שאלות פתוחות: הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה לכיתה י"א, 5 יחידות. התלמידים מקבלים נגזרת עם פרמטר כמו x³-3ax ומוצאים ממנה קיצון ופיתול של f, קוראים גרף של f' או של f'' ומסיקים קעירות ונקודות פיתול, ופותרים גם שאלה עם פונקציה טריגונומטרית 4cos x+cos 2x. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. השאלות מתאימות במיוחד לתרגול לפני בגרות; בוחרים אותן למבחן או לדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא שאפשר לייצא ל-Word.

68 שאלותקלה: 14בינונית: 48קשה: 6

שאלה 1 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · קלה

הנגזרת של פונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=x3−3axf'(x)=x^3-3axf′(x)=x3−3ax, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. ערך המינימום המקומי של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) הוא −16-16−16.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את תחומי הקעירות של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול שלה.

שאלה 2 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · בינונית

נגזרת הפונקציה fff היא f′(x)=x3+ax2+3xf'(x)=x^3+ax^2+3xf′(x)=x3+ax2+3x, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם לגרף הפונקציה fff אין נקודות פיתול.

שאלה 3 · מגרף הנגזרת השנייה אל $f^{'}$ ו- $f$ : התאמת נוסחה והשוואת שטחים לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרף הפונקציה f′′(x)f''(x)f′′(x). נתון כי f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 רק בנקודות x=−bx=-bx=−b, x=0x=0x=0, x=bx=bx=b (b>0b>0b>0), וכי f′(−b)=f′(b)=0f'(-b)=f'(b)=0f′(−b)=f′(b)=0.
f′′(x)
-bb

א.

הוכיחו כי f′(x)≥0f'(x)\ge0f′(x)≥0 לכל xxx. מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x), וקבעו אם יש ל-f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון.

ב.

נתון כי אחת מהפונקציות f′′(x)f''(x)f′′(x), f′(x)f'(x)f′(x), f(x)f(x)f(x) היא: g(x)=(x2−a)2g(x)=(x^2-a)^2g(x)=(x2−a)2, aaa הוא פרמטר.

התאימו את הפונקציה g(x)g(x)g(x) לאחת מן הפונקציות הנ"ל ונמקו. הביעו את bbb באמצעות aaa.

ג.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx גדול מסכום השטחים הכלואים בין גרף f′′(x)f''(x)f′′(x) לבין ציר ה-xxx.

שאלה 4 · הנגזרת $x^{2} (x - 2)^{2}$ : נקודות פיתול בלי קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f′(x)=x2(x−2)2f'(x)=x^2(x-2)^2f′(x)=x2(x−2)2, הנגזרת של פונקציה f(x)f(x)f(x). לפניכם הגרף של f′(x)f'(x)f′(x):
f′(x)

א.

מצאו את f′′(x)f''(x)f′′(x), ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

הסבירו מדוע אין ל-f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון, ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ג.

נתון: f(0)=0f(0)=0f(0)=0. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), וסמנו עליה את נקודות הפיתול.

ד.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx.

שאלה 5 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)=x44−2x2f'(x)=\frac{x^4}{4}-2x^2f′(x)=4x4​−2x2 של פונקציה fff.
y=f′(x)

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של fff, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של fff.

שאלה 6 · הפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ כש- $f = 4 cos x + cos 2 x$ והסימן של $a$ לא ידועשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=4cos⁡x+cos⁡(2x)f(x)=4\cos x+\cos(2x)f(x)=4cosx+cos(2x), המוגדרת בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π. נתונה גם הפונקציה g(x)=a⋅f′(x)g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}g(x)=a⋅f′(x)​, כאשר a≠0a\neq0a=0 הוא פרמטר.

א.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) זוגית, ומצאו את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), בנפרד עבור a>0a>0a>0 ועבור a<0a<0a<0.

ג.

מצאו את כל הערכים של aaa שבעבורם הערך הגדול ביותר של g(x)g(x)g(x) הוא 3.

ד.

בעבור a=3a=\sqrt3a=3​, קבעו כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m, לפי ערכי mmm.

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

שאלה 8 · מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

לפניכם גרף הפונקציה f′(x)f'(x)f′(x) (נתון כי f′(−b)=0f'(-b)=0f′(−b)=0, f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0 וכן f′(b)=0f'(b)=0f′(b)=0):
f′(x)
-bb

א.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f′′(x)f''(x)f′′(x). הסבירו את שיקוליכם.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) כאשר נתון: f(b)=0f(b)=0f(b)=0. סמנו בגרף את נקודות הפיתול ונקודות הקיצון (אם יש כאלה). הסבירו את שיקוליכם.

ג.

נתון כי אחת מהפונקציות f′′(x)f''(x)f′′(x), f′(x)f'(x)f′(x), f(x)f(x)f(x) היא: g(x)=x⋅(x2−a)2g(x)=x\cdot(x^2-a)^2g(x)=x⋅(x2−a)2, aaa הוא פרמטר.

(1)

התאימו את הפונקציה g(x)g(x)g(x) לאחת מן הפונקציות הנ"ל ונמקו את בחירתכם.

(2)

היעזרו בנתונים בשאלה, ובטאו את bbb באמצעות aaa.

ד.

נתון כי סכום השטחים הכלואים בין גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ובין ציר ה-xxx הוא 9.

חשבו את aaa.

שאלה 9 · פונקציה זוגית עם מקסימום פרמטרי: מספר פתרונות של $\frac{1}{f} = c$ ושטח מתחת ל- $g^{''}$ שאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) זוגית ומוגדרת לכל xxx. לפניכם הגרף של f(x)f(x)f(x) בתחום −8<x<0-8<x<0−8<x<0 (m>0m>0m>0 פרמטר).
נתון: f(−8)=−6f(-8)=-6f(−8)=−6; fff עולה בתחום −8<x<−4-8<x<-4−8<x<−4 ויורדת בתחום −4<x<0-4<x<0−4<x<0; f(−6)=f(−2)=0f(-6)=f(-2)=0f(−6)=f(−2)=0; f(−4)=mf(-4)=mf(−4)=m; f(0)=−2f(0)=-2f(0)=−2.
f(x)
(-8,-6)-6(-4,m)-2-2

א.

מצאו, בעזרת mmm, את כל הערכים של ccc שעבורם למשוואה 1f(x)=c\frac{1}{f(x)}=cf(x)1​=c יש בדיוק ארבעה פתרונות בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ב.

נתון כי g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x). מצאו את תחומי הקעירות של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול שלה בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ג.

הביעו בעזרת mmm את השטח הכולל הכלוא בין הגרף של g′′(x)g''(x)g′′(x) לבין ציר ה-xxx בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ד.

נתון שהשטח בסעיף ג הוא 404040. מצאו את mmm, וקבעו כמה פתרונות יש למשוואה g′(x)=−5g'(x)=-5g′(x)=−5 בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת שלה: מונוטוניות, קעירות ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=9x(x2−4)2f(x)=\frac{9x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)29x​. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). לגרף f′(x)f'(x)f′(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, ב-x=0x=0x=0.
f′(x)

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

ב.

היעזרו בגרף של f′(x)f'(x)f′(x) ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה (∪)(\cup)(∪) וכלפי מטה (∩)(\cap)(∩) של f(x)f(x)f(x), ואת נקודת הפיתול שלה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

הראו כי ((f(x))33)′=f′(x)⋅(f(x))2\left(\frac{(f(x))^3}{3}\right)'=f'(x)\cdot(f(x))^2(3(f(x))3​)′=f′(x)⋅(f(x))2, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f′(x)⋅(f(x))2f'(x)\cdot(f(x))^2f′(x)⋅(f(x))2, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=1x=1x=1.

