שאלות פתוחות: הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הזווית הכפולה cos2α בשלוש צורותיה, לכיתה י"א ברמת 5 יחידות. בשאלות מפשטים ביטויים כמו (1+cos2α+sin2α)/(1-cos2α+sin2α), מפשטים את הביטוי sin⁴x+cos⁴x, בודקים כמה פתרונות יש למשוואה cos 2x+cos x=k לפי ערכי הפרמטר, ופותרים בעיות גאומטריות במעגל ובמלבן עם מעגל משיק. יש הרבה שאלות בינוניות וקשות. מתאים למבחן מסכם בטריגונומטריה; בוחרים שאלות ומקבלים פתרון מלא וקובץ Word.

42 שאלותקלה: 6בינונית: 23קשה: 13

שאלה 1 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · קלה

במשולש ישר-הזווית שבסרטוט α\alphaα היא זווית חדה, ונתון cos⁡α=33\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}cosα=33​​.
α

חשבו את הערך המדויק של הביטוי 1+cos⁡2α2−cos⁡2α\frac{1+\cos 2\alpha}{2-\cos 2\alpha}2−cos2α1+cos2α​.

שאלה 2 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · בינונית

נתון הביטוי E=1+cos⁡2α+sin⁡2α1−cos⁡2α+sin⁡2αE=\frac{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}E=1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α​, כאשר 90∘<α<135∘90^\circ<\alpha<135^\circ90∘<α<135∘.

א.

פשטו את EEE לביטוי שבו מופיעה פונקציה טריגונומטרית אחת של α\alphaα.

ב.

נתון גם כי cos⁡2α=−725\cos 2\alpha=-\frac{7}{25}cos2α=−257​. חשבו את ערך EEE.

שאלה 3 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה cos⁡2x+cos⁡x=k\cos 2x+\cos x=kcos2x+cosx=k, כאשר kkk פרמטר, בתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi0≤x<2π.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם יש למשוואה בדיוק שלושה פתרונות בתחום.

ב.

פתרו את המשוואה עבור הערך של kkk שמצאתם בסעיף א.

שאלה 4 · מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ שאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOE

א.

הראו כי ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α, וכי ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

הראו כי AD=2Rsin⁡αAD=2R\sin\alphaAD=2Rsinα, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AEAEAE.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ADEADEADE.

ד.

נתון כי AE=RAE=RAE=R. מצאו את α\alphaα.

שאלה 5 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · בינונית

נתון הביטוי g(x)=sin⁡4x+cos⁡4xg(x)=\sin^4x+\cos^4xg(x)=sin4x+cos4x.

א.

הביעו את g(x)g(x)g(x) באמצעות cos⁡4x\cos 4xcos4x.

ב.

נתון כי g(x)=58g(x)=\frac{5}{8}g(x)=85​. מצאו את cos⁡4x\cos 4xcos4x, ומצאו את כל ערכי xxx בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​ המקיימים את הנתון.

שאלה 6 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: יחס הצלעות ומתי אפשר לבנותשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK, שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד CCC נמצא על המעגל. נסמן ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ב.

נתון: AB:AD=3:2AB:AD=3:2AB:AD=3:2. מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα (ערך מדויק).

ג.

נסמן k=ABADk=\frac{AB}{AD}k=ADAB​. מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם קיים מלבן כזה, כלומר מלבן שבו ABAD=k\frac{AB}{AD}=kADAB​=k ויש מעגל המשיק לצלעות ABABAB ו-ADADAD בנקודות פנימיות שלהן ועובר דרך CCC.

שאלה 7 · טרפז חסום בחצי מעגל: שטח מקסימלישאלה מלאה · קלה

AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז (DC∥AB)(DC\parallel AB)(DC∥AB), כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∠COB=x\angle COB=x∠COB=x.
xOABCD

א.

מהו תחום הערכים האפשרי בעבור xxx?

ב.

הראו כי שטח הטרפז הוא S(x)=R2sin⁡x+R22sin⁡2xS(x)=R^2\sin x+\frac{R^2}2\sin2xS(x)=R2sinx+2R2​sin2x.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את היחס בין השטח המקסימלי של הטרפז לבין שטח חצי העיגול.

שאלה 8 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה cos⁡2x=∣cos⁡x∣\cos 2x=|\cos x|cos2x=∣cosx∣.

פתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 9 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 10 · הפונקציה $2 sin^{2} x$ : זהות, גרף, אינטגרל ונפחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin^2xf(x)=2sin2x, g(x)=cos⁡2x−1g(x)=\cos2x-1g(x)=cos2x−1, בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.
גרף I
גרף II
גרף III

א.

הראו כי f(x)=1−cos⁡2xf(x)=1-\cos2xf(x)=1−cos2x, והסיקו ש-g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

ב.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את f(x)f(x)f(x), ואיזה את g(x)g(x)g(x)? נמקו.

ג.

חשבו את ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx.

ד.

בכמה גדול ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx מ-∫0πg(x) dx\int_0^{\pi}g(x)\,dx∫0π​g(x)dx?

ה.

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ סביב ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.

עוד 25 שאלות על הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
משפחה טריגונומטרית עם פרמטר: חסמים, מספר אפסים וקיצון של $f (2 x)$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)+a\cos(x)+1$ , המוגדרת לכל $x$ , כאשר $a$ פרמטר, $0<a<4$ .
זווית כפולה: מזהות לאינטגרל ולנפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x$ , $g(x)=3-\cos2x$ .
הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=3\cos^2(x)-\sin^2(x)+2$ .
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל וזווית של 45°: יחס שטחים מינימלי ושני משולשים (שאלה מלאה · קשה)
משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , חסום במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $\angle BAC=2\alpha$ . על המשך הבסיס $BC$ , מעבר לנקודה $C$ , נמצאת נקודה $D$ כך…
$2 sin^{2} x$ בעזרת $cos 2 x$ (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x$ , $g(x)=\cos2x-1$ , בתחום $0\le x\le\pi$ .
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל ואנך לשוק: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD\perp AB$ . נתון:…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קהה (שאלה מלאה · קשה)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ , והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן $\angle CDB=\alpha$ . E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך…
בעיית קיצון טריגונומטרית: סכום ניצב וגובה במשולש ישר זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע AB הוא היתר במשולש ישר הזווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , ו-FH הוא הגובה ליתר, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $AF>BF$ . נתון: $\angle FAB=x$ .…
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…
הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש PQR מתקיים $\angle PQR=3\angle PRQ$ . נסמן $\angle PRQ=x$ .
משולש שווה-שוקיים: היחס בין רדיוס המעגל החסום לחוסם (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש, $r$ רדיוס המעגל החסום בו ו- $E$ מרכז המעגל…
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: המרחק מהקודקוד, זווית כפולה בצורת סינוס ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
$2 sin^{2} 2 x$ ו- $2 cos^{2} 2 x$ : סימטריה, שטח בין הגרפים והפרש נפחים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^22x$ , $g(x)=2\cos^22x$ , בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
דלתון עם זווית ראש קהה: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle ADB=\alpha$ , $\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
נפח גוף סיבוב כפונקציה של הגבול העליון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sin^22x$ .
הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABD נתון: $AB=AD=k$ , $\angle BAD=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את המשולש, והנקודה H היא אמצע…
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: אורכי הצלעות בעזרת $cos 2 α$ ו- $sin 2 α$ (שאלה קצרה · קשה)
המרובע $ABCD$ הוא מלבן. הצלעות $AB$ ו- $AD$ משיקות למעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ , שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד $C$ …
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
משולש שווה-שוקיים: $\frac{r}{R}$ באמצעות $cos 2 α$ והוכחת $R \geq 2 r$ (שאלת ביניים · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש, $r$ רדיוס המעגל החסום בו ו- $E$ מרכז המעגל…
הפונקציות $2 cos^{2} 2 x$ ו- $- 3 - 3 cos 4 x$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^2 2x$ , $g(x)=-3-3\cos 4x$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
הורדת חזקה: $sin^{2} 2 x$ בצורה $A + B cos k x$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sin^22x$ .
קוטר במעגל ומשולש שווה-שוקיים: קטע בעזרת $cos 2 α$ , תחום ויחס שטחים (שאלת ביניים · בינונית)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ , והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן $\angle CDB=\alpha$ . E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)-\cos^2(x)-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: הבעה בעזרת זווית, משוואה עם זווית כפולה ומשפט הקוסינוסים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
הפונקציות $2 sin^{2} 2 x$ ו- $cos 4 x - 1$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2 2x$ , $g(x)=\cos 4x-1$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
זווית כפולה: זיהוי גרפים, הפרש אינטגרלים ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^22x$ , $g(x)=\cos4x+2$ . להלן ארבעה גרפים: גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד: