דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על סדרות משולבות לכיתה י"א, 5 יחידות: סדרה c_n שבמקומות האי-זוגיים שלה סדרה חשבונית אחת ובמקומות הזוגיים סדרה אחרת. התלמידים כותבים את האיבר הכללי לפי זוגיות המקום, מחשבים סכום של מספר זוגי או אי-זוגי של איברים, ומוצאים פרמטרים מתוך תנאים על הסכום. יש שאלות קלות, בינוניות וקשות. מהשאלות האלה אפשר להרכיב בוחן ממוקד או דף עבודה, ולכל אחת יש פתרון כתוב במלואו שיוצא יחד איתה לקובץ Word.

22 שאלותקלה: 7בינונית: 10קשה: 5

שאלה 1 · סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניותשאלה קצרה · קלה

בסדרה cnc_n האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים (c1,c3,c5,…c_1,c_3,c_5,\dots) מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון aa והפרשה 33, והאיברים הנמצאים במקומות הזוגיים (c2,c4,c6,…c_2,c_4,c_6,\dots) מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 2a2a והפרשה −1-1. נתון כי סכום 2020 האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n הוא 150150.

א.

מצאו את aa.

ב.

כמה מבין 2020 האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n הם מספרים שליליים?

שאלה 2 · סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניותשאלה קצרה · בינונית

בסדרה cnc_n האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 22 והפרשה pp, והאיברים הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 55 והפרשה 33.

א.

האם קיים ערך של pp שעבורו הסדרה cnc_n כולה היא סדרה חשבונית? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

ב.

עבור p=6p=6, חשבו את סכום 3030 האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n.

שאלה 3 · סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניותשאלה קצרה · קשה

סדרה cnc_n בנויה כך: במקומות האי-זוגיים מופיעים, לפי הסדר, המספרים 1,3,5,7,…1,3,5,7,\dots ובמקומות הזוגיים מופיעים, לפי הסדר, המספרים 10,8,6,4,…10,8,6,4,\dots. מסמנים ב-SmS_m את סכום mm האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n.

א.

חשבו את S20S_{20}.

ב.

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר mm שעבורו מתקיים Sk>100S_k>100 לכל k≥mk\ge m. נמקו.

שאלה 4 · סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניותשאלה קצרה · קלה

בסדרה cnc_n האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים (c1,c3,c5,…c_1,c_3,c_5,\dots) מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 55 והפרשה 44, והאיברים הנמצאים במקומות הזוגיים (c2,c4,c6,…c_2,c_4,c_6,\dots) מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 2020 והפרשה −3-3.

א.

מצאו את c15c_{15} ואת c16c_{16}.

ב.

חשבו את סכום 1616 האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n.

שאלה 5 · סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניותשאלה קצרה · בינונית

בסדרה cnc_n האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 22 והפרשה dd, והאיברים הנמצאים במקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 2020 והפרשה −d-d. נתון: c41=162c_{41}=162.

א.

מצאו את dd.

ב.

חשבו את סכום 4141 האיברים הראשונים של הסדרה cnc_n.

שאלה 6 · סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית: שתי סדרות מתאימות ומתי הסכום חיובישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots שהפרשה d≠0d\neq0. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים שלה, וב-UnU_n את הסכום Un=a12−a22+a32−a42+…+a2n−12−a2n2U_n=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\ldots+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2.

א.

הביעו את UnU_n באמצעות dd ו-S2nS_{2n}.

ב.

נתון: U10=160U_{10}=160 ו-U20=−1280U_{20}=-1280. מצאו את כל האפשרויות ל-a1a_1 ול-dd.

ג.

מצאו את כל הערכים של nn שבעבורם Un>0U_n>0. האם התשובה שונה בין שתי הסדרות שמצאתם?

שאלה 7 · סדרה חשבונית בלי האיבר הראשון: סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots שהפרשה dd. מגדירים סדרה B: b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots כך ש-bn=an+1b_n=a_{n+1} לכל nn טבעי (כלומר B היא הסדרה A בלי האיבר הראשון). מסמנים ב-TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים של B.

א.

הראו כי B היא סדרה חשבונית שהפרשה dd, וכי b1=a1+db_1=a_1+d.

ב.

הראו כי לכל kk טבעי מתקיים: bk2−bk+12=−d (bk+bk+1)b_k^2-b_{k+1}^2=-d\,(b_k+b_{k+1}).

ג.

נתון: d=2d=2 ו-

b12−b22+b32−b42+…+b192−b202=−160b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\ldots+b_{19}^2-b_{20}^2=-160

חשבו את b1b_1.

ד.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1+a_3+a_5+\ldots). מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר כדי שהסכום יהיה חיובי?

שאלה 8 · סדרה חשבונית והסדרה : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגייםשאלה מלאה · בינונית

נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots והפרשה dd. מסמנים ב-SnS_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה A, לכל nn טבעי. מגדירים סדרה נוספת, B, שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots. איברי הסדרה B מקיימים: bn=Sn+2−Snb_n=S_{n+2}-S_n לכל nn טבעי.

