שאלות פתוחות: הוכחת זהויות - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים: $\frac{\sin3x-\sin x}{\cos3x+\cos x}=\tan x$.

הוכיחו כי לכל $x$ מתקיים: $f(x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos4x$.

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של $f(x)$, ואת ערך $x$ הקטן ביותר בתחום $x\ge0$ שבו מתקבל המינימום.

הוכיחו כי לכל $x$ בתחום ההגדרה של שני האגפים מתקיים: $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$.

הוכיחו כי לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים: $\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$.

האם טענת התלמיד נכונה? אם כן - הוכיחו אותה; אם לא - הביאו דוגמה נגדית והסבירו היכן הטעות בנימוק שלו.

מצאו את כל ערכי $x$ בתחום $0\le x\le2\pi$ שעבורם השוויון $\sin x+\cos x=\sqrt{1+\sin2x}$ מתקיים.

הוכיחו כי $\frac{1}{\tan x}-\tan x=\frac{2}{\tan2x}$.

הוכיחו כי $\tan x+2\tan2x=\frac{1}{\tan x}-\frac{4}{\tan4x}$.

הוכיחו כי $\tan x+2\tan2x+4\tan4x+\frac{8}{\tan8x}=\frac{1}{\tan x}$.

בסדרה מתקיים: $a_{n+1}=a_n+2n+1$.

בדקו נכונות / אי נכונות הטענה הבאה. אם היא נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.

אם זוויות $\alpha$ ו-$\beta$ של משולש מקיימות $\sin\alpha=\sin\beta$, אז המשולש שווה-שוקיים.

במשחק מחשב מופיעה בכל שלב דמות במקום אקראי על גבי משטח שצורתו מקבילית $ABCD$. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $O$, כמתואר בסרטוט.

מהי ההסתברות שהדמות מופיעה בתוך המשולש $AOB$?

לפניכם שלוש פונקציות:

לאיזו מהן יש אסימפטוטה אופקית $y=2$? נמקו את בחירתכם ופסלו את האחרות.

הוכיחו כי לכל $x$ בתחום ההגדרה של שני האגפים מתקיים: $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$.

פתרו את המשוואה $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\sqrt3$ בתחום $0\le x<2\pi$.

נתון: $AB=\sqrt2\cdot AD$.

הוכיחו כי: $\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}$.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו $r$. נתון: $\frac{R}{r}=\frac43$.

מצאו את גודלי הזוויות $\alpha$ ו-$\beta$.

לפניכם טרפז $ABCD$, $(AB\parallel CD)$.

נתון: שטח המשולש $BDC$ הוא 45 ושטח המשולש $ABC$ הוא 18.

בעבור כל אחת מן הטענות (1)-(2) שלפניכם, קבעו אם היא נכונה לכל $x$. נמקו.

לפניכם הגרף של פונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא: $y=2$ (ראו סרטוט), ו-2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(1,6)$ ונקודת מינימום $(-3,-2)$.

נגדיר את הפונקציה: $g(x)=3-f(x)$. גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$.