שאלות פתוחות: סכום והפרש של קוסינוסים - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול נוסחאות סכום והפרש של קוסינוסים לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מפשטים ביטויים כמו cos 3x+cos x ו-cos(x+a)-cos(x-a), מחשבים ערך מספרי של ביטוי עם זוויות 20°, 40° ו-80°, חוקרים פונקציה שהיא מנה של הפרש קוסינוסים בסכום סינוסים, ומוכיחים תכונה של משולש לפי קשר בין הזוויות שלו. השאלות מתחלקות בין רמה קלה, בינונית וקשה. בוחרים מהן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא בקובץ Word.

12 שאלותקלה: 3בינונית: 5קשה: 4

שאלה 1 · סכום והפרש של קוסינוסיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי cos⁡(x+a)−cos⁡(x−a)\cos(x+a)-\cos(x-a)cos(x+a)−cos(x−a), כאשר aaa פרמטר המקיים 0<a<π0<a<\pi0<a<π.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם cos⁡(x+a)−cos⁡(x−a)=−sin⁡x\cos(x+a)-\cos(x-a)=-\sin xcos(x+a)−cos(x−a)=−sinx לכל xxx.

שאלה 2 · סכום והפרש של קוסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש שזוויותיו α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ מתקיים: cos⁡α+cos⁡β=3sin⁡γ2\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{3}\sin\frac{\gamma}{2}cosα+cosβ=3​sin2γ​.

א.

מצאו את ∣α−β∣|\alpha-\beta|∣α−β∣.

ב.

נתון גם כי γ=50∘\gamma=50^\circγ=50∘ וכי α>β\alpha>\betaα>β. מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ.

שאלה 3 · סכום והפרש של קוסינוסיםשאלה קצרה · קשה

נתון הביטוי cos⁡3x+cos⁡x\cos 3x+\cos xcos3x+cosx.

פתרו את אי-השוויון cos⁡3x+cos⁡x>0\cos 3x+\cos x>0cos3x+cosx>0 בתחום 0<x<π0<x<\pi0<x<π.

שאלה 4 · סכום והפרש של קוסינוסיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי P=cos⁡40∘−cos⁡80∘sin⁡20∘⋅cos⁡20∘+cos⁡40∘cos⁡10∘P=\frac{\cos40^\circ-\cos80^\circ}{\sin20^\circ}\cdot\frac{\cos20^\circ+\cos40^\circ}{\cos10^\circ}P=sin20∘cos40∘−cos80∘​⋅cos10∘cos20∘+cos40∘​.

מצאו את הערך המדויק של PPP בעזרת נוסחאות סכום והפרש של קוסינוסים.

שאלה 5 · סכום והפרש של קוסינוסיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡x−cos⁡5xsin⁡4x+sin⁡2xf(x)=\frac{\cos x-\cos 5x}{\sin 4x+\sin 2x}f(x)=sin4x+sin2xcosx−cos5x​ בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​.

א.

מצאו את הנקודות בתחום שבהן fff אינה מוגדרת, והראו כי בכל שאר הנקודות f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin xf(x)=2sinx.

ב.

האם יש בתחום ערכי xxx שבהם f(x)=3f(x)=\sqrt{3}f(x)=3​? אם כן - מצאו אותם; אם לא - נמקו.

שאלה 6 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠ABC=120°\angle ABC=120°∠ABC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
ABCO

א.

הוכיחו שגודל הזווית AOCAOCAOC אינו תלוי ב-α\alphaα, ומצאו אותו.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC מקסימלי, והביעו את השטח המקסימלי באמצעות RRR.

ד.

נתון: R=4R=4R=4.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם שטח המשולש AOCAOCAOC הוא 2.

שאלה 7 · ערך מדויק של סכום והפרש קוסינוסיםשאלה קצרה · קלה

חשבו את הערך המדויק של כל ביטוי בעזרת נוסחאות סכום והפרש של קוסינוסים (בלי מחשבון).

א.

cos⁡105∘+cos⁡15∘\cos105^\circ+\cos15^\circcos105∘+cos15∘

ב.

cos⁡105∘−cos⁡15∘\cos105^\circ-\cos15^\circcos105∘−cos15∘

שאלה 8 · סכום קוסינוסים במשולש - הפרש בין שתי זוויותשאלה קצרה · בינונית

במשולש שזוויותיו α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ מתקיים: cos⁡α+cos⁡β=3sin⁡γ2\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{3}\sin\frac{\gamma}{2}cosα+cosβ=3​sin2γ​.

מצאו את ∣α−β∣|\alpha-\beta|∣α−β∣.

שאלה 9 · מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ שאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, ו-ABABAB מיתר במעגל שאורכו RRR. EEE נקודה על המשך המיתר BABABA מעבר לנקודה AAA. מהנקודה EEE העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה DDD, הנמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, כך שהנקודות DDD ו-BBB נמצאות משני צדי הישר OAOAOA. CCC אמצע המיתר ABABAB. נסמן ∠AOD=2α\angle AOD=2\alpha∠AOD=2α.
2αOABCDE

א.

הביעו את אורך המשיק DEDEDE באמצעות RRR ו-α\alphaα, ומצאו לאילו ערכים של α\alphaα הבנייה המתוארת אפשרית.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורו DE=ABDE=ABDE=AB.

ג.

לאילו ערכים של α\alphaα מתקיים DE>DADE>DADE>DA?

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו מרכז המעגל החוסם את המרובע DOCEDOCEDOCE נמצא על המעגל הנתון.

שאלה 10 · פישוט מנה בעזרת הפרש קוסינוסים וסכום סינוסיםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡x−cos⁡5xsin⁡4x+sin⁡2xf(x)=\frac{\cos x-\cos 5x}{\sin 4x+\sin 2x}f(x)=sin4x+sin2xcosx−cos5x​ בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​.

א.

מצאו את הנקודות בתחום שבהן fff אינה מוגדרת, והראו כי בכל שאר הנקודות f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin xf(x)=2sinx.

ב.

האם יש בתחום ערכי xxx שבהם f(x)=3f(x)=\sqrt{3}f(x)=3​? אם כן - מצאו אותם; אם לא - נמקו.

ג.

מצאו את כל הערכים שהפונקציה fff מקבלת בתחום שבו היא מוגדרת.

עוד 1 שאלות על סכום והפרש של קוסינוסים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סכום סינוסים של זוויות אי-זוגיות בעזרת הפרש קוסינוסים (שאלת ביניים · קשה)
נתון הביטוי $S(x)=\sin x+\sin3x+\sin5x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).