: 46קשה: 12

שאלה 1 · סכום n איבריםשאלה קצרה · קלה

נתונות שתי סדרות חשבוניות: 5, 9, 13,…5,\,9,\,13,\dots ו-50, 48, 46,…50,\,48,\,46,\dots. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים של הסדרה הראשונה, וב-TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים של הסדרה השנייה.

א.

מצאו את nn שעבורו Sn=TnS_n=T_n, וחשבו סכום זה.

ב.

עבור אילו ערכים של nn מתקיים Sn>TnS_n>T_n?

שאלה 2 · סכום n איבריםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית שהפרשה d≠0d\neq0 מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים. נתון: S7=S13S_7=S_{13}.

חשבו את S20S_{20}. נמקו.

שאלה 3 · סכום n איבריםשאלה קצרה · קשה

נתונות שתי סדרות חשבוניות, ana_n ו-bnb_n. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים של ana_n, וב-TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים של bnb_n. ידוע כי לכל nn טבעי מתקיים:

SnTn=7n+14n+27\frac{S_n}{T_n}=\frac{7n+1}{4n+27}

חשבו את היחס a11b11\dfrac{a_{11}}{b_{11}}.

שאלה 4 · מנוסחת הסכום לסדרה חשבונית, ואחריה סדרות הנדסיותשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה ana_n שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא: Sn=2n2+3nS_n=2n^2+3n.

א.

חשבו את a1a_1, a2a_2 ו-a3a_3.

ב.

הראו כי לכל nn טבעי מתקיים an=4n+1a_n=4n+1.

ג.

הוכיחו כי הסדרה ana_n היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

ד.

נתונה סדרה הנדסית bnb_n שבה b1=a1b_1=a_1 והמנה שווה ל-d2\frac{d}{2}. נתונה סדרה הנדסית אינסופית cnc_n שבה c1=a1c_1=a_1 והמנה שווה ל-1d\frac{1}{d} (dd - ההפרש של ana_n).

מצאו את mm שבעבורו סכום mm האיברים הראשונים של bnb_n הוא 1275.

ה.

מצאו את סכום כל איברי הסדרה cnc_n, וקבעו אם cnc_n סדרה עולה או יורדת. נמקו.

שאלה 5 · סכום n איבריםשאלה קצרה · בינונית

סכום nn האיברים הראשונים של סדרה הוא Sn=4n2−nS_n=4n^2-n לכל nn טבעי.

א.

מצאו את האיבר הכללי של הסדרה, והראו כי הסדרה חשבונית.

ב.

חשבו את a2+a4+a6+⋯+a20a_2+a_4+a_6+\dots+a_{20}.

שאלה 6 · סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית: שתי סדרות מתאימות ומתי הסכום חיובישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots שהפרשה d≠0d\neq0. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים שלה, וב-UnU_n את הסכום Un=a12−a22+a32−a42+…+a2n−12−a2n2U_n=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\ldots+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2.

א.

הביעו את UnU_n באמצעות dd ו-S2nS_{2n}.

ב.

נתון: U10=160U_{10}=160 ו-U20=−1280U_{20}=-1280. מצאו את כל האפשרויות ל-a1a_1 ול-dd.

ג.

מצאו את כל הערכים של nn שבעבורם Un>0U_n>0. האם התשובה שונה בין שתי הסדרות שמצאתם?

שאלה 7 · סדרה חשבונית בלי האיבר הראשון: סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots שהפרשה dd. מגדירים סדרה B: b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots כך ש-bn=an+1b_n=a_{n+1} לכל nn טבעי (כלומר B היא הסדרה A בלי האיבר הראשון). מסמנים ב-TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים של B.

א.

הראו כי B היא סדרה חשבונית שהפרשה dd, וכי b1=a1+db_1=a_1+d.

ב.

הראו כי לכל kk טבעי מתקיים: bk2−bk+12=−d (bk+bk+1)b_k^2-b_{k+1}^2=-d\,(b_k+b_{k+1}).

ג.

נתון: d=2d=2 ו-

b12−b22+b32−b42+…+b192−b202=−160b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\ldots+b_{19}^2-b_{20}^2=-160

חשבו את b1b_1.

ד.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1+a_3+a_5+\ldots). מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר כדי שהסכום יהיה חיובי?

שאלה 8 · סכום n איבריםשאלה קצרה · בינונית

סכום nn האיברים הראשונים של סדרה נתון על ידי Sn=3n2−2nS_n=3n^2-2n לכל nn טבעי.

חשבו את a10+a11+⋯+a20a_{10}+a_{11}+\dots+a_{20}.

שאלה 9 · שלושת השלישים של סדרה חשבונית: בעיה הפוכה וסכום מרבישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n3n איברים, שההפרש שלה הוא d≠0d\neq0. נסמן: PP - הסכום של nn האיברים הראשונים, MM - הסכום של nn האיברים האמצעיים, QQ - הסכום של nn האיברים האחרונים.

א.

הביעו באמצעות nn ו-dd את ההפרשים M−PM-P ו-Q−MQ-M. מה אפשר להסיק על PP, MM ו-QQ?

ב.

