שאלות פתוחות: הנגזרת השנייה: חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרת - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הנגזרת השנייה - חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרת - לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים פרמטרים בפונקציה ax³+bx² לפי שיפוע משיק וערך הנגזרת השנייה, מפרשים את הנגזרת השנייה של מספר מבקרים בתערוכה לאורך זמן, ומחשבים נגזרת שנייה של פונקציה מורכבת כשנתונים ערכי g ונגזרותיה בנקודה. הרמות: קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מכאן שאלות לדף עבודה או לבוחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

8 שאלותקלה: 3בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · הנגזרת השנייה: חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ax3+bx2f(x)=ax^3+bx^2f(x)=ax3+bx2, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא 000, וקצב השינוי של שיפוע המשיק באותה נקודה הוא 666.

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

שאלה 2 · הנגזרת השנייה: חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרתשאלה קצרה · בינונית

מספר המבקרים בתערוכה (במאות) בזמן ttt שעות מהפתיחה נתון על ידי N(t)=−t3+12t2+60tN(t)=-t^3+12t^2+60tN(t)=−t3+12t2+60t, עבור 0≤t≤100\le t\le100≤t≤10. גרף הפונקציה N(t)N(t)N(t) מתואר בשרטוט.
y=N(t)

א.

מצאו באיזה רגע קצב הגידול של מספר המבקרים הוא הגדול ביותר, ומהו קצב זה.

ב.

מצאו באיזה רגע מספר המבקרים הוא הגדול ביותר בפרק הזמן הנתון, ומהו מספר זה.

שאלה 3 · הנגזרת השנייה של מכפלה עם פונקציה כלליתשאלה קצרה · קשה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה הגזירה פעמיים לכל xxx, ונתון: g(2)=1g(2)=1g(2)=1, g′(2)=3g'(2)=3g′(2)=3, g′′(2)=−2g''(2)=-2g′′(2)=−2. מגדירים את הפונקציה f(x)=x2⋅g(x)f(x)=x^2\cdot g(x)f(x)=x2⋅g(x). לפי כלל נגזרת המכפלה: f′(x)=2x g(x)+x2g′(x)f'(x)=2x\,g(x)+x^2g'(x)f′(x)=2xg(x)+x2g′(x).

חשבו את f′′(2)f''(2)f′′(2).

שאלה 4 · הנגזרת השנייה: חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרתשאלה קצרה · קלה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה הגזירה פעמיים לכל xxx, ונתון: g(2)=1g(2)=1g(2)=1, g′(2)=3g'(2)=3g′(2)=3, g′′(2)=−2g''(2)=-2g′′(2)=−2. מגדירים את הפונקציה f(x)=x2⋅g(x)f(x)=x^2\cdot g(x)f(x)=x2⋅g(x).

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2.

ב.

חשבו את f′′(2)f''(2)f′′(2).

שאלה 5 · מציאת פרמטרים משיפוע המשיק ומקצב השינוי של השיפועשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax3+bx2f(x)=ax^3+bx^2f(x)=ax3+bx2, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא 000, וקצב השינוי של שיפוע המשיק באותה נקודה הוא 666.

מצאו את aaa ואת bbb.

שאלה 6 · השיפוע הגדול ביותר של משיק לגרף פונקציה רציונליתשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3x2+3f(x)=\frac{x^3}{x^2+3}f(x)=x2+3x3​, המוגדרת לכל xxx.

א.

הראו כי f′(x)=x2(x2+9)(x2+3)2f'(x)=\frac{x^2(x^2+9)}{(x^2+3)^2}f′(x)=(x2+3)2x2(x2+9)​, והסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה משיק ששיפועו שלילי.

ב.

הראו כי f′′(x)=6x(9−x2)(x2+3)3f''(x)=\frac{6x(9-x^2)}{(x^2+3)^3}f′′(x)=(x2+3)36x(9−x2)​, ומצאו את התחומים שבהם שיפוע המשיק לגרף עולה ואת התחומים שבהם הוא יורד.

ג.

מצאו את השיפוע הגדול ביותר של משיק לגרף הפונקציה, ואת כל הנקודות על הגרף שבהן הוא מתקבל. האם יש לגרף משיק ששיפועו 222? נמקו.

שאלה 7 · הנגזרת השנייה: חישוב ומשמעות כקצב השינוי של הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}f(x)=2x+1​.

חשבו את f′′(4)f''(4)f′′(4), וקבעו אם שיפוע המשיק לגרף הפונקציה עולה או יורד כאשר xxx עובר דרך 444. נמקו.

שאלה 8 · שיפוע המשיק כפונקציה: מתי הוא עולה, מתי יורד ומתי הוא הגדול ביותרשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x2+9x−2f(x)=-x^3+3x^2+9x-2f(x)=−x3+3x2+9x−2. נסמן ב-m(x)m(x)m(x) את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה שיעור ה-xxx הוא xxx.

א.

מצאו את m(x)m(x)m(x) ואת קצב השינוי של m(x)m(x)m(x). באילו תחומים שיפוע המשיק עולה, ובאילו הוא יורד?

ב.

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) שבה שיפוע המשיק הוא הגדול ביותר, ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

ג.

מצאו את הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק הוא 999, והראו שהן נמצאות במרחקים שווים משני צדי הישר x=1x=1x=1. הסבירו מדוע אין על הגרף נקודה שבה שיפוע המשיק הוא 131313.