מבחן לדוגמה: זהויות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

הביעו באמצעות $\alpha$ ו-$R$ את אורך הצלע AB.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{h_1}{h_2}$.

נתון ששטח המשולש ABD הוא $\frac{\sqrt3}{4}R^2$. מצאו את $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של $\alpha$ (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-$kR^2$.

חשבו את $\cos(\alpha+\beta)$, ומצאו את הזווית $\alpha+\beta$.

הראו כי $BD=2k\sin\alpha$.

הראו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD הוא $\frac{k}{2\cos\alpha}$, והביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי $\sqrt2$ מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

מצאו את $\alpha$. היעזרו בזהות $\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

הראו כי $f(x)=1-\cos2x$, והסיקו ש-$g(x)=-f(x)$.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את $f(x)$, ואיזה את $g(x)$? נמקו.

חשבו את $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$.

בכמה גדול $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$ מ-$\int_0^{\pi}g(x)\,dx$?

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה $\sqrt{f(x)}$ סביב ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$.

הביעו את $f(x)$ כמכפלה, ומצאו באמצעות $a$ את הערך הגדול ביותר של $f$.

נתון כי הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $\sqrt{3}$. מצאו את $a$, ומצאו את ערכי $x$ בתחום $0\le x<2\pi$ שבהם $f$ מקבלת ערך זה.

$\cos105^\circ+\cos15^\circ$

$\cos105^\circ-\cos15^\circ$

הוכיחו כי $\frac{1}{\tan x}-\tan x=\frac{2}{\tan2x}$.

הוכיחו כי $\tan x+2\tan2x=\frac{1}{\tan x}-\frac{4}{\tan4x}$.

הוכיחו כי $\tan x+2\tan2x+4\tan4x+\frac{8}{\tan8x}=\frac{1}{\tan x}$.

הוכיחו כי לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים: $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan x$.

בעזרת הזהות שבסעיף א' מצאו את הערך המדויק של $\tan\frac{\pi}{8}$.