שאלות פתוחות: מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות בוחרים שלושה מספרים מתוך שמונה, בוחרים משלחת של 3 תלמידים מתוך חוג של בנים ובנות, סופרים מסלולים של שליח שמתקדם ברשת רחובות לפי הטלות מטבע, ומוצאים את n מתוך הסתברות נתונה בסדרה של ניסויים בלתי תלויים. רוב השאלות בינוניות. השאלות מחברות בין ספירה להסתברות; המורה יכול לבחור מהן לדף עבודה או לבוחן ולקבל פתרון מלא לכל שאלה בקובץ Word.

39 שאלותקלה: 5בינונית: 28קשה: 6

שאלה 1 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · קלה

עורכים סדרה של nnn ניסויים בלתי תלויים (n≥3n\ge3n≥3), ובכל ניסוי התוצאה היא הצלחה או כישלון. ידוע כי מספר סדרות התוצאות השונות שבהן יש בדיוק 222 הצלחות קטן פי 333 ממספר סדרות התוצאות השונות שבהן יש בדיוק 333 הצלחות.

א.

מצאו את nnn.

ב.

עבור nnn שמצאתם, חשבו את מספר סדרות התוצאות השונות שבהן יש לפחות 999 הצלחות.

שאלה 2 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · בינונית

מבצעים nnn ניסויים בלתי תלויים, ובכל ניסוי ההסתברות להצלחה היא 13\frac{1}{3}31​. ידוע כי ההסתברות לקבל בדיוק 444 הצלחות שווה להסתברות לקבל בדיוק 555 הצלחות.

א.

מצאו את nnn.

ב.

עבור nnn שמצאתם, קבעו בלי לחשב את ההסתברויות עצמן: איזו גדולה יותר - ההסתברות לבדיוק 333 הצלחות או ההסתברות לבדיוק 444 הצלחות? נמקו.

שאלה 3 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · קשה

מהקבוצה {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\}{1,2,3,4,5,6,7,8} בוחרים באקראי שלושה מספרים שונים (לכל שלשה סיכוי שווה להיבחר).

מצאו את ההסתברות ששלושת המספרים שנבחרו הם, בסדר כלשהו, שלושה איברים עוקבים של סדרה חשבונית.

שאלה 4 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · קלה

בחוג מדעים יש 666 בנים ו-444 בנות. בוחרים באקראי משלחת של 333 תלמידים מבין חברי החוג.

א.

כמה משלחות שונות אפשר להרכיב כך שיהיו בהן לפחות 222 בנות?

ב.

מהי ההסתברות שבמשלחת שנבחרה יש לפחות 222 בנות?

שאלה 5 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · בינונית

שליח מתקדם על רשת של רחובות ומתחיל בצומת (0,0)(0,0)(0,0). השליח עושה 101010 צעדים. לפני כל צעד הוא מטיל מטבע הוגן: אם מתקבל "עץ" הוא עובר יחידה אחת ימינה (בכיוון ציר xxx), ואם מתקבל "פלי" הוא עובר יחידה אחת למעלה (בכיוון ציר yyy). מסלול נקבע לפי סדר הצעדים.

א.

כמה מסלולים שונים של 101010 צעדים מובילים מהצומת (0,0)(0,0)(0,0) אל הצומת (6,4)(6,4)(6,4)?

ב.

מהי ההסתברות שאחרי 101010 הצעדים השליח יימצא בצומת (6,4)(6,4)(6,4)?

שאלה 6 · סקר עבודה מהבית: תחום פרמטר, בעיה הפוכה ומספר ניסויים מינימלישאלה מלאה · קשה

בחברת היי-טק גדולה מאוד מספר המתכנתים גדול פי 3 ממספר הבודקים. כל עובדי החברה (מתכנתים ובודקים בלבד) נשאלו אם הם עובדים מהבית. נסמן ב-ttt את החלק של העובדים מהבית מבין הבודקים. נמצא כי 45\frac4554​ מהעובדים מהבית הם מתכנתים.

א.

הביעו באמצעות ttt את ההסתברות שעובד שנבחר באקראי עובד מהבית, ומצאו את כל הערכים האפשריים של ttt.

ב.

בוחרים באקראי שני עובדים. ההסתברות שלפחות אחד מהם עובד מהבית היא 0.91.

מצאו את ttt.

ג.

בוחרים עובדים באקראי בזה אחר זה. מהו המספר הקטן ביותר של עובדים שיש לבחור כדי שההסתברות שלפחות אחד מהם עובד מהבית תהיה גדולה מ-0.999?

ד.

בוחרים באקראי 6 עובדים. ידוע שבדיוק 3 מהם עובדים מהבית. מהי ההסתברות שלפחות אחד משני העובדים הראשונים שנבחרו עובד מהבית?

שאלה 7 · טבלה דו-ממדית במספרים, ברנולי והסתברות מותנית: תחבורה ציבוריתשאלה מלאה · קלה

בעיר גדולה מאוד נערך סקר בקרב 2000 תושבים: 800 גברים ו-1200 נשים. נמצא כי 30% מהגברים ו-45% מהנשים משתמשים בתחבורה ציבורית. הסקר מייצג את כלל תושבי העיר.

א.

השלימו טבלה דו-ממדית (מגדר ושימוש בתחבורה ציבורית). מהי ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא אישה שאינה משתמשת בתחבורה ציבורית?

ב.

בוחרים באקראי, בזה אחר זה, 4 תושבים מהעיר.

מהי ההסתברות שבדיוק 2 מהם משתמשים בתחבורה ציבורית?

ג.

(1)

מהי ההסתברות שלפחות אחד מהארבעה משתמש בתחבורה ציבורית?

(2)

ידוע שלפחות אחד מהארבעה משתמש בתחבורה ציבורית. מהי ההסתברות שבדיוק 2 מהם משתמשים?

ד.

ידוע שבדיוק אחד מהארבעה משתמש בתחבורה ציבורית. מהי ההסתברות שזה התושב הראשון שנבחר?

שאלה 8 · מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטותשאלה קצרה · בינונית

מטילים מטבע הוגן nnn פעמים ורושמים את סדרת התוצאות (עץ או פלי). ידוע כי מספר סדרות התוצאות השונות שבהן מתקבל "עץ" לכל היותר פעמיים הוא 373737.

א.

מצאו את nnn.

ב.

מהי ההסתברות שב-nnn ההטלות יתקבל "עץ" לכל היותר פעמיים?

שאלה 9 · שלוש תוצאות: מציאת ההתפלגות, מספר ניסויים נדרש, סידורים בהינתן מספר הצלחות וברנולי מותנהשאלה מלאה · קשה

עומר משחק במשחק מחשב. בכל משחק יש שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד, ותוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו. ההסתברות לתיקו גדולה פי 2 מן ההסתברות להפסד. נתון: אם עומר משחק 2 משחקים, ההסתברות שינצח בדיוק במשחק אחד שווה להסתברות שלא ינצח באף משחק.

א.

מצאו את ההסתברויות לניצחון, לתיקו ולהפסד במשחק אחד.

ב.

מהו מספר המשחקים הקטן ביותר שעומר צריך לשחק כדי שההסתברות שינצח במשחק אחד לפחות תהיה 0.95 לפחות?

ג.

עומר שיחק 6 משחקים, וידוע שניצח בדיוק ב-2 מהם.

מהי ההסתברות ששני הניצחונות היו בשלושת המשחקים הראשונים?

ד.

עומר שיחק 5 משחקים, וידוע שלא הפסיד באף משחק.

מהי ההסתברות שניצח ב-3 משחקים לפחות?

שאלה 10 · ברנולי: מבחן בן 4 שאלות עם ניקוד שונה לכל שאלהשאלה מלאה · קלה

במבחן יש 4 שאלות. ההסתברות שתלמיד יענה נכון על כל אחת מן השאלות היא 0.6, בלי תלות בשאלות האחרות.

א.

מצאו את ההסתברות שתלמיד יענה נכון על כל 4 השאלות, ואת ההסתברות שיענה נכון על 3 שאלות לכל היותר.

ב.

מצאו את ההסתברות שתלמיד יענה נכון על 2 שאלות בדיוק.

ג.

על תשובה נכונה לשאלה מספר kkk מקבלים kkk נקודות (שאלה 1 - נקודה אחת, שאלה 2 - שתי נקודות, וכן הלאה).

מצאו את ההסתברות שתלמיד יצבור 9 נקודות לפחות.

ד.

כתבו את כל צירופי השאלות שנותנים 5 נקודות בדיוק, ומצאו את ההסתברות שתלמיד יצבור 5 נקודות בדיוק.

ה.

ידוע שתלמיד ענה נכון על 2 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהוא צבר 5 נקודות בדיוק.

עוד 21 שאלות על מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טבלה דו-ממדית, נוסחת ברנולי והסתברות מותנית: חיסון שפעת בבית חולים (שאלה מלאה · בינונית)
בבית חולים גדול מאוד, מספר האחיות והאחים גדול פי 4 ממספר הרופאים. בבית החולים נערך סקר שהשתתפו בו כל הרופאים וכל האחיות והאחים, והם בלבד.…
ניקוד שונה לכל שאלה עם הסתברות פרמטרית: מקסימום, מספר פתרונות ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
בחידון יש 4 שאלות, ועל תשובה נכונה לשאלה מספר $k$ מקבלים $k$ נקודות ( $k=1,2,3,4$ ). ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא $p$ , $0<p<1$ , בלי תלות…
ספירת משלחות עם לפחות 2 בנות (שאלה קצרה · קלה)
בחוג מדעים יש $6$ בנים ו- $4$ בנות. בוחרים באקראי משלחת של $3$ תלמידים מבין חברי החוג.
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
שחקן כדורסל קולע זריקת עונשין בהסתברות 0.8, ללא תלות בזריקות האחרות. השחקן זרק 6 זריקות, וידוע שבדיוק 4 מהן נקלעו.
ברנולי: הערך הסביר ביותר ותנאי "רוב" על שני ניסויים (שאלה מלאה · קשה)
בספרייה, כל ספר מושאל מוחזר באיחור בהסתברות $p$ ( $0<p<1$ ), ללא תלות בספרים אחרים. מתבוננים ב-7 ספרים שהושאלו, ומסמנים ב- $X$ את מספר הספרים…
עץ הסתברויות תלת-שלבי: שלבי מיון, הסתברות מותנית וברנולי (שאלה מלאה · בינונית)
תהליך המיון ליחידה מובחרת כולל 3 שלבים בזה אחר זה לפי הסדר. מועמד שנכשל בשלב מסוים מסיים מייד את תהליך המיון. ההסתברות לעבור שלב שונה משלב…
מסלולים ברשת דרך צמתים נתונים (שאלת ביניים · קשה)
רובוט נע על רשת של שבילים ומתחיל בצומת $(0,0)$ . בכל צעד הוא עובר יחידה אחת ימינה (בכיוון ציר $x$ ) או יחידה אחת למעלה (בכיוון ציר $y$ ). מסלול…
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
ארבעה חברים - שירה, טל, עידו ומאיה - זורקים כל אחד זריקת עונשין אחת. ההסתברות של כל אחד מהם לקלוע היא 0.7, והזריקות בלתי תלויות זו בזו.
עץ דו-שלבי תלוי עם פרמטר: זריקות עונשין, הסתברות מותנית וניסוי חוזר עם שלוש תוצאות (שאלה מלאה · בינונית)
בתחרות זריקות עונשין כל משתתף זורק שתי זריקות. ההסתברות שמשתתף יקלע בזריקה הראשונה היא $P$ ( $P>0.5$ ). אם המשתתף קלע בזריקה הראשונה, ההסתברות…
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סיבוב של משחק שחקן מנצח בהסתברות 0.5, מסיים בתיקו בהסתברות 0.3 ומפסיד בהסתברות 0.2, בלי תלות בסיבובים האחרים. השחקן משחק 4 סיבובים.
שתי שקיות והעברת סוכרייה: הסתברות בפרמטרים, הסתברות מותנית, ברנולי וסידור ההצלחות (שאלה מלאה · בינונית)
בחנות ממתקים יש שתי שקיות סוכריות. בשקית א' יש $a$ סוכריות: 4 בטעם לימון והשאר בטעם תות. בשקית ב' יש $b$ סוכריות: 9 בטעם לימון והשאר בטעם…
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
שחקן קולע לסל בהסתברות 0.4 בכל זריקה, ללא תלות בזריקות האחרות. השחקן זורק 7 זריקות, וידוע שקלע בדיוק 3 מהן.
ברנולי: משחק בן 6 שלבים עם ניקוד שונה לכל שלב - מציאת p, ניקוד מצטבר והסתברות מותנית (שאלה מלאה · בינונית)
במשחק מחשב יש 6 שלבים. ההסתברות לעבור כל אחד מן השלבים היא $p$ , בלי תלות בשלבים האחרים (שחקן מנסה את כל 6 השלבים). ידוע כי ההסתברות ששחקן…
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
בתחרות יש 4 משימות, שמזכות ב-1, 2, 3 ו-6 נקודות. ההסתברות שמתחרה יצליח בכל משימה היא 0.6, בלי תלות במשימות האחרות.
הסתברות: בחירת קופסה ושתי הוצאות עם החזרה, בייס, ברנולי ושלוש תוצאות (שאלה מלאה · בינונית)
בקופסה א' ובקופסה ב' יש עטים בשני צבעים: כחולים ושחורים. בקופסה א' יש 8 עטים, מתוכם 2 כחולים והשאר שחורים. בקופסה ב' יש 20 עטים, מתוכם $x$ …
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
שחקן כדורסל זורק לסל. בכל זריקה, באופן בלתי תלוי: בהסתברות 0.5 הוא קולע סל של 2 נקודות, בהסתברות 0.2 הוא קולע סל של 3 נקודות, ובהסתברות 0.3…
ברנולי: מציאת p מיחס הסתברויות, "רוב" והסתברות מותנית (שאלה מלאה · בינונית)
בבית ספר גדול, חלק מהתלמידים מגיעים לבית הספר באופניים. אם בוחרים באקראי 5 תלמידים, ההסתברות שבדיוק 2 מהם מגיעים באופניים מהווה $\frac67$ …
לוח משחק שעיגול משיק לשלוש צלעותיו: הסתברות וניסויים חוזרים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון לוח משחק מלבני שאורכי צלעותיו 20 ס"מ ו-10 ס"מ. על הלוח מסורטטים עיגול ומשולש. העיגול משיק לשלוש צלעות של המלבן, ואורך הרדיוס שלו 5 ס"מ.…
מקדמי הבינום ובעיות ספירה פשוטות (שאלה קצרה · בינונית)
יורה פוגע במטרה בכל ירייה בהסתברות 0.3, ללא תלות בירִיות האחרות. היורה יורה 8 פעמים.
מקומות הניצחונות בהינתן מספרם (שאלה קצרה · בינונית)
עומר משחק במשחק מחשב, ותוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו. ההסתברות שעומר ינצח במשחק היא $\frac13$ .
צירופי שלבים שנותנים 6 נקודות (שאלת ביניים · בינונית)
במשחק מחשב יש 6 שלבים. ההסתברות לעבור כל אחד מן השלבים היא $p=0.7$ , בלי תלות בשלבים האחרים (שחקן מנסה את כל 6 השלבים). מספר הנקודות שמקבלים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

טבלה דו-ממדית, נוסחת ברנולי והסתברות מותנית: סקר בדיקות קורונה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 3
בבית ספר תיכון גדול מאוד, מספר התלמידים גדול פי 9 ממספר המורים. בבית הספר נערך סקר שהשתתפו בו כל המורים והתלמידים בבית הספר, והם בלבד. המשתתפים בסקר נשאלו אם הם…
עץ הסתברויות תלת-שלבי: מכשולים בתחרות, הסתברות מותנית וברנולי · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3
בתחרות ספורט שנערכת בבית ספר משתתפים תלמידים רבים. כל משתתף צריך להצליח לעבור 3 מכשולים בזה אחר זה לפי הסדר. משתתף שלא מצליח לעבור מכשול מודח מייד מן התחרות.…
עץ דו-שלבי תלוי עם פרמטר: מבחני קבלה, הסתברות מותנית וניסוי חוזר עם שלוש תוצאות · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מסוימת מועמד צריך להיבחן בשני מבחנים. ההסתברות שמועמד יצליח במבחן הראשון היא $P$ ( $P>0.5$ ). אם המועמד הצליח במבחן הראשון, אז…
שני ארגזים והעברת פרי: הסתברות בפרמטרים, הסתברות מותנית, ברנולי וסידור ההצלחות · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 3
בחנות פירות יש ארגזים ובתוכם פירות. בארגז א' יש $a$ פירות: 6 תפוחים והשאר אגסים. בארגז ב' יש $b$ פירות: 11 תפוחים והשאר אגסים. מוציאים באקראי פרי אחד מארגז א'.…
ברנולי: חידון עם ניקוד שונה לכל שאלה - מציאת p, ניקוד מצטבר והסתברות מותנית · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
בחידון יש 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא P. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.67232.
הסתברות: בחירת שק ושתי הוצאות עם החזרה, בייס, ברנולי ושלוש תוצאות · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
בשק א' ובשק ב' יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים. בשק א' יש 10 כדורים, מתוכם 4 כדורים רכים והשאר קשים. בשק ב' יש 12 כדורים, מתוכם $x$ כדורים רכים…
ברנולי: מציאת p מיחס הסתברויות, "רוב" והסתברות מותנית · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
במחנה הקיץ של הצופים, חלק מהחניכים חובשים כובעים אדומים. אם בוחרים באקראי 6 חניכים ההסתברות שבדיוק 3 מהם חובשים כובעים אדומים מהווה $\frac89$ מההסתברות שבדיוק…
לוח משחק: הסתברות כיחס שטחים וניסויים חוזרים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
נתון לוח המשחק הבא: הלוח מלבני, אורכי צלעותיו: 16 ס"מ ו-9 ס"מ. על הלוח מסורטטים עיגול, ומשולש. העיגול משיק לשתי צלעות של המלבן, ואורך הרדיוס שלו 3 ס"מ. צלע אחת…