שאלות פתוחות: סכום והפרש של סינוסים - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על נוסחאות סכום והפרש של סינוסים לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מפשטים ביטויים כמו sin(x+30°)-sin(x-30°), פותרים משוואה עם פרמטר sin 3x+sin x=k sin 2x, ומוכיחים תכונות של משולש שבו sin A+sin B=2sin C. יש גם שאלות על שתי זוויות בתחום נתון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להשתמש בהן לדף עבודה או לבוחן, ולכל שאלה מצורף פתרון מלא שאפשר להדפיס מ-Word.

9 שאלותקלה: 2בינונית: 4קשה: 3

שאלה 1 · סכום והפרש של סינוסיםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי h(x)=sin⁡(x+30∘)−sin⁡(x−30∘)h(x)=\sin(x+30^\circ)-\sin(x-30^\circ)h(x)=sin(x+30∘)−sin(x−30∘).

א.

הראו כי לכל xxx מתקיים h(x)=cos⁡xh(x)=\cos xh(x)=cosx.

ב.

פתרו את המשוואה h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin 2xh(x)=sin2x בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le180^\circ0∘≤x≤180∘.

שאלה 2 · סכום והפרש של סינוסיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡3x+sin⁡x=ksin⁡2x\sin 3x+\sin x=k\sin 2xsin3x+sinx=ksin2x, כאשר kkk פרמטר, בתחום 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​.

א.

פתרו את המשוואה עבור k=1k=1k=1.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם יש למשוואה פתרון בתחום הנתון.

שאלה 3 · ההיקף המקסימלי כפונקציה של הזווית: בעיה הפוכה ומספר משולשיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא aaa, ו-∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, כאשר 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π (α\alphaα ברדיאנים). נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x.

א.

מצאו, באמצעות aaa ו-α\alphaα, את ההיקף המקסימלי האפשרי של המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה ההיקף המקסימלי של המשולש הוא 3a3a3a. איזה משולש מתקבל אז?

ג.

נתון α=π3\alpha=\frac\pi3α=3π​. קבעו, לכל k>0k>0k>0, כמה ערכים של xxx יש שבעבורם היקף המשולש ABCABCABC הוא kakaka.

שאלה 4 · הפרש סינוסים - הצגת ביטוי כקוסינוסשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי h(x)=sin⁡(x+30∘)−sin⁡(x−30∘)h(x)=\sin(x+30^\circ)-\sin(x-30^\circ)h(x)=sin(x+30∘)−sin(x−30∘).

הראו כי לכל xxx מתקיים h(x)=cos⁡xh(x)=\cos xh(x)=cosx.

שאלה 5 · סכום והפרש של סינוסיםשאלה קצרה · בינונית

נתונות שתי זוויות α\alphaα ו-β\betaβ המקיימות 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π ו-0<β<π0<\beta<\pi0<β<π.

א.

הוכיחו כי sin⁡α+sin⁡β>sin⁡(α+β)\sin\alpha+\sin\beta>\sin(\alpha+\beta)sinα+sinβ>sin(α+β).

ב.

היעזרו בסעיף א והוכיחו כי בכל משולש ABCABCABC מתקיים sin⁡A+sin⁡B>sin⁡C\sin A+\sin B>\sin CsinA+sinB>sinC.

שאלה 6 · סכום סינוסים במשולש - חסם על זוויתשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC מתקיים: sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡C\sin A+\sin B=2\sin CsinA+sinB=2sinC.

הוכיחו כי ∠C≤60∘\angle C\le60^\circ∠C≤60∘, ומצאו איזה משולש מתקבל כאשר ∠C=60∘\angle C=60^\circ∠C=60∘.

שאלה 7 · סכום והפרש של סינוסיםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡x+sin⁡(x+a)f(x)=\sin x+\sin(x+a)f(x)=sinx+sin(x+a), כאשר aaa פרמטר המקיים 0<a<π0<a<\pi0<a<π.

א.

הביעו את f(x)f(x)f(x) כמכפלה, ומצאו באמצעות aaa את הערך הגדול ביותר של fff.

ב.

נתון כי הערך הגדול ביותר של fff הוא 3\sqrt{3}3​. מצאו את aaa, ומצאו את ערכי xxx בתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi0≤x<2π שבהם fff מקבלת ערך זה.

שאלה 8 · פירוק סכום של ארבעה סינוסים למכפלה ומציאת אפסיםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x+sin⁡4xf(x)=\sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4xf(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x.

א.

הראו כי לכל xxx מתקיים sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos xsinx+sin3x=2sin2xcosx, וכי sin⁡2x+sin⁡4x=2sin⁡3xcos⁡x\sin2x+\sin4x=2\sin3x\cos xsin2x+sin4x=2sin3xcosx.

ב.

הראו כי f(x)=4cos⁡xcos⁡x2sin⁡5x2f(x)=4\cos x\cos\frac{x}{2}\sin\frac{5x}{2}f(x)=4cosxcos2x​sin25x​.

ג.

מצאו את כל ערכי xxx בתחום 0<x<π0<x<\pi0<x<π שבהם f(x)=0f(x)=0f(x)=0.

שאלה 9 · סכום והפרש של סינוסיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: ∠C=60∘\angle C=60^\circ∠C=60∘, ∠A>∠B\angle A>\angle B∠A>∠B, וכן sin⁡A+sin⁡B=62\sin A+\sin B=\frac{\sqrt{6}}{2}sinA+sinB=26​​.

מצאו את הזוויות AAA ו-BBB.