מבחן לדוגמה: נגזרות של פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הראו כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{2\sin x\,(1-\cos^3x)}{\cos^3x}$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

מצאו את הערך של $k$ שבעבורו הישר $y=k$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בשתי נקודות בדיוק.

$p(x)=\frac{\sin(x)}{x^3}$

$q(x)=\frac{x+\cos(x)}{x}$

הראו כי $f(x)=\sin(2x)$, והסיקו כי לכל $x$: $-1\le f(x)\le1$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f(x)$ בתחום.

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=\sqrt3$ בתחום $0\le x\le2\pi$? נמקו.

הסבירו מדוע $f'(x)\le0$ בקטע $\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}3$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=\frac{5\pi}6$ ו-$x=\frac{4\pi}3$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בתחום הנתון בשתי נקודות בלבד, ששיעורי ה-$x$ שלהן הם $0.860$ ו-$3.426$ בקירוב.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה $f(x)$.

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=x\cos(x)$, המוגדרת לכל $x$.

הראו כי בתחום $0<x<2\pi$ שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ שווים לשיעורי ה-$x$ של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$, וקבעו את סוגן.

חקרו: מצאו את מספר נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, לפי ערכי $a$.

הציבו $a=\frac14$. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן.

עבור $a=\frac14$, מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=m$ בתחום, לפי ערכי $m$.

מצאו את $a$.

מצאו את שיעור ה-$x$ החיובי הקטן ביותר שבו המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר ה-$x$.