עוד 41 שאלות על הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
גרף הנגזרת ומספר נקודות הקיצון של $f (x) - m x$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ , ונגזרתה היא: $f'(x)=\frac{100x^2}{(x^2+4)^2}$ . בסרטוט מוצג גרף הנגזרת. נגדיר: $h(x)=f(x)-mx$ , כאשר $m$ …
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי $T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}$ , והוכיחו: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו $T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}$ , אז $T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}$ .
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לגרף של $f'(x)$ יש מקסימום בנקודה $(1,4)$ ומינימום…
מגרף הנגזרת השנייה לעלייה של f' ולקיצון ופיתול של h (שאלה קצרה · קשה)
נתונות הפונקציות: $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $f''(x)$ , המוגדרות לכל $x\neq0$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ . לגרף…
פונקציית שורש וגרף הנגזרת שלה: מונוטוניות, פיתול ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת בתחום $x>-1$ , $x\neq0$ . לגרף $f'(x)$ …
מגרף נגזרת שלילית לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
מגרף הנגזרת השנייה לסימן הנגזרת ולזיהוי הפונקציה (שאלת ביניים · קשה)
לפניכם גרף הפונקציה $f''(x)$ . נתון כי $f''(x)=0$ רק בנקודות $x=-b$ , $x=0$ , $x=b$ ( $b>0$ ), וכי $f'(-b)=f'(b)=0$ .
שאלות קצרות מודרכות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, קיצון של $f^{'}$ ושטח מתחת ל- $f^{''}$ , סדרת זוויות (שאלה מלאה · קלה)
הסבירו מדוע $\sin\angle ADB=\sin\angle ADC$ .
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת וגזירה לכל $x\neq1$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לגרף $f'(x)$ אסימפטוטה אנכית $x=1$ ושתי…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k+1)\cdot3^{k+2}$ .
פונקציית שורש יורדת כנגזרת של $\frac{x}{x + 2}$ : קיצון בקצה, משיקים ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x+4}{2(\sqrt x+2)^2}$ .
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0\le x\le4$ . על הגרף מסומנות הנקודות $(0,1)$ , $(2,-3)$ ו- $(4,1)$ ;…
חקירת $x + sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $- f^{'} (x)$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית…
פונקציה זוגית נתונה בגרף: קיצון, קעירות ושטח של $g$ ש- $g^{'} = f$ (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: $f(-6)=-3$ , נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ ,…
שאלות קצרות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות מרכזיות (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $EDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $BDE$ . נמקו את תשובתכם.
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות ונקודות פיתול (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט מתואר הגרף של $f'(x)$ , הנגזרת של פונקציה $f(x)$ . לגרף של $f'$ יש שתי נקודות קיצון: מקסימום ב- $(0,0)$ ומינימום ב- $(2,-4)$ , והוא חותך…
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
תכונות $f$ מגרף נגזרת פרבולי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . גרף הנגזרת הוא פרבולה שחותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $(1,0)$ …
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
נקודות הקיצון של הנגזרת ואפסי הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)=x(x-3)^2$ של פונקציה $f(x)$ .
חקירת $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ כנגזרת של $\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-1)^3}$ .
משפחת הפונקציות $\frac{x + k}{x}$ : משיקים לפי שיפוע, משיק בנקודת פיתול ואינטגרל שמתאפס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x+k}{\sqrt x}$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר. נסמן $f(x)=g'(x)$ .
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x>0$ , ונגזרתה היא: $g'(x)=\frac{\sqrt x-1}{x}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז בר-חסימה, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ואנך אמצעי, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$ .
חקירת $cos^{2} x \cdot sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\cos x)^2\cdot\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית מחזורית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
פרק ראשון: ענו על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם שלושה גרפים המוגדרים לכל $x$ . הגרפים מתאימים לפונקציה $f(x)$ ולשתי הנגזרות הראשונות שלה $f'(x)$ ו- $f''(x)$ .
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום: $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ …
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם הגרף של הנגזרת $g'(x)$ של פונקציה $g(x)$ המוגדרת לכל $x$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x=-2$ , משיק לציר ה- $x$ ב- $x=1$ , ויש לו נקודת…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט מתואר הגרף של $f'(x)$ , הנגזרת של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ .
ארבעה סעיפים קצרים: משולש חסום, פולינום יורד, גרף הנגזרת וסדרת מכפלות (שאלה מלאה · בינונית)
כמה משולשים ישרי זווית כאלה יש, אם הצלע שאורכה 6 ס"מ קבועה במקומה במעגל?
הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0<x<4.5$ . גרף הנגזרת נוגע בציר ה- $x$ ב- $(1,0)$ , מגיע למקסימום $(3,2)$ וחותך…
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: אסימפטוטות ב- $x = \pm 2$ ונקודת פיתול אחת (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=2$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה.…
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=2$ , $f(1)=0$ , נקודת המינימום $(2,-2)$ , ו- $f(3)=0$ ; לכל $x>2$ …
איזה גרף הוא של f' ואיזה של f'' (שאלה קצרה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה. בסרטוט שלפניכם מוצגים שני גרפים: גרף I וגרף II. אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , והגרף האחר הוא גרף של…
מהנגזרת לנגזרת השנייה: עלייה של f', נקודות פיתול וסקיצה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f'(x)=x^2(x-2)^2$ , הנגזרת של פונקציה $f(x)$ . לפניכם הגרף של $f'(x)$ :

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מגרף הנגזרת לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 6
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
שאלות קצרות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot2^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ .
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת…
שאלות קצרות: רדיוסים של מעגלים חוסמים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות אין-סופית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $HBF$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $GEA$ . נמקו את תשובתכם.
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
חקירת $\frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ כנגזרת של $\frac{2 x}{x - 2}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-4}{(\sqrt x-2)^2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2+4^2+6^2+8^2+\ldots+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$ .
חקירת $sin^{2} x \cdot cos 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x)^2\cdot\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}$ .
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
פרק ראשון: ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניך הגרף של $f(x)$ בתחום: $-7<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-5$ וב- $x=-1$ , נקודת המקסימום…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
פרק ראשון: משולש חסום, פולינום מונוטוני, גרף הנגזרת וסדרה הנדסית הפוכה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: מונוטוניות, קיצון, פיתול, משיקים ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט שלפניך מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=3$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה. לפונקציה $f(x)$ ולנגזרתה יש…
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
לפניך חלק מגרף של פונקציה זוגית: $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-1$ , נקודת המינימום $(3,-4)$ , ו- $f(5)=0$ ; לכל $x>3$ הפונקציה עולה,…

שאלה 1 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · מגרף הנגזרת השנייה אל f′ ו-f: התאמת נוסחה והשוואת שטחים לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

שאלה 4 · הנגזרת x2(x−2)2: נקודות פיתול בלי קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

שאלה 5 · הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייהשאלה קצרה · בינונית

שאלה 6 · הפונקציה a⋅f′(x)​ כש-f=4cosx+cos2x והסימן של a לא ידועשאלה מלאה · קשה

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של f′′ ושל f, התאמת נוסחה ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

שאלה 9 · פונקציה זוגית עם מקסימום פרמטרי: מספר פתרונות של f1​=c ושטח מתחת ל-g′′שאלה מלאה · קשה

שאלה 10 · פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת שלה: מונוטוניות, קעירות ושטח של f′⋅f2שאלה מלאה · קלה