שאלות פתוחות: תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול תת-סדרות במקומות הזוגיים והאי-זוגיים של סדרה חשבונית, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות נתונים סכום כל האיברים וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים ומוצאים את מספר האיברים, נתון יחס בין סכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים, או שבונים סדרה חדשה מאיברים שנבחרו ובודקים שהיא חשבונית. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. בוחרים שאלות לבוחן, לדף עבודה או למבחן, ומקבלים לכל אחת פתרון מלא וקובץ Word.

39 שאלותקלה: 14בינונית: 22קשה: 3

שאלה 1 · תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · קלה

בסדרה חשבונית שהפרשה d=3d=3d=3 יש 2n2n2n איברים. סכום כל איברי הסדרה הוא 390390390, וסכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 180180180.

א.

מצאו כמה איברים יש בסדרה.

ב.

מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

שאלה 2 · תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית עולה יש 2n2n2n איברים, והאיבר הראשון בה שווה להפרש הסדרה: a1=da_1=da1​=d. היחס בין סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים לסכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 76\frac{7}{6}67​.

א.

מצאו כמה איברים יש בסדרה.

ב.

נתון בנוסף כי סכום כל איברי הסדרה הוא 234234234. מצאו את הפרש הסדרה.

שאלה 3 · סדרה חשבונית: מספר האיברים מסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגייםשאלה מלאה · קשה

בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 132, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120.

א.

מצאו את מספר האיברים בסדרה ואת האיבר האמצעי.

ב.

נתון גם שמכפלת האיבר הראשון והאיבר האחרון היא 80. מצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש (כל האפשרויות).

ג.

עבור כל אחת מהסדרות שמצאתם, מצאו את המספר הקטן ביותר kkk שבעבורו סכום kkk האיברים הראשונים גדול מ-200.

שאלה 4 · סדרה חשבונית בלי האיבר הראשון: סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldotsa1​,a2​,a3​,… שהפרשה ddd. מגדירים סדרה B: b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldotsb1​,b2​,b3​,… כך ש-bn=an+1b_n=a_{n+1}bn​=an+1​ לכל nnn טבעי (כלומר B היא הסדרה A בלי האיבר הראשון). מסמנים ב-TnT_nTn​ את סכום nnn האיברים הראשונים של B.

א.

הראו כי B היא סדרה חשבונית שהפרשה ddd, וכי b1=a1+db_1=a_1+db1​=a1​+d.

ב.

הראו כי לכל kkk טבעי מתקיים: bk2−bk+12=−d (bk+bk+1)b_k^2-b_{k+1}^2=-d\,(b_k+b_{k+1})bk2​−bk+12​=−d(bk​+bk+1​).

ג.

נתון: d=2d=2d=2 ו-
b12−b22+b32−b42+…+b192−b202=−160b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\ldots+b_{19}^2-b_{20}^2=-160b12​−b22​+b32​−b42​+…+b192​−b202​=−160

חשבו את b1b_1b1​.

ד.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1+a_3+a_5+\ldotsa1​+a3​+a5​+…). מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר כדי שהסכום יהיה חיובי?

שאלה 5 · תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית ana_nan​, סכום 101010 האיברים הראשונים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 200200200, וסכום 555 האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 606060.

מצאו את סכום 202020 האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים.

שאלה 6 · סכום איברי המקומות האי-זוגיים: חיובי ושלםשאלה קצרה · קשה

נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldotsa1​,a2​,a3​,… והפרשה d=13d=\frac13d=31​. מסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים בסדרה A. מגדירים סדרה B: bn=Sn+2−Snb_n=S_{n+2}-S_nbn​=Sn+2​−Sn​ לכל nnn טבעי, כלומר bn=an+1+an+2b_n=a_{n+1}+a_{n+2}bn​=an+1​+an+2​. נתון: b1=−193b_1=-\frac{19}{3}b1​=−319​.

מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה A הנמצאים במקומות האי-זוגיים, החל באיבר הראשון.

מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי ושלם? נמקו.

שאלה 7 · סדרה חשבונית בת 30 איברים: האיברים האמצעיים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית בת 30 איברים: a1,a2,…,a30a_1,a_2,\ldots,a_{30}a1​,a2​,…,a30​, שההפרש שלה הוא ddd.

