שאלות פתוחות: נקודות חשודות לפיתול: אפסי הנגזרת השנייה ונקודות אי-הגדרה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול נקודות חשודות לפיתול - אפסי הנגזרת השנייה ונקודות שבהן היא לא מוגדרת - לכיתה י"א ברמת 5 יחידות. בשאלות בודקים אילו אפסים של f'' הם באמת נקודות פיתול בפולינומים כמו x⁵-10x³ ו-(x-1)⁴(x+2), מטפלים בפונקציית שבר עם פרמטר, ובוחנים פונקציה עם ערך מוחלט |x³-3x| שבה הנגזרת לא קיימת בחלק מהנקודות. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות ושאלה קשה. אפשר לצרף אותן לבוחן קצר או לדף עבודה, ולקבל פתרון מלא וקובץ Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 4קשה: 1

שאלה 1 · נקודות חשודות לפיתול: אפסי הנגזרת השנייה ונקודות אי-הגדרהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x5−10x3f(x)=x^5-10x^3f(x)=x5−10x3.

א.

מצאו את הנקודות החשודות לפיתול של הפונקציה, וקבעו אילו מהן הן נקודות פיתול.

ב.

הראו כי כל נקודות הפיתול של הפונקציה נמצאות על ישר אחד, ומצאו את משוואתו.

שאלה 2 · נקודות חשודות לפיתול: אפסי הנגזרת השנייה ונקודות אי-הגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax3+6x2−1xf(x)=\frac{ax^3+6x^2-1}{x}f(x)=xax3+6x2−1​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

א.

מצאו את f′′(x)f''(x)f′′(x), והראו כי לכל a≠0a\ne0a=0 יש ערך אחד בדיוק של xxx שבו f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0. הביעו ערך זה באמצעות aaa.

ב.

הציבו a=1a=1a=1. מצאו את תחומי הקעירות של הפונקציה ואת נקודות הפיתול שלה.

שאלה 3 · נקודות פיתול שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת: פונקציה עם ערך מוחלטשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=∣x3−3x∣f(x)=|x^3-3x|f(x)=∣x3−3x∣, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו באילו תחומים x3−3x≥0x^3-3x\ge0x3−3x≥0 ובאילו תחומים x3−3x<0x^3-3x<0x3−3x<0, וכתבו את f(x)f(x)f(x) בכל תחום בלי סימן ערך מוחלט.

ב.

מצאו את f′′(x)f''(x)f′′(x) בכל אחד מהתחומים שמצאתם בסעיף א, ומצאו את כל הנקודות החשודות כנקודות פיתול. הסבירו מדוע הנגזרת השנייה אינה מוגדרת בחלק מהן.

ג.

קבעו אילו מהנקודות החשודות הן נקודות פיתול, ומצאו את שיעוריהן. מה סוג הנקודות האלה מבחינת קיצון?

שאלה 4 · נקודות חשודות לפיתול בפולינום ממעלה חמישיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x5−10x3f(x)=x^5-10x^3f(x)=x5−10x3.

מצאו את הנקודות החשודות לפיתול של הפונקציה, וקבעו אילו מהן הן נקודות פיתול.

שאלה 5 · נקודות חשודות לפיתול: אפסי הנגזרת השנייה ונקודות אי-הגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)4(x+2)f(x)=(x-1)^4(x+2)f(x)=(x−1)4(x+2).

א.

מצאו את הנקודות החשודות לפיתול של הפונקציה.

ב.

קבעו אילו מהנקודות החשודות הן נקודות פיתול, ומצאו את תחומי הקעירות של הפונקציה.

שאלה 6 · החלפת קעירות בנקודה שאינה בתחום ההגדרהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax3+6x2−1xf(x)=\frac{ax^3+6x^2-1}{x}f(x)=xax3+6x2−1​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר. נתון: f′′(x)=2(ax3−1)x3f''(x)=\frac{2(ax^3-1)}{x^3}f′′(x)=x32(ax3−1)​.

הציבו a=1a=1a=1. מצאו את תחומי הקעירות של הפונקציה ואת נקודות הפיתול שלה.

שאלה 7 · אפס של הנגזרת השנייה שאינו נקודת פיתול אלא נקודת קיצוןשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)4(x+2)f(x)=(x-1)^4(x+2)f(x)=(x−1)4(x+2).

א.

מצאו את הנקודות החשודות לפיתול של הפונקציה.

ב.

קבעו אילו מהנקודות החשודות הן נקודות פיתול, ומצאו את תחומי הקעירות של הפונקציה.

ג.

הראו כי f′(1)=0f'(1)=0f′(1)=0, וקבעו מה סוג הנקודה של גרף הפונקציה שבה x=1x=1x=1. היעזרו בסימן הנגזרת הראשונה.