שאלות פתוחות: נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות חוקרים פונקציות כמו sin x/x, sin 2x/(2+cos 2x) ו-(a+sin²x)/sin x, מוצאים פרמטרים כשנתון שהפונקציה (a sin x+b)/(2+cos x) אי-זוגית, ומשווים בין tan x-x לבין sin x/x. רוב השאלות בינוניות, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבנות מכאן מבחן או דף עבודה בחקירת פונקציות טריגונומטריות, כשכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

45 שאלותקלה: 10בינונית: 26קשה: 9

שאלה 1 · נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xxf(x)=\frac{\sin x}{x}f(x)=xsinx​, המוגדרת לכל x≠0x\ne0x=0. בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה.
y=f(x)
-6-4-2246-0.4-0.20.20.40.60.81.01.21.4

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​.

שאלה 2 · נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)f(x)=\frac{\sin(2x)}{2+\cos(2x)}f(x)=2+cos(2x)sin(2x)​, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), והראו כי f′′(x)=8sin⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)(2+cos⁡(2x))3f''(x)=\frac{8\sin(2x)(\cos(2x)-1)}{(2+\cos(2x))^3}f′′(x)=(2+cos(2x))38sin(2x)(cos(2x)−1)​.

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של גרף הפונקציה בתחום −π<x<π-\pi<x<\pi−π<x<π.

שאלה 3 · משפחה של פונקציות טריגונומטריות: מספר נקודות הקיצון לפי פרמטר ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=a+sin⁡2(x)sin⁡(x)f(x)=\frac{a+\sin^2(x)}{\sin(x)}f(x)=sin(x)a+sin2(x)​, כאשר aaa הוא פרמטר. ענו על הסעיפים בתחום: 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, x≠πx\neq\pix=π.

א.

חקרו: מצאו את מספר נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום, לפי ערכי aaa.

ב.

הציבו a=14a=\frac14a=41​. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ג.

עבור a=14a=\frac14a=41​, מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בתחום, לפי ערכי mmm.

שאלה 4 · חקירה מודרכת של $\frac{2}{s i n x} - sin x$ בתחום והגרף של $f - 1$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2sin⁡(x)−sin⁡(x)f(x)=\frac{2}{\sin(x)}-\sin(x)f(x)=sin(x)2​−sin(x). ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

(2)

הראו כי f′(x)=−cos⁡x (2+sin⁡2x)sin⁡2xf'(x)=-\frac{\cos x\,(2+\sin^2x)}{\sin^2x}f′(x)=−sin2xcosx(2+sin2x)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−1g(x)=\sqrt{f(x)-1}g(x)=f(x)−1​.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xxx. איזה מבין הגרפים I ו-II שלפניכם מתאר את g(x)g(x)g(x)? נמקו.
I
π2π
II
π2π

שאלה 5 · נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=asin⁡x+b2+cos⁡xf(x)=\frac{a\sin x+b}{2+\cos x}f(x)=2+cosxasinx+b​, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. ידוע כי f(x)f(x)f(x) אי-זוגית, וכי הערך הגדול ביותר של f(x)f(x)f(x) הוא 23\frac{2}{\sqrt{3}}3​2​.

מצאו את bbb ואת כל הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 6 · הפונקציה $\frac{s i n x}{x}$ : קיצון בשורש של $tan x = x$ בלי ערך מספרי, ומספר הפתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=tan⁡(x)−xf(x)=\tan(x)-xf(x)=tan(x)−x ו-g(x)=sin⁡(x)xg(x)=\frac{\sin(x)}{x}g(x)=xsin(x)​, x≠0x\neq0x=0.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, והוכיחו כי בתחום 0<x≤2π0<x\le2\pi0<x≤2π יש ל-f(x)f(x)f(x) נקודת אפס אחת בלבד. נסמן אותה ב-ttt; הראו כי π<t<3π2\pi<t<\frac{3\pi}{2}π<t<23π​.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π וקבעו את סוגן. הראו כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שווה ל-cos⁡t\cos tcost.