א.

הראו כי a11+a20=a1+a30a_{11}+a_{20}=a_1+a_{30}a11​+a20​=a1​+a30​, והסיקו כי סכום עשרת האיברים האמצעיים (a11a_{11}a11​ עד a20a_{20}a20​) שווה לשליש מסכום כל איברי הסדרה.

ב.

נתון: a1=29a_1=29a1​=29, וסכום עשרת האיברים האמצעיים הוא 0.

מצאו את ddd.

ג.

כמה מאיברי הסדרה חיוביים?

ד.

מוחקים חלק מן האיברים, ונשארים האיברים: a3,a6,a9,…,a30a_3,a_6,a_9,\ldots,a_{30}a3​,a6​,a9​,…,a30​.

הסבירו מדוע זו סדרה חשבונית, ומצאו את מספר איבריה ואת סכום איבריה.

שאלה 8 · תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגייםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית ana_nan​ שהפרשה ddd, סכום kkk האיברים הראשונים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא a1+a3+⋯+a2k−1=3k2+2ka_1+a_3+\dots+a_{2k-1}=3k^2+2ka1​+a3​+⋯+a2k−1​=3k2+2k, לכל kkk טבעי.

א.

מצאו את a1a_1a1​ ואת ddd.

ב.

הביעו באמצעות kkk את סכום kkk האיברים הראשונים הנמצאים במקומות הזוגיים, a2+a4+⋯+a2ka_2+a_4+\dots+a_{2k}a2​+a4​+⋯+a2k​, ומצאו עבור איזה kkk סכום זה שווה ל-100100100.

שאלה 9 · מספר האיברים מסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגייםשאלת ביניים · קשה

בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 132, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120.

א.

מצאו את מספר האיברים בסדרה ואת האיבר האמצעי.

ב.

נתון גם שמכפלת האיבר הראשון והאיבר האחרון היא 80. מצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש (כל האפשרויות).

ג.

עבור כל אחת מהסדרות שמצאתם, מצאו את המספר הקטן ביותר kkk שבעבורו סכום kkk האיברים הראשונים גדול מ-200.

שאלה 10 · סדרה הנדסית אין-סופית וסדרת סכומי זוגות עוקבים: מנה, סכום, סדרה קבועה וסכום מתחלףשאלה מלאה · קלה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה a1=12a_1=12a1​=12 ו-q=13q=\frac13q=31​.

א.

bnb_nbn​ היא סדרה שאיבריה מקיימים bn=an+an+1b_n=a_n+a_{n+1}bn​=an​+an+1​ לכל nnn טבעי.

הראו כי bn=43anb_n=\frac43a_nbn​=34​an​ לכל nnn, והסיקו כי bnb_nbn​ היא סדרה הנדסית. מהי המנה שלה?

ב.

מצאו את סכום הסדרה bnb_nbn​.

ג.

cnc_ncn​ היא סדרה שאיבריה מקיימים cn=bnanc_n=\frac{b_n}{a_n}cn​=an​bn​​ לכל nnn טבעי.
נתון כי סכום kkk האיברים הראשונים בסדרה cnc_ncn​ הוא 40.

הראו כי הסדרה cnc_ncn​ היא קבועה, ומצאו את kkk.

ד.

מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה cnc_ncn​.

מצאו את סכום kkk האיברים הראשונים בסדרה cnc_ncn​ לאחר החלפת הסימנים. נמקו.