א.
(1)

האם הסדרה B היא סדרה חשבונית? אם כן, מצאו את הפרשה. נמקו.

(2)

האם הסדרה B זהה לסדרה A? נמקו.

ב.

מסמנים ב-TnT_n את סכום nn האיברים הראשונים בסדרה B, לכל nn טבעי.

הוכיחו כי לכל nn טבעי זוגי מתקיים:

Tn=(b1+b2)(b1−b2)+(b3+b4)(b3−b4)+…+(bn−1+bn)(bn−1−bn)−2dT_n=\frac{(b_1+b_2)(b_1-b_2)+(b_3+b_4)(b_3-b_4)+\ldots+(b_{n-1}+b_n)(b_{n-1}-b_n)}{-2d}
ג.

נתון:

b12−b22+b32−b42+…+b372−b382=−152b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\ldots+b_{37}^2-b_{38}^2=-152
T5=−25T_5=-25

חשבו את b1b_1 ואת dd (אפשר להיעזר בסעיף ב).

ד.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים, החל באיבר הראשון.

מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי ושלם? נמקו.

שאלה 9 · סכום מתחלף של ריבועים בסדרה חשבונית עם פרמטר: מתי הוא מתאפס ומתי חיובישאלה מלאה · קשה

בסדרה חשבונית נתון: a1=k+6a_1=k+6, a5=5k−2a_5=5k-2. kk הוא פרמטר.

נסמן: T=a12−a22+a32−a42+⋯+a192−a202T=a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\dots+a_{19}^2-a_{20}^2.

א.

הביעו באמצעות kk ו-nn את האיבר הכללי ana_n.

ב.

הביעו את TT באמצעות kk.

ג.

מצאו את כל הערכים של kk שבעבורם T=0T=0, ואת כל הערכים של kk שבעבורם T>0T>0. הסבירו מה קורה בסדרה בכל אחד מהערכים שבהם T=0T=0.

ד.

נתון: הסדרה עולה, ו-T=−4000T=-4000. מצאו את kk ואת a20a_{20}.

שאלה 10 · סדרה חשבונית עם פרמטר וסכום מתחלף של ריבועים, בשלביםשאלה מלאה · קלה

בסדרה חשבונית A נתון: a1=3k+1a_1=3k+1, a2=5k−1a_2=5k-1. kk הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו את ההפרש של הסדרה A באמצעות kk, ומצאו עבור אילו ערכים של kk הסדרה עולה.

(2)

מצאו עבור אילו ערכים של kk הסדרה A יורדת.

ב.

נתון: a11=−42a_{11}=-42. מצאו את kk.

ג.

הציבו את kk שמצאתם. נתונה סדרה B: לכל nn טבעי, bn=an+7nb_n=a_n+7n.

הראו כי bn=3n+2b_n=3n+2, והסיקו כי B סדרה חשבונית. מהו ההפרש שלה?

ד.
(1)

הראו כי לכל mm טבעי: b2m−12−b2m2=−3 (b2m−1+b2m)b_{2m-1}^2-b_{2m}^2=-3\,(b_{2m-1}+b_{2m}).

(2)

חשבו את הסכום: b12−b22+b32−b42+⋯+b192−b202b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\dots+b_{19}^2-b_{20}^2.

עוד 7 שאלות על סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הסדרה החשבונית 3,7,11,15,…3, 7, 11, 15, \ldots

  2. מתי סכומי סדרה משולבת עוברים את 100 לתמיד (שאלה קצרה · קשה)

    סדרה cnc_n בנויה כך: במקומות האי-זוגיים מופיעים, לפי הסדר, המספרים 1,3,5,7,…1,3,5,7,\dots ובמקומות הזוגיים מופיעים, לפי הסדר, המספרים…

  3. איבר במקום זוגי ואיבר במקום אי-זוגי בסדרה משולבת (שאלה קצרה · קלה)

    בסדרה cnc_n האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים (c1,c3,c5,…c_1,c_3,c_5,\dots) מהווים סדרה חשבונית שאיברה הראשון 55 והפרשה 44, והאיברים הנמצאים…

  4. סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסדרה חשבונית A נתון: a2=7−2ka_2=7-2k, a6=3+6ka_6=3+6k. kk הוא פרמטר.

  5. סדרה לפי הכלל a(n+2)=a(n)+6 עם פרמטר: סכום 40 איברים והמקום הראשון שבו האיבר גדול מ-100 (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה סדרה המקיימת את הכלל: an+2=an+6a_{n+2}=a_n+6. נתון: a1=2a_1=2, a2=ta_2=t.

  6. סדרות משולבות עם תת-סדרות חשבוניות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית שהפרשה 2. נתון: a22−a12+a42−a32+⋯+a202−a192=1000a_2^2-a_1^2+a_4^2-a_3^2+\dots+a_{20}^2-a_{19}^2=1000.

  7. סדרה לפי הכלל a(n+2)=a(n)-3: איברים, תת-סדרה וסכום 60 איברים (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה סדרה המקיימת את הכלל: an+2=an−3a_{n+2}=a_n-3. נתון: a4=15a_4=15, a3=10a_3=10.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.