שאלות פתוחות: נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות גוזרים פונקציות כמו x² sin x+3tan x ו-cos x(1+sin x), חוקרים את sin x+cos x+sin x cos x בתחום נתון, מוצאים את a כשנתון ש-f'(x)=x cos x, ומוצאים a ו-b לפי נקודת קיצון של a sin x+b cos x. רוב השאלות קלות ובינוניות. מתאים לתרגול גזירה וחקירה; המורה בוחר שאלות לדף עבודה או לבוחן ומקבל אותן עם פתרון מלא, מוכנות להדפסה מ-Word.

24 שאלותקלה: 8בינונית: 14קשה: 2

שאלה 1 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2sin⁡x+3tan⁡xf(x)=x^2\sin x+3\tan xf(x)=x2sinx+3tanx בתחום הגדרתה.

א.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ב.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו בעזרת הביטוי שמצאתם אם f′(x)f'(x)f′(x) זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית.

שאלה 2 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡x (1+sin⁡x)f(x)=\cos x\,(1+\sin x)f(x)=cosx(1+sinx) בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום, וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡x+cos⁡x+sin⁡xcos⁡xf(x)=\sin x+\cos x+\sin x\cos xf(x)=sinx+cosx+sinxcosx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)f(x)f(x) בתחום.

שאלה 4 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xsin⁡x+acos⁡xf(x)=x\sin x+a\cos xf(x)=xsinx+acosx, כאשר aaa פרמטר. נתון כי f′(x)=xcos⁡xf'(x)=x\cos xf′(x)=xcosx לכל xxx.

א.

מצאו את aaa.

ב.

עבור הערך של aaa שמצאתם, מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום 0<x<π0<x<\pi0<x<π וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=asin⁡x+bcos⁡xf(x)=a\sin x+b\cos xf(x)=asinx+bcosx, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. לגרף הפונקציה יש נקודת קיצון (π3,2)\left(\frac{\pi}{3},2\right)(3π​,2).

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

קבעו את סוג הקיצון בנקודה (π3,2)\left(\frac{\pi}{3},2\right)(3π​,2). נמקו.

שאלה 6 · נקודות הקיצון של $x cos x$ דרך האפסים של $tan x - \frac{1}{x}$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=tan⁡(x)−1xf(x)=\tan(x)-\frac1xf(x)=tan(x)−x1​.
ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בתחום הנתון בשתי נקודות בלבד, ששיעורי ה-xxx שלהן הם 0.8600.8600.860 ו-3.4263.4263.426 בקירוב.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה גם הפונקציה: g(x)=xcos⁡(x)g(x)=x\cos(x)g(x)=xcos(x), המוגדרת לכל xxx.

הראו כי בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x) שווים לשיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, וקבעו את סוגן.

שאלה 7 · נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2sin⁡xf(x)=x^2\sin xf(x)=x2sinx.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=πx=\pix=π.

שאלה 8 · משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC אורך הצלע ACACAC הוא bbb. נתון: ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β (β\betaβ ברדיאנים). נסמן: ∢BAC=x\sphericalangle BAC=x∢BAC=x (0<x<π−β0<x<\pi-\beta0<x<π−β).

א.

הביעו באמצעות xxx, β\betaβ ו-bbb את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

הביעו באמצעות β\betaβ את ערך ה-xxx שבעבורו שטח המשולש ABCABCABC הוא מקסימלי.

ג.

הסבירו מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל השטח המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

שאלה 9 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 10 · הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡2x (1+cos⁡x)2cos⁡xf(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}f(x)=2cosxsin2x(1+cosx)​, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הסבירו מדוע לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי לכל xxx בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) מתקיים: f′(x)=cos⁡x+cos⁡2xf'(x)=\cos x+\cos2xf′(x)=cosx+cos2x.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

ttt הוא מספר. מצאו את כל ערכי ttt שבעבורם יש למשוואה: f(x)=tf(x)=tf(x)=t פתרון יחיד (בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי שני הישרים: x=23πx=\frac23\pix=32​π ו-x=43πx=\frac43\pix=34​π.

עוד 10 שאלות על נגזרת של סכום ומכפלה עם פונקציות טריגונומטריות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון טריגונומטרית: חתך מזרב בצורת טרפז (שאלה מלאה · קלה)
מכופפים פס פח כך שחתך המרזב שנוצר הוא טרפז $KLMN$ (ראו סרטוט): הבסיס $KL$ והדפנות $LM$ ו- $KN$ כולם באורך $b$ , והדפנות נוטות כלפי חוץ בזווית…
הפונקציות $tan x - \frac{1}{x}$ ו- $x cos x$ : חיוביות, אי-זוגיות וקיצון באפסים של פונקציה אחרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\tan(x)-\frac1x$ . ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
הפונקציות $tan x + x$ ו- $x sin x$ : חיוביות, זוגיות וקיצון באפס של פונקציה אחרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\tan(x)+x$ . ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
חקירת $sin x cos x$ והמרחק בינה לבין $\frac{1}{f}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
מכפלה עם $(1 + cos x)^{2}$ ופרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו- $f + ∣ f ∣$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)^2\cdot(b\cos x-1)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם $b$ נתון (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos2x-2\cos x$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
חקירת $cos^{2} x \cdot sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\cos x)^2\cdot\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
נגזרת המכפלה $sin x cos x$ ונקודות קיצון כולל קצוות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
נגזרת של מכפלה $(cos x - 2) (cos x + 3)$ , סקיצה והפונקציה $f + ∣ f ∣$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\cos x-2)(\cos x+3)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
מכפלה של ביטויים ב- $cos x$ עם פרמטר: זוגיות, קיצון בנקודה נתונה ו- $f + ∣ f ∣$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(1+\cos x)\cdot(-1+b\cos x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0<b<1$ .
חקירת $sin^{2} x \cdot cos 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x)^2\cdot\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}$ .