עוד 12 שאלות על תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
שלושת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית $b_n$ הם $k-1$ , $2k+1$ , $k^2-1$ (בסדר זה), כאשר $k$ פרמטר. ידוע כי כל איברי הסדרה חיוביים.
סדרה חשבונית בת 15 איברים: האיבר האמצעי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית ובה 15 איברים, $a_1,a_2,\dots,a_{15}$ , שהפרשה $d$ .
סדרה חשבונית והסדרה $b_{n} = S_{n + 2} - S_{n}$ : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ והפרשה $d$ . מסמנים ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה A, לכל $n$ טבעי.…
הפרש סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית ובה 15 איברים, $a_1,a_2,\dots,a_{15}$ , שהפרשה $d$ . נתון: $a_8=12$ .
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=0.4n-7$ .
סדרה חשבונית בת $5 n$ איברים: סכום האיברים האמצעיים ותת-סדרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,\ldots,a_{5n}$ שבה $5n$ איברים, וההפרש שלה הוא $d$ . נסמן ב- $S_n^*$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים של הסדרה.
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית בת 60 איברים, שהאיבר הראשון שלה הוא 40 וההפרש שלה הוא $-1.5$ . מוחקים חלק מן האיברים, ונשארים רק האיברים…
סדרה הנדסית מתחלפת בסימן וסדרת $a_{n} - a_{n + 1} + a_{n + 2}$ : מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיבריה מתחלפים בסימן, והערך המוחלט של כל איבר בה קטן מהערך המוחלט של האיבר שלפניו. מנת הסדרה היא $q$ .
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=3n+1$ . מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים, ומתקבלת הסדרה $4,\ -7,\ 10,\ -13,\ \ldots$
סדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכום המקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ ובה $2n+1$ איברים ( $n$ מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 31 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.
תת-סדרות במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש 20 איברים. סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב-30 מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים, וסכום כל הסדרה הוא 650.
סדרה בת מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכום המקומות האי-זוגיים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ ובה $2n+1$ איברים ( $n$ מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 31 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה חשבונית והסדרה $b_{n} = S_{n + 1} - S_{n}$ : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 2
נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ והפרשה $d$ . מסמנים ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה A, לכל $n$ טבעי. מגדירים סדרה נוספת,…
סדרה חשבונית בת $3 n$ איברים: סכום האיברים האמצעיים ותת-סדרה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,\ldots,a_{3n}$ שבה $3n$ איברים, וההפרש שלה הוא $d$ . נסמן ב- $S_n^*$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים של הסדרה.
סדרה הנדסית יורדת וסדרת הסכומים של שלושה איברים עוקבים: מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ .
סדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+3}$ ובה $2n+3$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 43 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · קלה)
סכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה נתון על ידי $S_n=3n^2+2n$ .
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית עולה יש $2n$ איברים. האיבר הראשון בסדרה שווה להפרש הסדרה $d$ (כלומר $a_1=d>0$ ).
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה $c_n$ האיברים שבמקומות האי-זוגיים ( $c_1,c_3,c_5,\dots$ ) הם סדרה חשבונית, וגם האיברים שבמקומות הזוגיים…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא $144$ , וסכום האיברים…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה חשבונית שהפרשה $3$ יש מספר זוגי של איברים. סכום כל איברי הסדרה הוא $390$ , וסכום האיברים הנמצאים במקומות…
סדרה חשבונית: נוסעים בקרונות של רכבת (שאלה מלאה · בינונית)
לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר…
סדרה חשבונית: שתילים בערוגות של גינה (שאלה מלאה · קלה)
בגינה קהילתית יש 13 ערוגות. בעונה הראשונה, מספר השתילים בכל ערוגה היה גדול במספר קבוע ממספר השתילים בערוגה…
סדרה חשבונית: מבקרים בתערוכה ומספר ימים לא ידוע (שאלה מלאה · קלה)
תערוכה נמשכה מספר אי-זוגי של ימים. מספר המבקרים בכל יום היה גדול במספר קבוע ממספר המבקרים ביום שלפניו. בכל ימי…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · קלה)
במחסן יש 20 מדפים. על המדף הראשון יש 3 קופסאות, ועל כל מדף יש 4 קופסאות יותר מאשר על המדף שלפניו.
סדרות חשבוניות: איברים במקומות אי-זוגיים וסדרת סכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. נתון: $a_{13}=20$ , הפרש הסדרה הוא 6.
סדרות חשבוניות: איברים במקומות זוגיים וסדרת סכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 21 איברים. נתון: $a_9=7$ , הפרש הסדרה הוא $-4$ .
סדרות חשבוניות: מסכום תת-סדרה לאיבר הראשון, ומספר האיברים השליליים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. הפרש הסדרה הוא 6, וסכום האיברים שנמצאים…
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 19 איברים. נתון: $a_{10}=15$ , הפרש הסדרה הוא $-3$ .