שאלות פתוחות: הזווית הכפולה: sin2α - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הזווית הכפולה sin2α לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים sin α ו-cos α מתוך sin 2α ותחום הזווית, מפשטים מכפלה כמו cos x·cos 2x·cos 4x, משתמשים בנתון tan α+1/tan α=4, ופותרים משולש שבו זווית אחת גדולה פי 2 מאחרת. רמות הקושי: קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה בזהויות, כשלכל שאלה פתרון מלא וייצוא ל-Word.

53 שאלותקלה: 11בינונית: 32קשה: 10

שאלה 1 · הזווית הכפולה: sin2αשאלה קצרה · קלה

נתון כי sin⁡2α=45\sin 2\alpha=\frac{4}{5}sin2α=54​, וכי 0<α<π40<\alpha<\frac{\pi}{4}0<α<4π​.

מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα.

שאלה 2 · הזווית הכפולה: sin2αשאלה קצרה · בינונית

נתון הביטוי P(x)=cos⁡x⋅cos⁡2x⋅cos⁡4xP(x)=\cos x\cdot\cos 2x\cdot\cos 4xP(x)=cosx⋅cos2x⋅cos4x.

א.

הוכיחו כי לכל xxx שבו sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 מתקיים P(x)=sin⁡8x8sin⁡xP(x)=\frac{\sin 8x}{8\sin x}P(x)=8sinxsin8x​.

ב.

מצאו את הערך המדויק של cos⁡π7⋅cos⁡2π7⋅cos⁡4π7\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}cos7π​⋅cos72π​⋅cos74π​.

שאלה 3 · הזווית הכפולה: sin2αשאלת ביניים · קשה

נתון כי sin⁡2x=−2425\sin 2x=-\frac{24}{25}sin2x=−2524​, וכי 3π4<x<π\frac{3\pi}{4}<x<\pi43π​<x<π.

א.

מצאו את ערך הביטוי cos⁡x−sin⁡x\cos x-\sin xcosx−sinx.

ב.

מצאו את sin⁡x\sin xsinx ואת cos⁡x\cos xcosx.

שאלה 4 · הזווית הכפולה: sin2αשאלה קצרה · קלה

נתון כי tan⁡α+1tan⁡α=4\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=4tanα+tanα1​=4, וכי 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

א.

מצאו את sin⁡2α\sin 2\alphasin2α.

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alphaα.

שאלה 5 · הזווית הכפולה: sin2αשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הזווית BBB גדולה פי 2 מהזווית CCC. נתון: AB=4AB=4AB=4, AC=6AC=6AC=6.

א.

מצאו את cos⁡C\cos CcosC.

ב.

מצאו את אורך הצלע BCBCBC.

שאלה 6 · ההיקף המקסימלי כפונקציה של הזווית: בעיה הפוכה ומספר משולשיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא aaa, ו-∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, כאשר 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π (α\alphaα ברדיאנים). נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x.

א.

מצאו, באמצעות aaa ו-α\alphaα, את ההיקף המקסימלי האפשרי של המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה ההיקף המקסימלי של המשולש הוא 3a3a3a. איזה משולש מתקבל אז?

ג.

נתון α=π3\alpha=\frac\pi3α=3π​. קבעו, לכל k>0k>0k>0, כמה ערכים של xxx יש שבעבורם היקף המשולש ABCABCABC הוא kakaka.

שאלה 7 · פונקציה טריגונומטרית עם נקודות סליקות: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2(cos⁡x)2+3sin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sqrt3\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+3​sin2x​, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי בתחום ההגדרה f(x)=cos⁡x+3sin⁡xf(x)=\cos x+\sqrt3\sin xf(x)=cosx+3​sinx, והסבירו מדוע אין לגרף אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=3cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\sqrt3\cos x-\sin xf′(x)=3​cosx−sinx.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ג.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x)=\sqrt3f(x)=3​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π? נמקו.

ד.

הסבירו מדוע f′(x)≤0f'(x)\le0f′(x)≤0 בקטע 5π6≤x≤4π3\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}365π​≤x≤34π​, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=5π6x=\frac{5\pi}6x=65π​ ו-x=4π3x=\frac{4\pi}3x=34π​.

שאלה 8 · מרובע חסום במעגל: מיתרים נתונים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהיםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
OABCD

א.

הביעו את אורך האלכסון BD באמצעות α\alphaα ו-RRR.

ב.

נתון: BC=R2BC=R\sqrt2BC=R2​, CD=R2−3CD=R\sqrt{2-\sqrt3}CD=R2−3​​.

חשבו את α\alphaα.

ג.

נתון: BD הוא חוצה זווית ABC.

חשבו את גודל הזווית ABD.

ד.

נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.

חשבו את h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

שאלה 9 · משפחת פונקציות $\frac{2 c o s ^{2} x + k s i n 2 x}{2 c o s x}$ : חורים, קיצון וטווח לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2(cos⁡x)2+ksin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+k\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+ksin2x​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

(1)

הראו שלכל k>0k>0k>0 אין לגרף f(x)f(x)f(x) אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx, ומצאו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות שבהן יש 'חור' בגרף.

(2)

מצאו באמצעות kkk את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם לישר y=2y=2y=2 ולגרף f(x)f(x)f(x) אין נקודות משותפות.

ג.

הציבו k=2k=2k=2.

מצאו את כל ערכי ttt שבעבורם למשוואה f(x)=tf(x)=tf(x)=t יש פתרון יחיד בתחום.

