מבחן לדוגמה: ניסויים רב-שלביים ונוסחת ברנולי - כיתה י"א 5 יח"ל

בתחרות זריקות עונשין כל משתתף זורק שתי זריקות.

ההסתברות שמשתתף יקלע בזריקה הראשונה היא $P$ ($P>0.5$).

אם המשתתף קלע בזריקה הראשונה, ההסתברות שיקלע בזריקה השנייה היא $P+0.2$.

אם המשתתף החטיא בזריקה הראשונה, ההסתברות שיקלע בזריקה השנייה היא $P-0.3$.

נתון כי ההסתברות שהמשתתף יקלע בדיוק באחת משתי הזריקות היא $0.24$.

בשקית יש שלושה כדורים כחולים וארבעה כדורים אדומים. נועם מוציא באקראי כדור מן השקית. אם הכדור אדום – הוא מחזיר אותו לשקית, ואם הכדור כחול – הוא מניח אותו בצד ולא מחזיר אותו.

במבחן קבלה יש מאגר של $n$ שאלות ($n\ge4$). כל נבחן מוציא באקראי שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה, ובכל פתק שאלה אחרת מהמאגר. נבחן מתקבל אם הוא עונה נכון על שתי שאלות לפחות מתוך השלוש.

נבחן שיודע לענות על $k$ שאלות מהמאגר ($0\le k\le n$) עונה נכון בדיוק על השאלות שהוא יודע. נסמן ב-$P_k$ את ההסתברות שנבחן כזה יתקבל.

בחדר בריחה יש 3 חדרים שקבוצה צריכה לפתור בזה אחר זה. קבוצה שלא פותרת חדר יוצאת מן המשחק מייד, וקבוצה שפותרת את שלושת החדרים "בורחת". ההסתברות שקבוצה תפתור את החדר הראשון היא 0.9. ההסתברות שקבוצה שהגיעה לחדר השני תפתור אותו היא 0.75. ההסתברות שקבוצה שהגיעה לחדר השלישי לא תפתור אותו גדולה פי 1.5 מן ההסתברות שהיא תפתור אותו.

עץ ההסתברויות של המשחק:

עורכים סדרה של $n$ ניסויים בלתי תלויים ($n\ge3$), ובכל ניסוי התוצאה היא הצלחה או כישלון. ידוע כי מספר סדרות התוצאות השונות שבהן יש בדיוק $2$ הצלחות קטן פי $3$ ממספר סדרות התוצאות השונות שבהן יש בדיוק $3$ הצלחות.

חברת משלוחים פועלת בשתי ערים בלבד: רחובות ומודיעין. מבין המשלוחים שמאחרים, $\frac17$ הם משלוחים לרחובות.

קלעית יורה למטרה $3$ יריות בלתי תלויות. ההסתברות שתפגע במטרה בירייה בודדת היא $p$. ידוע כי ההסתברות שתפגע במטרה לפחות פעם אחת מתוך $3$ היריות היא $\frac{19}{27}$.

בקופסה א' ובקופסה ב' יש עטים בשני צבעים: כחולים ושחורים.

בקופסה א' יש 8 עטים, מתוכם 2 כחולים והשאר שחורים.

בקופסה ב' יש 20 עטים, מתוכם $x$ כחולים והשאר שחורים.

דנה בוחרת באקראי קופסה ומוציאה ממנה באקראי עט אחד. לאחר מכן היא מחזירה את העט לקופסה ומוציאה באקראי עט שני מאותה הקופסה (הוצאה עם החזרה). נתון כי ההסתברות שדנה הוציאה שני עטים כחולים היא $\frac{169}{800}$.