ג.

הוכיחו כי cos⁡t>−1π\cos t>-\frac1\picost>−π1​, וקבעו אם למשוואה g(x)=−1πg(x)=-\frac1\pig(x)=−π1​ יש פתרון בתחום 0<x≤2π0<x\le2\pi0<x≤2π.

ד.

מצאו, לפי ערכי mmm, את מספר הפתרונות של המשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π, x≠0x\neq0x=0. הביעו את תשובתכם באמצעות ttt.

שאלה 7 · אורך מינימלי של צלע במשולש עם שטח נתוןשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=3⋅ACAB=\sqrt3\cdot ACAB=3​⋅AC. נסמן: ∠BAC=x\angle BAC=x∠BAC=x. שטח המשולש ABCABCABC הוא 434\sqrt343​.

א.

הביעו באמצעות xxx את AC2AC^2AC2.

ב.

הראו כי BC2=8(4−23cos⁡x)sin⁡xBC^2=\frac{8\left(4-2\sqrt3\cos x\right)}{\sin x}BC2=sinx8(4−23​cosx)​.

ג.

מצאו את גודל הזווית xxx שעבורו אורך הצלע BCBCBC הוא מינימלי.

ד.

חשבו את האורך המינימלי של הצלע BCBCBC.

שאלה 8 · נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}f(x)=2+cosxsinx​, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את קבוצת הערכים (התמונה) של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

שאלה 9 · מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעותשאלה מלאה · קשה

נתונה מקבילית ABCDABCDABCD ששטחה 24. נתון: AD=k⋅ABAD=k\cdot ABAD=k⋅AB, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נסמן: ∠BAD=x\angle BAD=x∠BAD=x, 0°<x<180°0°<x<180°0°<x<180°.

א.

הביעו את BD2BD^2BD2 באמצעות xxx ו-kkk.

ב.

נניח כי k≠1k\neq1k=1. הביעו באמצעות kkk את האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD.

ג.

ידוע כי האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD הוא 8. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

הראו כי כאשר k=1k=1k=1 אין לאורך האלכסון BDBDBD ערך מינימלי.

שאלה 10 · חקירת $\frac{2}{1 - c o s x}$ : אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=21−cos⁡(x)f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}f(x)=1−cos(x)2​, בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-xxx.

ב.

האם f(x)f(x)f(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.

ג.

הראו כי f′(x)=−2sin⁡x(1−cos⁡x)2f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}f′(x)=−(1−cosx)22sinx​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום הנתון וקבעו את סוגן.

ד.

נתון: f′′(x)=2(cos⁡x+2)(1−cos⁡x)2f''(x)=\frac{2(\cos x+2)}{(1-\cos x)^2}f′′(x)=(1−cosx)22(cosx+2)​.

הראו שלפונקציה אין נקודות פיתול, וסרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x) בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x)f′(x) ובין ציר ה-xxx בתחום π2≤x≤π\frac{\pi}{2}\le x\le\pi2π​≤x≤π.

עוד 26 שאלות על נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt2}{\cos x}$ בתחום $0\le x\le\pi$ , $x\ne\frac{\pi}{2}$ .
משפחת הפונקציות $\frac{a + c o s x}{s i n x}$ : מתי יש קיצון, טווח לפי הפרמטר ומתי יש פיתול (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a+\cos(x)}{\sin(x)}$ , כאשר $a>0$ פרמטר, בתחום $0<x<2\pi$ , $x\neq\pi$ .
מנה טריגונומטרית: זוגיות, נגזרת מודרכת, קיצון בתחום סגור ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ בתחום $0<x<2\pi$ .
המשפחה $\frac{1 - s i n x}{a + s i n x}$ : תחום לפי הפרמטר, קיצונים בפרמטר, מספר פתרונות ומרחק בין אסימפטוטות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1-\sin x}{a+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
הפונקציה $\frac{c o s x - 1}{c o s x + 2}$ : פרמטר מנקודה, קיצונים בתחום סגור ומספר פתרונות (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{\cos(x)+2}$ , $a$ פרמטר. ידוע שגרף הפונקציה עובר בראשית הצירים.
נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sin x+\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$ .
משפחת פונקציות $\frac{s i n x}{k + s i n ^{2} x}$ : קיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{k+\sin^2x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה טריגונומטרית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $∣ f (x) - 0.2∣$ (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ : אחד מהם הוא הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{2+\sin x}$ , והשני הוא הגרף של…
חקירת $\frac{1 + s i n ^{2} x}{s i n x}$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 2$ ושל $f - 2$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}$ . ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
משפחת הפונקציות $a cos x + \frac{1}{c o s x}$ : סוג הקיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה וספירת חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה טריגונומטרית $cos x + \frac{1}{c o s x}$ : חקירה מודרכת ונקודה חסרה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)}{1+2\cos(x)}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ .
נקודות קיצון של $\frac{1 - s i n x}{a + s i n x}$ באמצעות פרמטר (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1-\sin x}{a+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $a>1$ הוא פרמטר.
פונקציה טריגונומטרית זוגית ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם $b$ נתון (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos2x-2\cos x$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
בעיית קיצון טריגונומטרית במקבילית: קטע מקודקוד לנקודה על צלע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $AB=2BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CD$ כך ש- $DE=2CE$ . נסמן: $\angle BCD=x$ . נתון: שטח המשולש $BCE$ הוא 12.
נגזרת של $\frac{c o s x - 1}{c o s x + 2}$ , משוואה ומספר פתרונות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)+2}$ , בתחום $0\le x\le2\pi$ .
נגזרת של המנה $\frac{c o s x}{2 + s i n x}$ (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ .
חקירת $\frac{s i n x + s i n x c o s ^{2} x}{1 - c o s ^{2} x}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$ , בתחום $0<x<2\pi$ , $x\neq\pi$ .
הפונקציה $\frac{c o s x - a}{( c o s x + 1 ) ^{2}}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ , חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{(\cos(x)+1)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\cos(x)\ne-1$ . נתון כי…
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $f (x) - \frac{2}{7}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה…
נגזרת של מנה עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
נגזרת ונקודות קיצון של $\frac{s i n x}{2 + s i n x}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{2+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ .
תחום, זוגיות ונקודות קיצון של $\frac{2}{1 - c o s x}$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $\frac{c o s ^{2} x}{s i n x} + 3$ בתחום, וזיהוי הגרפים של $f - 3$ ושל $f - 3$ · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}+3$ . ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
בעיית קיצון טריגונומטרית: סכר דרך פינה של תעלות · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 8
תעלת מים ראשית ברוחב קבוע $a$ מחוברת בניצב לתעלה משנית ברוחב קבוע $b$ . הנקודה $C$ היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראו…
הפונקציות $tan x + \frac{1}{x}$ ו- $\frac{c o s x}{x}$ : חיוביות, אי-זוגיות וקיצון באפס של פונקציה אחרת · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\tan(x)+\frac1x$ . ענו על הסעיפים א-ב בעבור התחום: $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .
בעיית קיצון טריגונומטרית במעוין: קטע מקודקוד לאמצע צלע · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8
נתון מעוין $ABCD$ . נקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ECD=x$ . נתון: שטח המשולש $ECD$ הוא 25.
חקירת $\frac{4 s i n x}{c o s ^{2} x - 1}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
הפונקציה $\frac{s i n x - a}{s i n x + a}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ בקיצונים, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)-a}{\sin(x)+a}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\sin(x)\ne-a$ . נתון כי הגרף של הפונקציה $f(x)$ …
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $∣ f (x) - 0.4∣$ · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 7
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ . הפונקציות…
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .