מבחן לדוגמה: הנגזרת השנייה וקעירות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $m(x)$ ואת קצב השינוי של $m(x)$. באילו תחומים שיפוע המשיק עולה, ובאילו הוא יורד?

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה $f(x)$ שבה שיפוע המשיק הוא הגדול ביותר, ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

מצאו את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק הוא $9$, והראו שהן נמצאות במרחקים שווים משני צדי הישר $x=1$. הסבירו מדוע אין על הגרף נקודה שבה שיפוע המשיק הוא $13$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

היעזרו בגרף הפונקציה $f(x)$, וקבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה $f''(x)$. נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=2$ ו-$x=3$.

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה A.

מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה $f(x)$ אין נקודות קיצון.

מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

מצאו את הנקודות החשודות לפיתול של הפונקציה, וקבעו אילו מהן הן נקודות פיתול.

האם יש ערך של $a$ שעבורו לפונקציה יש נקודת קיצון ב-$x=-1$? אם כן - מצאו אותו וקבעו את סוג הקיצון; אם לא - נמקו.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{x^2}{(\sqrt x-1)^2}$ המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

הראו כי לכל $x>0$ בתחום ההגדרה של הפונקציות מתקיים: $f(x)=g'(x)$.

לפניכם טענות I-II. קבעו בנוגע לכל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. יש משיק לגרף הפונקציה $g(x)$ ששיפועו הוא 1.2.

II. לפונקציה $g(x)$ יש שתי נקודות פיתול.

חשבו את ערך הביטוי: $\int_{4}^{9}g(x)\cdot f(x)\,dx$.

הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא אי-זוגית.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{-f^{\prime}(x)}$.

הראו כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול בקטע $\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{2}$, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

מצאו את הרגע שבו התאוצה מתאפסת, ואת מהירות הגוף ברגע זה.

מצאו את הרגעים שבהם מהירות הגוף היא אפס, ואת המרחק בין מיקומי הגוף ברגעים אלה.