נתון: P=120P=120, M=70M=70, dd הוא מספר שלם ו-n>1n>1.

מצאו את nn, את dd ואת a1a_1.

ג.

בסדרה שמצאתם בסעיף ב: כמה מאיברי הסדרה חיוביים? מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים SkS_k (1≤k≤3n1\le k\le3n), ובעבור אילו ערכים של kk הוא מתקבל?

ד.

מתבוננים בסדרה החשבונית האינסופית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה הם אלה שמצאתם בסעיף ב. לכל nn טבעי לוקחים את 3n3n האיברים הראשונים שלה, ומסמנים ב-M(n)M(n) את הסכום של nn האיברים האמצעיים מביניהם.

מצאו את כל הערכים של nn שבעבורם M(n)>0M(n)>0, ואת הערך של nn שבעבורו M(n)M(n) הוא הגדול ביותר.

שאלה 10 · סדרה חשבונית בת 30 איברים: האיברים האמצעיים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית בת 30 איברים: a1,a2,…,a30a_1,a_2,\ldots,a_{30}, שההפרש שלה הוא dd.

א.

הראו כי a11+a20=a1+a30a_{11}+a_{20}=a_1+a_{30}, והסיקו כי סכום עשרת האיברים האמצעיים (a11a_{11} עד a20a_{20}) שווה לשליש מסכום כל איברי הסדרה.

ב.

נתון: a1=29a_1=29, וסכום עשרת האיברים האמצעיים הוא 0.

מצאו את dd.

ג.

כמה מאיברי הסדרה חיוביים?

ד.

מוחקים חלק מן האיברים, ונשארים האיברים: a3,a6,a9,…,a30a_3,a_6,a_9,\ldots,a_{30}.

הסבירו מדוע זו סדרה חשבונית, ומצאו את מספר איבריה ואת סכום איבריה.

עוד 33 שאלות על סכום n איברים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. סדרה חשבונית יורדת מנוסחת הסכום, וסדרות הנדסיות עם מנה שלילית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה ana_n שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא: Sn=p⋅n−k⋅n2S_n=p\cdot n-k\cdot n^2. k>0k>0, p>0p>0 הם פרמטרים.

  2. מיצוע חוזר של סדרה חשבונית: האיבר הראשון של , ממוצע קבוע ואיבר שמופיע לפי זוגיות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה סדרה חשבונית A ובה NN איברים (N≥3N\ge3). האיבר הראשון שלה a1a_1 והפרשה dd (d≠0d\ne0). מהסדרה A בונים סדרה B1B_1, שאיבריה הם הממוצעים…

  3. סדרת הממוצעים של סדרה חשבונית: הוכחה מודרכת וסכומים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה סדרה חשבונית A ובה 30 איברים. dd הוא הפרש הסדרה (d≠0d\ne0). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: bt=at+at+12b_t=\frac{a_t+a_{t+1}}{2}. בסדרה B יש 29…

  4. נוסחת סכום עם פרמטרים: תנאי התכנסות, יחס סכומים ומיון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה ana_n שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא Sn=kn2−pnS_n=kn^2-pn, כאשר k>0k>0, p>0p>0 ו-p≠kp\neq k. נתונות סדרה הנדסית bnb_n…

  5. סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית עם פרמטר: מתי הוא מתאפס ומתי חיובי (שאלה מלאה · קשה)

    בסדרה חשבונית נתון: a1=k+6a_1=k+6, a5=5k−2a_5=5k-2. kk הוא פרמטר. נסמן: T=a12−a22+a32−a42+⋯+a192−a202T=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\dots+a_{19}^2-a_{20}^2.

  6. סדרה חשבונית עם פרמטר וסכום מתחלף של ריבועים, בשלבים (שאלה מלאה · קלה)

    בסדרה חשבונית A נתון: a1=3k+1a_1=3k+1, a2=5k−1a_2=5k-1. kk הוא פרמטר.

  7. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה סדרה שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא Sn=2n2−n+3S_n=2n^2-n+3.

  8. סדרה חשבונית: מספר האיברים מסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים (שאלה מלאה · קשה)

    בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 132, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120.

  9. סדרה חשבונית בת 15 איברים: האיבר האמצעי (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה סדרה חשבונית ובה 15 איברים, a1,a2,…,a15a_1,a_2,\dots,a_{15}, שהפרשה dd.

  10. סדרה חשבונית והסדרה : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots והפרשה dd. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה A, לכל nn טבעי.…

  11. סדרה חשבונית: יחס בין סכומי שלישים כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    בסדרה חשבונית שהפרשה d≠0d\neq0 יש 3n3n איברים. נסמן ב-S1S_1, S2S_2, S3S_3 את הסכומים של nn האיברים הראשונים, של nn האיברים האמצעיים ושל nn…

  12. סדרה חשבונית בת 30 איברים: סכומי עשיריות (שאלה מלאה · קלה)

    בסדרה חשבונית יש 30 איברים, והפרשה dd. נסמן: S1S_1 - סכום 10 האיברים הראשונים, S2S_2 - סכום האיברים a11a_{11} עד a20a_{20}, S3S_3 - סכום 10…

  13. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    סכום nn האיברים הראשונים של סדרה ana_n הוא Sn=2n2−5nS_n=2n^2-5n, לכל nn טבעי.

  14. סכום הסכומים של סדרה חשבונית כללית: בעיה הפוכה ושינוי סימן (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה a1a_1 וההפרש שלה dd. נסמן ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים שלה, וב-TnT_n את הסכום…

  15. סכום n איברים (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה סדרה חשבונית שבה a1=3a_1=3 והפרש הסדרה d=4d=4.

  16. סדרה חשבונית בת איברים: סכום האיברים האמצעיים ותת-סדרה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית: a1,a2,…,a5na_1,a_2,\ldots,a_{5n} שבה 5n5n איברים, וההפרש שלה הוא dd. נסמן ב-Sn∗S_n^* את הסכום של nn האיברים האמצעיים של הסדרה.

  17. כלל נסיגה לסכומים עם פרמטר: מתי הסדרה חשבונית, ובעיה הפוכה בסכום (שאלה מלאה · קשה)

    הסדרה a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots מוגדרת על ידי כלל הנסיגה:

    {S1=2Sn+1=Sn+3n+k\begin{cases}S_1=2\\S_{n+1}=S_n+3n+k\end{cases}

    כאשר Sn=a1+a2+⋯+anS_n=a_1+a_2+\dots+a_n ו-kk הוא…

  18. סדרה חשבונית: סכום הסכומים - הוכחה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הסדרה החשבונית 2,5,8,11,…2,5,8,11,\dots נסמן ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה, וב-TnT_n את הסכום Tn=S1+S2+⋯+SnT_n=S_1+S_2+\dots+S_n.

  19. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    בסדרה חשבונית שההפרש שלה d≠0d\neq0 מתקיים: a1=−14⋅∣d∣a_1=-14\cdot|d|. הסכום של kk האיברים הראשונים של הסדרה הוא 0 (k>1k>1).

  20. סכומי שלושה שלישים של סדרה וסכום חלקי מרבי (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה סדרה חשבונית בת 3n3n איברים, שההפרש שלה הוא d≠0d\neq0. נסמן: PP - הסכום של nn האיברים הראשונים, MM - הסכום של nn האיברים האמצעיים,…

  21. סדרה חשבונית מכלל נסיגה לסכומים: מודרך (שאלה מלאה · קלה)

    הסדרה a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots מוגדרת על ידי כלל הנסיגה:

    {S1=3Sn+1=Sn+4n+3\begin{cases}S_1=3\\S_{n+1}=S_n+4n+3\end{cases}

    כאשר Sn=a1+a2+⋯+anS_n=a_1+a_2+\dots+a_n.

  22. סדרה חשבונית וסדרת הפרשי הריבועים של איברים סמוכים: הפרש, יחס סכומים ואיברים אמצעיים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית A ובה 2n2n איברים (nn הוא מספר טבעי). dd הוא הפרש הסדרה (d≠0d\ne0). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה:…

  23. נוסחת הסכום של סדרה חשבונית נתונה (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הסדרה החשבונית הבאה: 3,7,11,15,…3,7,11,15,\dots נסמן ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה הנ"ל.

  24. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    בסדרה חשבונית יש 24 איברים, וסכומם 1080.

  25. סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסדרה חשבונית A נתון: a2=7−2ka_2=7-2k, a6=3+6ka_6=3+6k. kk הוא פרמטר.

  26. סדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכום המקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1} ובה 2n+12n+1 איברים (nn מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 31 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.

  27. שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס וקוסינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    f(x)=x2−162x+3f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{2x+3}

  28. סדרה חשבונית: סכום השליש האמצעי (שאלה מלאה · בינונית)

    בסדרה חשבונית יש 3n3n איברים. סכום nn האיברים הראשונים שווה לנגדי של סכום nn האיברים האחרונים.

  29. סדרה חשבונית: סכום הסכומים החלקיים והוכחה באינדוקציה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הסדרה החשבונית הבאה: 3,7,11,15,…3,7,11,15,\dots נסמן ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה הנ"ל.

  30. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הסדרה החשבונית 7,10,13,16,…7,10,13,16,\dots, ונסמן ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים שלה.

  31. סדרה חשבונית מכלל נסיגה לסכומים, וסכום טלסקופי של מנות (שאלה מלאה · בינונית)

    הסדרה a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots מוגדרת על ידי כלל הנסיגה:

    {S1=−1Sn+1=Sn+5n−1\begin{cases}S_1=-1\\S_{n+1}=S_n+5n-1\end{cases}

    כאשר Sn=a1+a2+a3+⋯+anS_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n.

  32. סכום n איברים (שאלה קצרה · בינונית)

    סכום nn האיברים הראשונים בסדרה ana_n הוא Sn=3n2−5nS_n=3n^2-5n לכל nn טבעי.

  33. האיבר הכללי מתוך נוסחת הסכום עם פרמטרים (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה סדרה ana_n שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא: Sn=p⋅n−k⋅n2S_n=p\cdot n-k\cdot n^2. k>0k>0, p>0p>0 הם פרמטרים.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (47)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.