שאלה 10 · פונקציה טריגונומטרית אי-זוגית: זווית כפולה, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרותשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)f(x)=2\sin(x)\cos(x)f(x)=2sin(x)cos(x), המוגדרת לכל xxx.

א.

הראו כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ב.

הראו כי f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x), והסיקו כי לכל xxx: −1≤f(x)≤1-1\le f(x)\le1−1≤f(x)≤1.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(2x)g(x)=f(2x)g(x)=f(2x).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) בתחום −π4≤x≤π4-\frac\pi4\le x\le\frac\pi4−4π​≤x≤4π​, וקבעו את סוגן.

ו.

נתון כי ∫0π12(g′(x)+f′(x))dx=S\int_0^{\frac{\pi}{12}}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx=S∫012π​​(g′(x)+f′(x))dx=S. הביעו באמצעות SSS את ∫−π120(g′(x)+f′(x))dx\int_{-\frac{\pi}{12}}^{0}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx∫−12π​0​(g′(x)+f′(x))dx. הסבירו.

עוד 31 שאלות על הזווית הכפולה: sin2α

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
טרפז חסום שבו $CE = C A$ : קשר בין הזוויות, יחס שטחים וטווח ערכים (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC,\ AB>DC)$ , החסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $CE=CA$ . נסמן:…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל: המשך הבסיס בקטע השווה לשוק (שאלה מלאה · קלה)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . זוויות הבסיס הן $\angle ABC=\angle ACB=2\alpha$ . על המשך…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
טרפז חסום בחצי מעגל: היקף מקסימלי ומספר הטרפזים בעלי היקף נתון (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז $(DC\parallel AB)$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ : משיק, דמיון ויחסי שטחים - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן…
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $KLM$ נתון: $KL=a$ , $\angle LKM=\varphi$ , $\angle KLM=2\varphi$ .
מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זווית: מינימום ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ) אורך היתר הוא $AC=d$ . נסמן $\angle CAB=\alpha$ . הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E…
פונקציה טריגונומטרית $cos x + \frac{1}{c o s x}$ : חקירה מודרכת ונקודה חסרה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
במלבן $ABCD$ אורך האלכסון הוא $AC=d$ . נסמן $\angle BAC=\alpha$ . נתון: $AB>BC$ , ושטח המלבן הוא $0.45d^2$ .
משפחת הפונקציות $a cos x + \frac{1}{c o s x}$ : סוג הקיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה וספירת חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
משיקים למעגל מנקודה: צלע בעזרת $sin 2 β$ , שטח וצלע שלישית - בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, והנקודה C…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט).…
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . $ED$ מאונך לצלע $AC$ ו- $EM$ מאונך לצלע…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
נקודה נעה על בסיס משולש שווה-שוקיים: סכום קבוע, שטח מינימלי ומספר המעגלים ברדיוס נתון (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) אורך הבסיס הוא $BC=12$ . נסמן $\angle ABC=\alpha$ . הנקודה $E$ נעה על הבסיס $BC$ (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ), ונסמן…
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים וזווית כפולה (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=4\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
פונקציה טריגונומטרית $16 cos x + \frac{1}{c o s ^{2} x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=16\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
משיקים מנקודה למעגל: אורך קטע בעזרת $sin 2 β$ (שאלה קצרה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
שתי פונקציות שנבדלות בקבוע: $(sin x + cos x)^{2}$ ו- $2 sin x cos x - 2$ (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(\sin x+\cos x)^2$ , $g(x)=2\sin x\cos x-2$ .
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ משיק לשתי שוקי הזווית BAC, שגודלה $2\beta$ . דרך O העבירו ישר המאונך ל-AO, והוא חותך את שוקי הזווית בנקודות B ו-C…
משולש ישר-זווית ואנכים מנקודה על היתר: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר-זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ). הנקודה $E$ נמצאת על היתר $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הניצב…
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
במלבן $ABCD$ אורך האלכסון הוא $AC=d$ . נסמן $\angle CAB=\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<45^\circ$ .
דלתון עם זווית ראש קהה: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle ADB=\alpha$ , $\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
המשולשים ABC ו-DBC נמצאים משני צדי הצלע המשותפת BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle BAC=\beta$ , $\angle BDC=2\beta$ , $0^\circ<\beta<90^\circ$ .
הזווית הכפולה: sin2α (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ מתקיים $\angle ABC=2\angle ACB$ ו- $\frac{AC}{AB}=\sqrt3$ .
זהויות טריגונומטריות: זיהוי גרפים, הפרש אינטגרלים ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(\sin x+\cos x)^2$ , $g(x)=2\sin x\cos x-2$ . להלן ארבעה גרפים: גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
משולש שבו זווית אחת כפולה מאחרת: יחס צלעות לפי $sin 2 α$ (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ABC נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן $\angle ACB=\alpha$ . נתון: $AB=9$ , $AC=12$ .
דלתון: רדיוסי המעגלים החוסמים בעזרת $sin 2 α$ ו- $sin 4 α$ (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=4\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל והמשך הבסיס: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ והעבירו ישר מנקודה $D$ לנקודה $A$ . נתון:…
דלתון חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
דלתון $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . המיתר $AC$ הוא האלכסון הראשי של הדלתון. הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
בעיית קיצון טריגונומטרית: הפרש קטעים במלבן ובמשולש ישר זווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 8
הנקודה E היא אמצע הקטע AB. על הקטע AB בונים מלבן ABCD ומשולש ישר זווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle FAB=2x$ , $\angle ECB=x$ . נסמן את…
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=3\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $ED$ מאונך ל- $AC$ .…
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .